Banque PT Mathématiques B PT 2013Sujet et corrigé

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Coniques : ellipse et excentricité
Géométrie de l'espace : quadriques et droites
Trace d'une matrice et formes linéaires
Réduction des endomorphismes
Somme directe de sous-espaces vectoriels

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Mathématiques B, banque PT 2013 : ellipses et cercle de Steiner, paraboloïde hyperbolique et trace des matrices

Ce sujet comporte trois parties indépendantes. La partie I étudie une conique associée aux distances aux côtés d'un triangle, puis les tangentes communes à une ellipse et à son agrandie par homothétie de rapport 2, et une affinité orthogonale. La partie II étudie la surface z = x^2 - y^2, paraboloïde hyperbolique doublement réglé, ses sections planes et l'ensemble des points équidistants de deux droites de l'espace. La partie III étudie la trace d'une matrice carrée et un endomorphisme Psi_J construit à partir de la trace, dont on étudie la diagonalisabilité.

1Partie I : coniques, ellipses et affinitéOn étudie la conique C associée à la somme des carrés des distances aux côtés d'un triangle, les tangentes communes entre une ellipse et son homothétique de rapport 2, puis une affinité orthogonale qui engendre une ellipse.
2Partie II : le paraboloïde hyperboliqueOn étudie les sections planes de la surface z = x^2 - y^2, les droites incluses dans cette surface passant par un point donné, et l'ensemble des points équidistants de deux droites de l'espace.
3Partie III : trace d'une matrice et endomorphisme associéOn étudie les propriétés de la trace comme forme linéaire, une décomposition en somme directe de l'espace des matrices, puis un endomorphisme Psi_J construit à partir de la trace, dont on détermine les valeurs propres et la diagonalisabilité.

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Epreuve de Mathématiques B

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Partie I

Dans le plan euclidien rapporté au repère orthonormé direct $(O; i⃗, j⃗)$ , on considère les points $I(1, 0), J(0, 1)$ .
(a) Soit $M(x, y)$ un point du plan. Donner l'expression de la distance $d(M; (OI))$ du point $M$ à la droite $(OI)$ , puis de la distance $d(M; (OJ))$ du point $M$ à la droite $(OJ)$ , et, enfin, de la distance $d(M; (IJ))$ du point $M$ à la droite $(IJ)$ .

Dans ce qui suit, on désigne par

C

l'ensemble des points

M(x, y)

du plan tels que la somme des carrés des distances du point

M

aux trois côtés du triangle OIJ soit égale à

1/3

.
(b) Former une équation cartésienne de

C

.
(c) Donner une équation réduite de

C

, et préciser sa nature et son excentricité.
(d) Montrer que

C

est tangente aux droites

(OI)

(OJ)

.
2. Dans le plan euclidien rapporté au repère orthonormé direct (

O; i⃗, j⃗

), on considère les ellipses

E

E^'

d'équations respectives

(x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) = 1 et (x^2)/(4a^2) + (y^2)/(4b^2) = 1

où

a

b

désignent deux réels strictement positifs.
On considère la représentation paramétrique de

E

{x(t) = acost; y(t) = bsint

et les points

N

P

de paramètres respectifs

t

θ

.
(a) Déterminer une relation entre

t

θ

exprimant que la tangente à

E

P

est parallèle à la droite (

ON

).
(b) La condition précédente étant vérifiée, déterminer l'aire du triangle

NOP

.
(c) On considère la droite

Δ

d'équation

αx + βy + γ = 0

Montrer que

Δ

est tangente à

E

si, et seulement si,

a^2 α^2 + b^2 β^2 - γ^2 = 0 et γ \neq 0

(d) On désigne par

u

v

deux réels, soient

U(2acosu, 2bsinu)

V(2acosv, 2bsinv)

deux points distincts de l'ellipse

E^'

.
Déterminer la relation que doivent vérifier

u

v

pour que la droite (UV) soit tangente à l'ellipse

E

.
(e) Soient

A, B

C

trois points distincts de

E^'

tels que

(AB)

(AC)

soient tangentes à

E

.
Montrer que (

BC

) est tangente à

E

.
3. Les points

P

Q

décrivent respectivement l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées tout en vérifiant l'égalité

PQ = a + b

, on considère le point

M

du segment

[PQ]

tel que

MP = b

MQ = a

.
i. Rappeler la définition d'une affinité orthogonale.
ii. Dans le cas où

a = 5

b = 3

, représenter sur une figure les points

M, P

Q

(l'unité de longueur est 1 centimètre).
iii. Quel est l'ensemble (

E

) du plan décrit par le point

M

Partie II

Dans l'espace euclidien rapporté au repère orthonormé direct (

O; i⃗, j⃗; k⃗

), on considère les droites

D

D^'

d'équations respectives

{y = 0; 4z = - 1 et {x = 0; 4z = 1

On désigne par

P

la surface d'équation

z = x^2 - y^2.

Déterminer la nature des courbes obtenues en coupant $P$ successivement par les plans d'équations $x = 0, y = 0, z = 0$ et $z = 1$ .
Déterminer la nature de $P$ .
Soit $M_0(x_0, y_0, z_0)$ un point de $P$ . Combien y-a-t-il de droites passant par $M_0$ entièrement incluses dans $P$ ? On donnera un vecteur directeur de chacune de ces droites.
Quel est l'ensemble des points de $P$ par lesquels passent deux droites orthogonales et incluses dans $P$ ?
Déterminer une équation cartésienne de l'ensemble des points de l'espace équidistants des droites $D$ et $D^'$ .

Partie III

n

étant un entier naturel supérieur ou égal à 2 , on désigne par

M_n(ℝ)

l'espace vectoriel des matrices carrées de taille

n \times n

, à coefficients réels, et par

I_n

la matrice identité de

M_n(ℝ)

.
On note tr l'application qui, à toute matrice de

M_n(ℝ)

associe sa trace, c'est-à-dire la somme de ses éléments diagonaux.

Montrer que tr est une application linéaire.
Déterminer $Im(tr)$ . En déduire la dimension de $ker(tr)$ .
Montrer que l'on a $M_n(ℝ) = vect(I_n) \oplus ker(tr)$ .
Établir que: $\forall(A, B) \in M_n(ℝ)^2 : tr(AB) = tr(BA)$ .
Déterminer, s'il en existe, des matrices $A$ et $B$ de $M_n(ℝ)$ telles que $AB - BA = I_n$ .
$J$ désigne une matrice non nulle de $M_n(ℝ)$ .

Soit

Ψ_J

l'application qui, à toute matrice

M

M_n(ℝ)

, associe

Ψ_J(M) = M + tr(M)J

(a) Montrer que

Ψ_J

est un endomorphisme de

M_n(ℝ)

.
(b) Dans le cas où

J = I_n

, déterminer les valeurs propres de

Ψ_(I_n)

Ψ_(I_n)

est-il diagonalisable?
(c) On revient au cas général, simplifier

(Ψ_J)^2 - 2Ψ_J + Id

où

Id

désigne l'endomorphisme identité de

M_n(ℝ)

.
(d) Quelles sont les valeurs propres de

Ψ_J

?
(e)

Ψ_J

est-il diagonalisable?

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte ce sujet de mathématiques B banque PT 2013 ?

Il porte sur les coniques et notamment l'ellipse, la géométrie de l'espace et les quadriques, ainsi que la trace des matrices et la réduction des endomorphismes.

Les trois parties sont-elles indépendantes ?

Oui, les parties I, II et III portent respectivement sur les coniques du plan, une surface de l'espace et l'algèbre linéaire des matrices, et peuvent être traitées séparément.

Qu'est-ce que le paraboloïde hyperbolique étudié en partie II ?

C'est la surface d'équation z = x^2 - y^2, dont chaque point est traversé par exactement deux droites entièrement incluses dans la surface, propriété étudiée dans cette partie.

Quel endomorphisme est étudié dans la dernière partie ?

L'endomorphisme Psi_J, défini par Psi_J(M) = M + tr(M) J pour une matrice J fixée, dont on détermine les valeurs propres et on étudie la diagonalisabilité selon les cas.

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