Banque PT Mathématiques C PT 2013Sujet et corrigé

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Mathématiques C, banque PT 2013 : trois méthodes de calcul approché du nombre pi

Ce problème présente trois méthodes indépendantes pour approcher le nombre pi. La partie I utilise la série de Fourier d'une fonction en dents de scie et les intégrales de Wallis. La partie II fait apparaître l'intégrale de Dirichlet, en étudiant deux fonctions définies par des intégrales à paramètre. La partie III relie le développement en série entière de 1/racine(1-x^2) à une intégrale elliptique, pour obtenir une série à convergence quadratique, donc plus rapide.

1Partie I : série de Fourier et intégrales de WallisOn calcule la série de Fourier d'une fonction en dents de scie pour retrouver une expression de pi comme somme d'une série, puis on calcule les intégrales de Wallis à l'aide des formules d'Euler.
2Partie II : intégrale de DirichletOn étudie deux fonctions définies par des intégrales à paramètre, on établit une équation différentielle les reliant, et on en déduit la valeur de l'intégrale de Dirichlet du sinus cardinal.
3Partie III : développement en série entière et convergence quadratiqueOn développe en série entière la fonction 1/racine(1-x^2), solution d'une équation différentielle, pour obtenir une expression de pi par une série à convergence plus rapide que les précédentes.

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Epreuve de Mathématiques C

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Partie I

On considère la fonction $h$ , impaire, $2π$ périodique, dont la restriction à $[0, π[$ est donnée par :

h(x) = x

(a) Donner les coefficients de Fourier, notés

a_n(h)(n \geq 0)

b_n(h)(n \geq 1)

, de la fonction

h

.
(b) Rappeler le théorème de Dirichlet.
(c) En déduire la convergence de la série de Fourier de

h

, et son expression, pour tout

x \in ℝ

.
(d) Montrer que, pour tout réel

x

[0, π[

\sum_(n = 1)^(+ \infty)(- 1)^(n - 1)(sin(nx))/n = x/2

(e) En déduire :

π = 4\sum_(n = 0)^(+ \infty)((- 1)^n)/(2n + 1)

Soit $n$ un entier naturel non nul. On pose :

J_n = \int_0^π sin^(2n)tdt

(a) Montrer que :

\int_0^(π/2)sin^(2n)tdt = \int_0^(π/2)cos^(2n)tdt

(b) Montrer que :

J_n = 2\int_0^(π/2)cos^(2n)tdt

(c) Rappeler les formules d'Euler, relatives à l'exponentielle complexe.
(d) Rappeler la formule du binôme de Newton.
(e) Calculer, pour tout entier relatif

k : \int_0^π e^(ikt)dt

.
(f) A l'aide du binôme de Newton, exprimer, pour tout réel

t, cos^(2n)t

en fonction d'exponentielles complexes.
(g) Que vaut

\int_0^π cos^(2n)tdt

?
(h) En déduire :

J_n = (1.3.5\dots\dots(2n - 1))/(2^n n!)π

Partie II

On considère les fonctions

φ

ψ

, respectivement définies par :

φ(x) = \int_0^(+ \infty)(e^(- xt)sint)/tdt, ψ(x) = \int_0^(+ \infty)(e^(- xt)cost)/xdt

Montrer que, pour tout réel $t$ strictement positif : $(|sint|)/t \leq 1$ .
Montrer que $φ$ et $ψ$ sont bien définies sur $ℝ^(+ *)$ .
Soit $a$ un réel strictement positif. Etudier la continuité et la dérivabilité de $φ$ et $ψ$ sur $[a, + \infty[$ .
Pour tout réel $x > 0$ , comparer $φ^'(x)$ et $ψ(x)$ .
(On pensera à remarquer que $ψ(x) = lim_(X \to + \infty)\int_0^X(e^(- xt)cost)/xdt$ afin de pouvoir intégrer par parties)
Montrer que, pour tout réel strictement positif $x$ :

φ^'(x) = - 1/(1 + x^2)

Montrer que $φ$ a une limite nulle lorsque $x$ tend vers $+ \infty$ .
Déduire des questions précédentes l'expression de $φ(x)$ pour tout réel strictement positif $x$ .
On admet que :

lim_(x \to 0)\int_0^(+ \infty)(e^(- xt)sint)/tdt = \int_0^(+ \infty)lim_(x \to 0)(e^(- xt)sint)/tdt

Que vaut

\int_0^(+ \infty)(sint)/tdt

Partie III

Soit

c \in [0, 1]

. On pose:

I(c) = \int_0^(π/2)(dt)/(\sqrt(1 - c^2 sin^2 t))

Montrer que $I(c)$ est bien définie.
On considère la fonction $f : x \mapsto 1/(\sqrt(1 - x^2))$ .
(a) Donner le domaine de définition $D_f$ de $f$ .
(b) Montrer que $f$ est dérivable sur $D_f$ .
(c) Montrer que $f$ est développable en série entière sur $D_f$ (on ne calculera pas ici ce développement en série entière).
(d) Montrer que $f$ est solution sur $D_f$ de l'équation différentielle :

(1 - x^2)f^'(x) - xf(x) = 0 (E_f)

(e) On recherche le développement en série entière de

f

sur

D_f

sous la forme :

f(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)α_n x^n

i. Donner, pour tout entier naturel non

nuln

, une relation de récurrence entre

α_(n + 1)

α_(n - 1)

.
ii. Pour tout entier naturel

p

, exprimer

α_(2p)

α_(2p + 1)

en fonction de

p

.
iii. Donner le développement en série entière de

f

.
3. On suppose que :

I(c) = \sum_(p = 0)^(+ \infty)α_(2p)c^(2p)\int_0^(π/2)sin^(2p)(t)dt

En utilisant les résultats du I, en déduire l'expression de

I(c)

sous la forme :

I(c) = πS

où

S

désigne la somme d'une série où les termes

\int_0^(π/2)sin^(2p)(t)dt, p \in ℕ

, n'apparaissent plus.

Dans ce problème, on présente diverses méthodes de calcul du nombre transcendant

π

. Dans la première partie, on retrouve les intégrales de Wallis, que l'on calcule sans utiliser de relation de récurrence. Dans la seconde partie, on fait apparaître l'intégrale de Dirichlet,

\int_0^(+ \infty)(sinx)/xdx

, qui donne le calcul de l'intégrale de la fonction sinus cardinal

x \mapsto (sinx)/x

sur la demi-droite des réels positifs. Les relations permettant d'exprimer

π

en fonction de la somme d'une série permettent son calcul approché. La série de la partie III permet un calcul approché avec une convergence quadratique, donc plus puissante.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte ce sujet de mathématiques C banque PT 2013 ?

Il porte sur les séries de Fourier, les intégrales à paramètre, les intégrales de Wallis, les séries entières et les équations différentielles.

Les trois parties sont-elles indépendantes ?

Oui, chaque partie propose une méthode différente pour approcher pi, et la partie III réutilise seulement les intégrales de Wallis calculées en partie I.

Qu'est-ce que l'intégrale de Dirichlet évoquée dans ce sujet ?

C'est l'intégrale sur la demi-droite des réels positifs de la fonction sinus cardinal, calculée dans la partie II à l'aide de deux fonctions auxiliaires définies par des intégrales à paramètre.

Pourquoi la méthode de la partie III est-elle dite plus puissante ?

L'énoncé indique que la série obtenue dans cette partie a une convergence quadratique, ce qui la rend plus rapide que les séries des parties précédentes pour calculer une valeur approchée de pi.

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