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  • Banque filière PT *

Epreuve de Mathématiques II-B

Durée 4 h

ERRATUM

Dans la partie III on supposera les fonctions h^ et hˇ de classe C^1.
Dans les questions III 3. b. et III 3. c. on lira e^(2iπnτ) au lieu de e^(2iπnt).

** Banque filière PT 轘

Epreuve de Mathématiques II-B

Durée 4 h

L'USAGE DE TOUT MATERIEL ELECTRONIQUE EST INTERDIT.

Toutes les réponses seront justifiées.

La notation tiendra compte du soin apporté à la rédaction.

E est l'espace vectoriel des applications de ℝ dans ℝ, continues, C^1 par morceaux, périodiques de période 1.
E_1 désigne l'ensemble des fonctions paires de E, et E_2 l'ensemble des fonctions impaires de E.
On introduit les applications :
a_0 : E → ℝ, f ↦ a_0(f) = ∫_(− 1/2)^(1/2)f(t)dt,; a_n : E → ℝ, f ↦ a_n(f) = 2∫_(− 1/2)^(1/2)f(t)cos(2πnt)dt, n ∈ ℕ∗,; b_n : E → ℝ, f ↦ b_n(f) = 2∫_(− 1/2)^(1/2)f(t)sin(2πnt)dt, n ∈ ℕ,; c_n : E → ℂ, f ↦ c_n(f) = ∫_(− 1/2)^(1/2)f(t)e^(− 2iπnt)dt, n ∈ ℕ.
On dira, dans ce qui suit, qu'une fonction est égale à la somme de sa Série de Fourier si elle vérifie :
f(t) = lim_(N → ∞){∑_(n = − N)^N c_n(f)e^(2iπnt)} = ∑_(n = − ∞)^∞c_n(f)e^(2iπnt).

I. Décomposition en Série de Fourier

  1. Rappeler la définition d'une fonction C^1 par morceaux.
Toute fonction de E est-elle égale à la somme de sa Série de Fourier?
2. Montrer que toute application f de E peut s'écrire de façon unique comme somme d'une application f_1 de E_1 et d'une application f_2 de E_2. Que peut-on en déduire pour E_1 et E_2 ?
3.
a. Montrer que, pour tout entier n, a_n et b_n sont des applications linéaires.
b. f étant un élément de E, exprimer c_n(f) et c.n(f) en fonction de a_n(f), b_n(f).
4. a. Montrer que, pour toute application f_I de E_I, a_n(f_1) = 4∫_0^(1/2)f_I(t)cos(2πnt)dt.
b. Montrer que, pour toute application f_2 de E_2, b_n(f_2) = 4∫_0^(1/2)f_2(t)sin(2πnt)dt.
5. Soit f_3 la fonction 1 - périodique, égale à 1 − t^2 sur [ − 1/2, 1/2].
a. Tracer le graphe de la fonction f_3 sur l'intervalle [ − 1, 1].
b. Pour tout entier n, calculer a_n(f_3), b_n(f_3).
c. En déduire la valeur de ∑_(n = 1)^∞1/(n^2), puis de ∑_(n = 1)^∞1/(n^4).

II. Approximation d'une fonction continue

Pour tout entier k, on désigne par e_k la fonction: ℝ → ℂ, t → e^(i2πkt).
Soit V l'espace engendré par les fonctions e_k. On désigne par f, dans cette partie, une fonction continue, périodique de période 1 , non nulle.
  1. On considère les fonctions:
g : [ − 1/2, 1/2], →; t, ↦; ℝ, 1 + cos2πt, g_n : [ − 1/2, 1/2] → c ℝ → D_n(1 + cos2πt)^n
où n est un entier, et D_n une constante réelle. On suppose de plus que ∫_(1/2)^(1/2)g_n(t)dt = 1.
On introduit : I_n = ∫_(1/2)^(1/2)(1 + cos2πt)^n dt, J_n = ∫_(1/2)^(1/2)(cosπt)^(2n)dt.
a. Etudier les variations des fonctions g et g_n.
b. Calculer J_n, par récurrence.
c. Déterminer une relation liant I_n et J_n.
d. En déduire : D_n = 1/(I_n) = (2^n(n!)^2)/((2n)!).
2. Soit la suite (u_n)_(n ∈ N) définie par: u_n = (n^n e^(− n)√n)/(n!).
a. On considère la série de terme général v_n = ln((u_(n + 1))/(u_n)). Montrer que v_n = O(1/(n^2)) lorsque n tend vers + ∞, c'est-à-dire qu'il existe une constante positive A telle que :
|v_n| ≤ A/(n^2) lorsque n tend vers + ∞.
Quelle est la nature de la série (∑v_n) ?
b. En déduire l'existence d'un réel B > 0 tel que:
n! ∼ Bn^n e^(− n)√n lorsque n tend vers + ∞.
c. En déduire un équivalent de D_n lorsque n tend vers + ∞, puis la limite de D_n lorsque n tend vers + ∞.
d. Tracer, sur un même graphique, et en choisissant une échelle adaptée, les courbes représentatives respectives des fonctions g et g_n.
3. Etude de K_n = ∫_(1/2)^(1/2)f(t)g_n(t)dt − ∫_(1/2)^(1/2)f(0)g_n(t)dt.
a. Soit ε un réel strictement positif.
Montrer qu'il existe un réel η dans ] 0, 1/2 [ tel que, pour tout t de ] − η, η[ : |f(t) − f(0)| ≤ ε/2.
b. Montrer que: lim_(n → ∞)g_n(η) = 0.
c. En utilisant le résultat de la question 3. b., montrer qu'il existe un entier n_l tel que, pour n ≥ n_l, alors, pour tout t de [ − 1/2, − η[ ∩ ]η, 1/2] :
g_n(t) ≤ ε/(2M), où M = 2Sup_(t ∈ [ − 1/2, 1/2])|f(t)|.
d. En déduire que, pour n ≥ n_l, alors, pour tout t de [ − 1/2, − η[ ∩ ]η, 1/2] :
|f(t) − f(0)|g_n(t) ≤ ε/2
e. Calculer la limite de K_n lorsque n tend vers + ∞.
4. Soit f_n la fonction définie sur ℝ^2 par: f_n(u) = ∫_(− 1/2 + u)^(1/2 + u)f(t)g_n(t − u)dt.
a. Déduire de la question précédente que:
lim_(n → ∞)[f_n(u) − f(u)] = 0
b. Montrer, pour tout t de [ − 1/2, 1/2], que g_n(t) peut s'écrire sous la forme :
g_n(t) = ∑_(k = − n)^n α_k e^(2iπkt)
où les α_k sont des coefficients à exprimer en fonction de n et k.
c. En déduire que toute fonction périodique et continue peut être approximée par une somme finie de fonctions trigonométriques.

III. Théorème d'échantillonnage

Soit H l'espace des fonctions h définies sur ℝ, à valeurs réelles, indéfiniment dérivables sur ℝ, telles que ∫_(− ∞)^(+ ∞)|h(t)|dt existe.
h étant un élément de H, on introduit les fonctions h^ et hˇ définies sur ℝ par:
h^(τ) = ∫_(− ∞)^(+ ∞)h(t)e^(2iπtτ)dt, hˇ(τ) = ∫_(− ∞)^(+ ∞)h(t)e^(− 2iπtτ)dt
On suppose que h^ et hˇ sont telles que ∫_(− ∞)^(+ ∞)|h^(τ)|dτ et ∫_(− ∞)^(+ ∞)|hˇ(τ)|dτ existent, et quo:
h(t) = ∫_(− ∞)^(+ ∞)h^(τ)e^(− 2iπtτ)dτ.
On note F le sous espace de H tel que, pour tout élément f de F, f^ et fˇ soient nulles en dehors de [ − 1/2, 1/2 ] 。
  1. a. Vérifier que, pour tout élément h de H, h^ et hˇ sont bien définies.
    b. Vérifier que, pour tout élément h de H, h^⇀ = h^^–, où h^^– désigne le conjugué ( complexe ) de h^, et que: h^ = h. On admettra que, de même, v^, h.
  2. Montrer que, pour tout élément h de H, h^ et hˇ sont bornées sur ℝ. Les fonctions h^ et hˇ sont-elles continues?
  3. Soit f un élément de F. On désigne par g~ la fonction de période 1 qui coïncide avec f^ sur [ − 1/2, 1/2 ].
    a. En utilisant les relations reliant f et f^, calculer les coefficients c_n(g˜) définis au début du problème en fonction de valeurs de f.
    b. Montrer que, pour tout réel t : f(t) = ∫_(− 1/2)^(1/2){∑_(n = − ∞)^(+ ∞)f(n)e^(2iπnt)e^(− 2iπtτ)}dτ.
    c. En admettant que l'on a aussi : f(t) = ∑_(n = − ∞)^(+ ∞){∫_(1/2)^(1/2)f(n)e^(2iπnt)e^(− 2iπtτ)dτ}
    en déduire, pour tout réel t : f(t) = ∑_(n = − ∞)^(+ ∞)f(n)(sinπ(n − t))/(π(n − t)).
    d. Comment peut-on interpréter ce dernier résultat ?
L'analyse du signal requiert des outils mathématiques nécessaires pour pouvoir assurer stockage, transmission, ou encore tout simplement pour pouvoir reconstruire un signal f(t). Une première approche consiste à le décomposer en ondes sinusoïdales ( séries de Fourier ). Le théorème d'échantillonnage permet, à partir d'un nombre fini de mesures, de le reconstituer au mieux. Les récents développements ont conduit à l'introduction d'ondelettes, obtenues en faisant varier l'intervalle d'intégration des coefficients de Fourier et en remplaçant les fonctions trigonométriques par d'autres familles de fonctions. L'application f^ est une transformation de Fourier, qui permet une représentation, dans l'espace des fréquences, du signal f(t).

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