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* Banque filière PT 新

Epreuve de Mathématiques II-B

Durée 4 h

L'usage des machines à calculer est interdit.
Toutes les réponses seront justifiées.
La notation tiendra compte du soin apporté à la rédaction

Dans tout le problème, p, q et f désignent trois fonctions définies et continues sur [0, 1] telles que p est de classe C^1 (continument dérivable) sur [0, 1] et vérifiant :
∀x ∈ [0, 1], p(x) > 0 et q(x) ≥ 0.

I. Préliminaires.

  1. Soit E un espace vectoriel réel muni d'un produit scalaire noté ⟨, ⟩etdontla norme euclidienne associée est notée ||. Prouver que :
∀(x, y) ∈ E^2, 2⟨x, y⟩ = ‖x + y‖^2 − ‖x‖^2 − ‖y‖^2.
  1. a. Démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz :
∀(x, y) ∈ E^2, |⟨x, y⟩| ≤ ‖x‖‖y‖.
(On pourra s'intéresser à la fonction λ ↦ ‖λx + y‖^2 de la variable réelle λ.)
b. Montrer que |⟨x, y⟩| = ‖x‖‖y‖ si et seulement si {x, y} est une famille liée de E.
c. En déduire que si f et g sont deux fonctions réelles continues sur [0, a] (où a est un réel strictement positif),
|∫_0^a f(t)g(t)dt| ≤ √((∫_0^a f^2(t)dt)(∫_0^a g^2(t)dt))
  1. Soit E un espace vectoriel réel, N une application de E dans ℝ à valeurs positives ou nulles et vérifiant ∀x ∈ E, N(x) = N(− x).
    On pose φ(x, y) = 1/2(N^2(x + y) − N^2(x) − N^2(y)) et on suppose que φ est un produit scalaire.
    Après avoir vérifié que N(0_E) est nul (où 0_E désigne l'élément nul de E ), prouver que N est la norme euclidienne associée à φ.

II. Equivalence de normes.

  1. Justifier l'existence de trois réels positifs p_0, p_1 et q_1 tels que:
∀x ∈ [0, 1], 0 < p_0 ≤ p(x) ≤ p_1 et q(x) ≤ q_1.
  1. Soit H l'espace vectoriel réel formé des fonctions réelles de classe C^1 sur [0, 1] s'annulant en 0 et en 1 , c'est-à-dire :
H = {u ∈ C^1([0, 1], ℝ), u(0) = u(1) = 0}
Pour tout couple (u, v) de fonctions de H, on pose :
⟨u, v⟩, = ∫_0^1(u(t)v(t) + u^′(t)v^′(t))dt; b(u, v), = ∫_0^1(q(t)u(t)v(t) + p(t)u^′(t)v^′(t))dt; L(v), = ∫_0^1 f(t)v(t)dt
a. Vérifier que L est une forme linéaire sur H.
b. Montrer que (u, v) ↦ ⟨u, v⟩ est un produit scalaire sur H. On pose alors :
‖u‖ = √(⟨u, u⟩)
c. Montrer que (u, v) ↦ b(u, v) est un produit scalaire sur H.
3. a. Prouver, en utilisant la question I(2)c, l'existence d'un réel γ positif tel que :
∀v ∈ H, |L(v)| ≤ γ‖v‖
b. Prouver de même l'existence d'un réel δ strictement positif tel que :
∀(u, v) ∈ H^2, |b(u, v)| ≤ δ‖u‖‖v‖
  1. a. Prouver à l'aide de la question I(2)c que pour toute fonction v de H et pour tout réel x de [0, 1],
v^2(x) ≤ x∫_0^1 v^2(t)dt
b. En déduire que :
∀v ∈ H, p_0‖v‖^2 ≤ 3/2b(v, v)
  1. Soient u_1 et u_2 des fonctions de H vérifiant ∀v ∈ H, b(u_1, v) = L(v) = b(u_2, v). Prouver que u_1 = u_2.
  2. Soit G l'espace vectoriel réel formé des fonctions réelles continues, C^1 par morceaux s'annulant en 0 et 1 , c'est à dire :
G = {u ∈ C^0([0, 1], ℝ), u(0) = u(1) = 0, u est C^1 par morceaux sur [0, 1]}
a. Après avoir rappelé la définition d'une fonction C^1 par morceaux sur [0, 1], montrer que ⟨u, v⟩ et b(u, v) peuvent être définies lorsque u et v sont éléments de G.
b. Vérifier que b(v, v) = 0 avec v ∈ G si et seulement si ∀x ∈ [0, 1], v(x) = 0.
On admet que (u, v) ↦ ⟨u, v⟩ et (u, v) ↦ b(u, v) sont encore des produits scalaires sur G et on continue à noter || || la norme euclidienne associée au produit scalaire ⟨, ⟩.

III. Equation de Sturm-Liouville.

On s'intéresse aux solutions de classe C^2 sur [0, 1] de :
∀x ∈ [0, 1], − d/(dx)(p(x)u^′(x)) + q(x)u(x) = f(x)
vérifiant de plus
u(0) = u(1) = 0
On admet dans toute la suite que les fonctions p, q et f sont choisies de telle sorte qu'il existe au moins une solution de l'équation différentielle (1) vérifiant les conditions initiales (2).
  1. Résoudre le problème posé lorsque p(x) = e^(− αx) (avec α réel non nul), q(x) = 0 et f(x) = − 2n_0 πcos(2n_0 πx) (avec n_0 entier naturel non nul).
  2. On revient au cas général. Soit u une solution du problème posé (c'est-à-dire vérifiant (1) et (2) ), prouver que :
∀v ∈ H, b(u, v) = L(v)
En déduire que l'équation (3) admet une unique solution u dans H.
3. On pose, pour tout élément v de H, J(v) = 1/2b(v, v) − L(v) et on désigne par u l'unique solution de (3) dans H.
a. En calculant J(u + w) avec w ∈ H, prouver que
∀v ∈ H, J(u) ≤ J(v)
b. Réciproquement, soit u_0 un élément de H tel que ∀v ∈ H, J(u_0) ≤ J(v). Etablir, en calculant J(u_0 + λw) pour tout réel λ, que :
∀w ∈ H, b(u_0, w) = L(w)
u est donc l'unique fonction de H réalisant le minimum de J sur H.
4. On désigne par W un sous-espace vectoriel de G de dimension d de base (φ_i)_(1 ≤ i ≤ d) et par π_W la projection orthogonale sur W pour le produit scalaire b.
a. Montrer que ∀w ∈ W, b(π_W(u) − u, π_W(u) − u) ≤ b(w − u, w − u).
b. Prouver que u_W = π_W(u) si et seulement si u_W est élément de W et vérifie
∀v ∈ W, b(u_W, v) = L(v)
c. Soit (α_1, …, α_d) les composantes de u_W dans la base (φ_i)_(1 ≤ i ≤ d). Montrer que ces composantes sont solutions du système :
∀i ∈ [1, d], ∑_(j = 1)^d b(φ_i, φ_j)α_j = L(φ_i).
Prouver que ce système est un système de Cramer.

IV. Approximations de la solution u.

Soit n un entier naturel non nul; on pose h = 1/(n + 1) et pour tout entier naturel i, x_i = ih. De plus, pour i compris entre 1 et n, on désigne par φ_i la fonction définie par :
{x ∈ [x_(i − 1), x_(i + 1)] ⇒, φ_i(x) = 1 − (|x − x_i|)/h; x ∉ [x_(i − 1), x_(i + 1)], ⇒ φ_i(x) = 0.
  1. a. Tracer le graphe d'une fonction φ_i et vérifier que pour tout i, φ_i est élément de G.
    b. Soit W_n le sous-espace de G engendré par la famille {φ_i}_(1 ≤ i ≤ n).
Soit φ = ∑_(i = 1)^n t_i φ_i un élément de W_n. Quelle est la valeur de t_i ? En déduire que les fonctions (φ_i)_(1 ≤ i ≤ n) forment une base de W_n.
c. Prouver que si |j − i| ≥ 2, b(φ_i, φ_j) = 0.
2. Dans cette question, p(x) = e^(− αx) (avec α réel non nul) et q(x) = 0.
a. Calculer b(φ_i, φ_j) pour 1 ≤ i ≤ n et 1 ≤ j ≤ n.
b. Calculer alors le déterminant du système (4) lorsque n = 2 et retrouver que dans ce cas particulier ce système est un système de Cramer.
3. On pose w_n = ∑_(i = 1)^n u(x_i)φ_i.
a. Etablir l'égalité suivante, pour 1 ≤ i ≤ n + 1 :
∀x ∈ [x_(i − 1), x_i], u(x) − w_n(x) = 1/h∫_(x_(i − 1))^x(∫_(x_(i − 1))^(x_i)(∫_y^t u^(′′)(z)dz)dy)dt
b. En déduire à l'aide d'une inégalité donnée par la question I(2)c que :
∀x ∈ [x_(i − 1), x_i], |u(x) − w_n(x)| ≤ h^(3/2)(∫_(x_(i − 1))^(x_i)(u^(′′)(z))^2 dz)^(1/2)
c. Prouver de même que :
∀x ∈ ]x_(i − 1), x_i[, |u^′(x) − w_n^′(x)| ≤ h^(1/2)(∫_(x_(i − 1))^(x_i)(u^(′′)(z))^2 dz)^(1/2)
  1. Montrer alors que :
‖u − w_n‖ ≤ (√5h)/2(∫_0^1(u^(′′)(z))^2 dz)^(1/2)
Quelle interprétation vous suggère cette inégalité?
Rappel :|| || est la norme euclidienne associée au produit scalaire ⟨, ⟩.

V. Appendice.

Ce problème provient de la modélisation des vibrations de cordes fixées aux deux extrémités. La recherche d'une solution sous forme de série conduit à la résolution d'un problème de Sturm-Liouville où u est le déplacement vertical en un point d'abscisse x, p et q sont des caractéristiques de la corde et f est liée aux forces appliquées à la corde.

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