où ln désigne la fonction logarithme népérien.
2. Pour tout x ∈ ℝ montrer l'inégalité: |sinx| ≤ |x|.
3. Pour a > 0 montrer que f est de classe C^2 sur ] − a, a[.
En déduire que f est de classe C^2 sur ℝ.
4. Pour x ∈ ℝ calculer f^(′′)(x).
5. En déduire une expression de f à l'aide des fonctions usuelles.
Deuxième exercice
Dans le plan affine euclidien ℝ^2 muni du repère orthonormé (O, i⃗, j⃗) on considère le point Ω(1, 0).
Déterminer la courbe (Γ) lieu de l'orthocentre du triangle (OΩN) quand N décrit le cercle de centre Ω et de rayon 1 (On rappelle que l'orthocentre d'un triangle est le point commun aux trois hauteurs du triangle).
Montrer que (Γ) peut se paramétrer par:
x = 2/(t^2 + 1) et y = (t^2 − 1)/(t(t^2 + 1))
Pour information, sa représentation graphique est:
3. Donner l'équation de la droite ( Δ_t ) passant par les deux points M_1 et M_2 de (Γ) correspondant aux paramètres t_1 = t et t_2 = 1/t.
Calculer des équations paramétriques de l'enveloppe ( E ) des droites ( Δ_t ) pour t ≠ 0.
En déterminant une relation entre les coordonnées de ses points, montrer que (E) est contenue dans une conique. Est-elle égale à cette conique?
4. Pour a ∈ ℝ montrer que la droite (D) d'équation y = ax coupe la courbe ( Γ ) en deux points différents de l'origine, M et M^′ éventuellement confondus.
Soit P le point de (D) d'abscisse x = 1; comparer les longueurs ‖PM^(→−)‖, ‖PM^′^(→−)‖ et ‖PΩ^(→−)‖.
En déduire une construction des points de (Γ).
Troisième exercice
Dans l'espace affine euclidien ℝ^3 muni du repère orthonormé (O, i⃗, j⃗, k⃗) on considère:
la surface (S) définie par l'équation cartésienne x^2 − 2y^2 + 2z^2 = 2,
pour tout λ ∈ ℝ les plans (P_λ) d'équation z = λy + 1,
pour tout λ ∈ ℝ les courbes (C_λ) intersection de (S) avec les plans (P_λ).
Quelle est la nature de la surface (S) ? Est-ce une surface de révolution?
Quelle est la nature de la courbe intersection de (S) avec un plan parallèle au plan (Oxz) ?
2. Montrer que l'aire du domaine intérieur à l'ellipse située dans le plan ( Oxz ) et donnée par l'équation réduite (x^2)/(a^2) + (z^2)/(b^2) = 1 est égale à πab.
Calculer le volume délimité par (S) et les plans d'équation y = 0 et y = 1.
3. Soit λ ∈ ℝ fixé. Déterminer les équations des projections des courbes (C_λ) sur le plan (Oxy).
Discuter la nature de ces projections suivant λ; on étudiera en particulier les cas λ = 0, λ = 1/2, λ = 1 et λ = 2.
Peut-on en déduire la nature de ( C_λ )?
Peut-on ainsi savoir s'il existe des valeurs λ ∈ ℝ telles que ( C_λ ) soit un cercle?
4. Soit λ ∈ ℝ fixé. Déterminer un repère orthonormé (O, I⃗, J⃗, K⃗) tel que K⃗ soit orthogonal au plan (P_λ).
Quelle est l'équation du plan ( P_λ ) dans ce nouveau repère?
Quelle est l'équation de la surface ( S ) dans ce nouveau repère?
Montrer qu'il existe des valeurs λ ∈ ℝ telles que la courbe ( C_λ ) soit un cercle; les déterminer.
Quatrième exercice
On note M l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients complexes.
Soit I = (1, 0; 0, 1) la matrice identité et 0 = (0, 0; 0, 0) la matrice nulle.
On considère une matrice A appartenant à M.
Soit a ∈ ℂ; on considère l'équation z^2 = a dans ℂ.
En déterminer les solutions; combien y en a-t-il?
2. On note α et β les deux valeurs propres, distinctes ou non, de la matrice A; calculer α + β et αβ à l'aide des coefficients de A.
En déduire que (A − αI)(A − βI) = 0.
3. On suppose A diagonalisable.
Montrer qu'il existe P ∈ M inversible telle que le produit P^(− 1)AP est de l'une des formes suivantes:
− (α, 0; 0, β) avec α ∈ ℂ, β ∈ ℂ, α ≠ 0, β ≠ 0 et α ≠ β; − (α, 0; 0, 0) avec α ∈ ℂ et α ≠ 0; − (α, 0; 0, α) avec α ∈ ℂ
On suppose A non diagonalisable.
Montrer qu'il existe une valeur propre double α ∈ ℂ et un vecteur u ∈ ℂ^2 tels que v = (A − αI)u ≠ 0.
Montrer que (u, v) est une base de ℂ^2.
En déduire qu'il existe P ∈ M inversible telle que le produit P^(− 1)AP est de la forme (α, 0; 1, α) avec α ∈ ℂ.
5. Soit Z ∈ M; on considère l'équation Z^2 = (α, 0; 0, β) avec α ∈ ℂ, β ∈ ℂ, α ≠ 0, β ≠ 0 et α ≠ β.
Déterminer les solutions; combien y en a-t-il?
6. Soit Z ∈ M; on considère l'équation Z^2 = (α, 0; 0, 0) avec α ∈ ℂ et α ≠ 0.
Déterminer les solutions; combien y en a-t-il?
7. Soit Z ∈ M; on considère l'équation Z^2 = (α, 0; 0, α) avec α ∈ ℂ.
Montrer qu'il y a une infinité de solutions.
8. Soit Z ∈ M; on considère l'équation Z^2 = (α, 0; 1, α) avec α ∈ ℂ.
Déterminer les solutions (On pourra distinguer les cas α ≠ 0 et α = 0 ); combien y en a-t-il?
9. Soit Z ∈ M; on considère l'équation Z^2 = A.
Discuter le nombre de solutions selon la matrice A.
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