Banque PT Mathématiques B PT 2009Sujet et corrigé

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Présentation du sujet

Étude d'une conique, courbe polaire, inversion géométrique et cônes de révolution

Le sujet étudie d'abord une conique par réduction de son équation dans une base adaptée aux vecteurs propres d'une matrice symétrique, puis une courbe en coordonnées polaires. Il introduit ensuite l'inversion géométrique du plan et l'applique à des cercles, des droites, une ellipse et une hyperbole. Il se termine par la détermination des sommets d'un cône s'appuyant sur une ellipse donnée pour lesquels ce cône est de révolution.

1Partie I : réduction d'une coniqueOn réduit l'équation d'une conique par changement de repère et diagonalisation d'une matrice symétrique, on identifie sa nature, ses sommets et ses asymptotes.
2Partie II : étude d'une courbe polaireOn étudie le domaine de définition, les symétries, les variations et la tangente d'une courbe donnée par une équation polaire faisant intervenir une racine carrée de sinus.
3Partie III : inversion géométriqueOn définit l'inversion de pôle et de rapport donnés, on établit sa formule en variable complexe et on détermine les images de cercles, de droites, d'une ellipse et d'une hyperbole par cette transformation.
4Partie IV : cônes de révolution s'appuyant sur une ellipseOn détermine, à l'aide de la diagonalisation d'une matrice symétrique dépendant de paramètres, l'ensemble des sommets pour lesquels un cône s'appuyant sur une ellipse donnée est un cône de révolution.

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Epreuve de Mathématiques B

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

A rendre avec la copie deux feuilles de papier millimétré

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultat non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Partie I

On se place dans le plan affine euclidien

P

muni d'un repère orthonormé (

O; ı⃗, ȷ⃗

). On note

u⃗ \cdot v⃗

le produit scalaire usuel entre deux vecteurs

u⃗

v⃗

Soit

(C)

la conique d'équation cartésienne

y^2 - \sqrt3xy - 2\sqrt3x + (4 - 3\sqrt3)y + 6 - 6\sqrt3 = 0.

On considère le point $O^'$ de coordonnées $(- 3, - 2)$ . Donner une équation cartésienne de $(C)$ dans le repère $(O^'; ı⃗, ȷ⃗)$ .
Soit $A$ la matrice $A = (0, - (\sqrt3)/2; - (\sqrt3)/2, 1)$ .
(a) Calculer les valeurs propres de $A$ . Trouver deux vecteurs propres $u⃗$ et $v⃗$ tels que ( $u⃗, v⃗$ ) soit une base orthonormée directe de $ℝ^2$ .
(b) Quelle isométrie du plan transforme le repère ( $O; ı⃗, ȷ⃗$ ) en le repère ( $O^'; u⃗, v⃗$ ) ?
(c) Donner une équation cartésienne ( $C$ ) dans le repère ( $O^'; u⃗, v⃗$ ).
(d) Quelle est la nature de la conique $(C)$ ?
Déterminer les sommets de ( $C$ ) dans le repère ( $O^'; u⃗, v⃗$ ) puis dans le repère ( $0; ı⃗, ȷ⃗$ ).
Déterminer les asymptotes de ( $C$ ) dans le repère ( $O; ı⃗, ȷ⃗$ ).
Dessiner la conique $(C)$ . On prendra $\sqrt3 ≃ 1, 732$ .

Partie II

On considère dans le plan

P

la courbe d'équation polaire

ρ(θ) = \sqrt(sin(2θ))

Déterminer l'ensemble des réels $θ$ pour lesquels $ρ(θ)$ est bien défini.
Vérifier qu'il suffit d'étudier la fonction $ρ$ pour $θ \in [0, π/4]$ . Par quelle(s) transformation(s) du plan obtient-on l'ensemble de la courbe à partir de cette étude ?
Etudier les variations de $ρ$ .
Déterminer l'intersection de cette courbe avec l'axe des abscisses. On admettra que la courbe admet une tangente horizontale en ce(s) point(s).
Calculer l'équation de la tangente à la courbe au point de paramètre $θ \in ]0, π/4]$ dans le repère ( $O; ı⃗, ȷ⃗$ ).
Dessiner la courbe.

Partie III

Soit

Ω

un point du plan et soit

R

un réel strictement positif.

Etant donné un point $M$ du plan, combien existe-il de points $M^'$ vérifiant :

Les point $M, M^'$ et $Ω$ sont alignés,
$- ΩM^(\to-) \cdot ΩM^'^(\to-) = R^2$ ?

On considère l'application $φ$ , de $P∖{Ω}$ dans lui même, qui, à tout point $M$ distinct de $Ω$ associe le point $M^'$ tel que

Les point $M, M^'$ et $Ω$ sont alignés,
$- ΩM^(\to-) \cdot ΩM^'^(\to-) = R^2$ .
Montrer que l'application $φ$ est une bijection, et déterminer sa bijection réciproque.

Quelle est l'image par $φ$ du cercle de centre $Ω$ et de rayon $R$ ?
Quelle est l'image par $φ$ d'un cercle de centre $Ω$ et de rayon $r \neq R$ ?
Quelle est l'image par $φ$ d'une droite passant par $Ω$ ?
Soit $M$ un point du plan d'affixe complexe $z$ . On note $z_Ω$ l'affixe de $Ω$ et $z^'$ l'affixe de $M^'$ , image de $M$ par $φ$ .
(a) Déterminer, en fonction de $R, Ω$ et $M$ , le réel $λ$ tel que $: ΩM^'^(\to-) = λΩM^(\to-)$
(b) Vérifier que

z^' = z_Ω + (R^2)/(z - z_Ω^-)

On suppose dans cette question que $z_Ω = 1$ et $R = 1$ .
(a) Déterminer le module et l'argument du point $M(θ)$ d'affixe

z = 1/2(1 + e^(iθ))

avecθ \in ℝ

.
(b) Déterminer l'ensemble

A

des réels

θ

pour lesquels

M(θ) \neq Ω

.
(c) Pour

θ \in A

, déterminer l'image par

φ

du point

M(θ)

(on précisera le module et l'argument de son affixe).
(d) Déterminer l'image par

φ

du cercle de diamètre

[O, Ω]

, privé de

Ω

.
(e) Déterminer l'image par

φ

de l'axe des ordonnées.
8. Soit (

E

) l'ellipse d'équation

3x^2 + 4y^2 = 12.

(a) Déterminer l'excentricité et les foyers de cette ellipse.
(b) On note

F

le foyer d'abscisse positive. Vérifier qu'une représentation polaire de

(E)

dans le repère

(F; ı⃗, ȷ⃗)

est

ρ(θ) = 3/(2 + cosθ).

F

Ω

sont confondus, et que

R = 1

. Déterminer une équation polaire dans le repère (

F; ı⃗, ȷ⃗

) de l'image de (

E

) par

φ

.
9. Dans cette question uniquement, on suppose que les points

O

Ω

sont confondus, et que

R = \sqrt2

. (

H

) étant l'hyperbole d'équation

xy = 1

, déterminer l'image de

(H)

par

φ

(on pourra commencer par déterminer une représentation polaire de

(H)

). Comment obtient-on cette courbe à partir de la courbe étudiée dans la partie II ?

Partie IV

On se place maintenant dans l'espace affine euclidien de dimension 3 muni d'un repère orthonormé (

O; ı⃗, ȷ⃗, k⃗

). Soit l'ellipse (

E

) d'équation

{(x^2)/4 + y^2 = 1; z = 0

Soit (

C

) un cône de sommet

S

s'appuyant sur

(E

). Nous cherchons une condition sur

S

pour que

(C)

soit de révolution.

Pour des raisons de symétrie, si le cône (

C

) est de révolution, le sommet

S

appartient au plan (

O; ı⃗, k⃗

). On supposera donc dans toute cette partie que

S

a pour coordonnées

(x_0, 0, z_0)

avec

z_0 \neq 0

Soit $M$ le point de coordonnées $(x_M, y_M, z_M)$ . Donner une équation paramétrique de la droite passant par $S$ et $M$ .
En déduire qu'une équation cartésienne de ( $C$ ) dans le repère ( $S; ı⃗, ȷ⃗, k⃗$ ) est

((x_0 Z - z_0 X)^2)/4 + z_0^2 Y^2 - Z^2 = 0

On considère la matrice

A = ((z_0^2)/4, 0, - (x_0 z_0)/4; 0, z_0^2, 0; - (x_0 z_0)/4, 0, (x_0^2)/4 - 1)

(a) Calculer le polynôme caractéristique de

A

.
(b) Montrer que la matrice

A

est diagonalisable.
(c) Montrer que le polynôme

P(λ) = λ^2 - ((x_0^2 + z_0^2 - 4)/4)λ - (z_0^2)/4

ne peut pas admettre de racine double.
(d) En déduire que la matrice

A

admet une valeur propre double si et seulement si

z_0^2

est racine du polynôme

P

.
4. Déterminer l'ensemble des sommets

S

pour lesquels le cône

(C)

est de révolution.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte ce sujet de maths B banque PT 2009 ?

Il porte sur l'étude des coniques, les courbes en coordonnées polaires, les transformations géométriques du plan complexe (inversion) et la géométrie des cônes de révolution.

Quelles parties sont indépendantes dans ce sujet ?

Les parties I et II sont largement autonomes ; la partie III sur l'inversion réutilise la conique et la courbe polaire étudiées précédemment comme exemples, et la partie IV, sur les cônes de révolution, est indépendante des trois premières.

Qu'est-ce que l'inversion géométrique étudiée dans ce sujet ?

C'est une transformation du plan qui, à un point M, associe un point M' aligné avec M et un centre fixe Omega, tel que le produit des distances OmegaM et OmegaM' soit constant ; le sujet étudie son action sur des cercles, des droites et des coniques.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour ce sujet ?

La réduction des formes quadratiques par diagonalisation de matrices symétriques, l'étude de courbes en polaires, et la manipulation des affixes complexes pour les transformations géométriques.

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