Banque PT Mathématiques B PT 2017Sujet et corrigé

Epreuve de Mathématiques B

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

À rendre en fin d'épreuve avec la copie une feuille de papier millimétré _–

Définitions et notations.

Questions de cours.

1. Calculer ∑_(k = 0)^n B_(k, n)(X).
2. Soient t ∈ [0; 1] et X_n une variable aléatoire réelle à valeurs dans [ [0; n] ] telle que pour tout k dans [ [0; n] ], P(X_n = k) = B_(k, n)(t).
   (a) Donner le nom et le(s) paramètre(s) de la loi de probabilité suivie par X_n.
   (b) Préciser l'espérance et la variance de X_n.
   (c) Donner un exemple d'une telle variable aléatoire X_n.
3. Rappeler quelle est la dimension de ℝ_n[X].
4. Donner la définition de deux espaces vectoriels orthogonaux pour un produit scalaire noté φ.
5. Donner la définition d'une surface de révolution ayant pour axe une droite Δ.

Préliminaires.

1. Développer les polynômes B_(k, 2)(X) pour 0 ⩽ k ⩽ 2, et les polynômes B_(k, 3)(X) pour 0 ⩽ k ⩽ 3.
2. Démontrer que (B_(k, 2)(X))_(0 ⩽ k ⩽ 2) est une base de ℝ_2[X].
3. Démontrer que (B_(k, n)(X))_(0 ⩽ k ⩽ n) est une base de ℝ_n[X].

Partie I : Un produit scalaire.

1. (a) Démontrer que φ est un produit scalaire sur ℝ_2[X].
   (b) Orthonormaliser, pour le produit scalaire φ, la base ( X^2, X, 1 ) de ℝ_2[X]. On exprimera cette nouvelle base orthonormée à l'aide des polynômes (B_(k, 2)(X))_(0 ⩽ k ⩽ 2).
2. On considère l'endomorphisme f de ℝ_2[X] dont la matrice dans la base (B_(2 − k, 2)(X))_(0 ⩽ k ⩽ 2) est :

Partie II : Une première courbe de Bézier dans le plan.

1. (a) Donner une représentation paramétrique de Γ_1.
   (b) Quelle remarque peut-on faire concernant les courbes Γ_1 et Γ_2 ?
2. Etude de Γ_2.
   (a) Construire les tableaux de variations des fonctions x_2 et y_2.
   (b) Déterminer les points réguliers de Γ_2 dont la tangente à Γ_2 est horizontale ou verticale.
   (c) Déterminer une équation cartésienne de la tangente à Γ_2 au point de paramètre t = 0.
   (d) Déterminer le point singulier de Γ_2. Préciser sa nature ainsi que la tangente à Γ_2 en ce point.
   (e) Donner la nature des branches infinies de Γ_2. Illustrer la réponse par un schéma sur la copie.
3. Tracer dans le repère ( O; i⃗, j⃗ ), la courbe Γ_1, les points A_0, A_1, A_2 et A_3 ainsi que les tangentes à Γ_1 obtenues aux questions précédentes.
   On utilisera la feuille de papier millimétrée fournie. Le tracé de Γ_2 n 'est pas demandé. Il est conseillé de prendre une unité de 6 cm .

Partie III : Un détour par le cas général

1. Que peut-on dire des points de Γ de paramètre t = 0 et t = 1 ?
2. On suppose dans cette question que les points A_0 et A_1 sont distincts. Démontrer que la tangente à Γ en A_0 et la droite ( A_0 A_1 ) sont confondues.
   On admettra que si les points A_n et A_(n − 1) sont distincts, alors la tangente à Γ en A_n et la droite (A_(n − 1)A_n) sont confondues.
3. Soient P et Q deux polynômes de ℝ_n[X]. On considère la courbe Λ dont une représentation paramétrique est {x(t) = P(t); y(t) = Q(t), t ∈ [0, 1].
   Est-il possible de trouver (n + 1) points A_0, A_1, …, A_n tels que Λ soit la courbe de Bézier associée aux points de contrôle A_0, A_1, …, A_n ?

Partie IV : Une deuxième courbe de Bézier.

1. (a) En utilisant la partie III, déterminer les coordonnées du point C_1.
   (b) Vérifier qu'un paramétrage de Γ_3 est {x_3(t) = 2t − t^2; y_3(t) = 2t − 3t^2, t ∈ [0, 1].
2. Faire l'étude de la courbe Γ_3.
3. Compléter le graphe de la partie II en y rajoutant Γ_3, le point C_1 ainsi que toute autre information vous paraissant pertinente.

Partie V : Une surface de révolution.

1. Vérifier qu'un paramétrage de Γ_4 est {x_4(t) = 6t − 3; y_4(t) = 3(t − t^2); z_4(t) = 0, t ∈ [0, 1].
2. Donner un vecteur directeur ainsi qu'un système d'équations cartésiennes de la tangente à Γ_4 au point de paramètre t = 1/3.
3. Déterminer une équation cartésienne de la surface de révolution obtenue en faisant tourner Γ_4 autour de l'axe (O; i⃗).