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Quatre problèmes indépendants de géométrie et d'algèbre linéaireAfficher ou masquer la section
Présentation du sujet
Quatre problèmes indépendants de géométrie et d'algèbre linéaire
Le sujet réunit quatre parties indépendantes : l'étude d'une surface définie par une équation cartésienne et de son intersection avec un plan, la recherche de la développée et du cercle osculateur d'une courbe paramétrée, la puissance d'un point par rapport à un cercle et l'axe radical de deux cercles, et enfin l'étude d'un endomorphisme de R^4 à travers son polynôme minimal et sa diagonalisabilité.
- 1Partie IÉtudie le plan tangent à une surface en un point et la tangente à l'intersection de cette surface avec un plan.
- 2Partie IIDétermine la normale, la développée et le cercle osculateur d'une courbe paramétrée, puis étudie un cercle tangent à cette courbe à un ordre donné.
- 3Partie IIIÉtudie la puissance d'un point par rapport à un cercle, l'axe radical de deux cercles, puis une caractérisation de points cocycliques à l'aide des nombres complexes.
- 4Partie IVÉtudie un endomorphisme de R^4 défini par une matrice explicite, son polynôme annulateur et sa diagonalisabilité.
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La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
Les quatre parties de ce problème peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.
Dans ce sujet, les candidats sont invités à illustrer, s'ils le jugent nécessaire, leurs réponses avec un dessin.
Partie I
Dans l'espace euclidien rapporté au repère orthonormé direct (
O; i⃗, j⃗, k⃗ ), on condidère la surface
S_1 d'équation cartésienne
xy^2 + yz^2 + zx^2 + 2xyz + 5 = 0 , la surface
S_2 d'équation cartésienne
2x − 3y + z = 7 et le point
M_0 de coordonnées (
1, − 1, 2 ). On note
Λ l'intersection de
S_1 et
S_2 .
- Vérifier que
M_0 ∈ Λ . - Déterminer une équation du plan tangent à
S_1 enM_0 . - En déduire une représentation cartésienne, puis un vecteur directeur de la tangente à
Λ enM_0 .
Partie II
Dans le plan euclidien rapporté au repère orthonormé direct (
O; i⃗, j⃗ ), on considère la courbe
Γ de représentation paramétrique
Pour tout
t strictement négatif, on désigne par
M_t le point de
Γ de paramètre
t .
- (a) Justifier qu'une représentation paramétrique de la normale à
Γ au pointM_t ,t ∈ ℝ^(− ⋆) , est :
(b) En déduire une représentation paramétrique de la développée de
Γ .
(c) Utiliser ce résultat pour donner le centre et le rayon du cercle de courbure deΓ au point
M_(− 1) , de paramètre
t = − 1 .
2. SoitΣ le cercle de centre
Ω de coordonnées
(a, b) ∈ ℝ^2 , et de rayon
r > 0 . On dit que
Σ et
Γ sont tangents en un point
A si
− A ∈ Σ ∩ Γ ;
(c) Utiliser ce résultat pour donner le centre et le rayon du cercle de courbure de
2. Soit
- la tangente à
Σ enA et la tangente àΓ enA sont confondues.
(a) Exprimerb etr en fonction dea pour queΣ etΓ soient tangents enM_(− 1) .
(b) Dans ces conditions, donner une équation deΣ sous la formef_a(x, y) = 0 ne dépendant que du paramètrea .
(c) Effectuer les développements limités dex(t) ety(t) à l'ordre 3 ent = − 1 .
On donne
f_a(x(t), y(t)) = (28 − 4a)(t + 1)^2 + (28 − 4a)(t + 1)^3 + o((t + 1)^3)
(d) Déterminer a pour qu'au voisinage det = − 1, f_a(x(t), y(t)) = o((t + 1)^3) . Quelle(s) remarque(s) peut-on faire concernant
Ω et
r ?
(d) Déterminer a pour qu'au voisinage de
Partie III
Dans le plan euclidien
ℝ^2 , le produit scalaire des vecteurs
u⃗ et
v⃗ sera noté
u⃗ ⋅ v⃗ et la norme du vecteur
u⃗ sera notée
‖u⃗‖ .
- Soit
C un cercle de centreO et de rayonR > 0 etI un point du plan. Une droiteD passant parI et sécante àC coupeC enA etB . On noteA^′ le symétrique deA par rapport àO .
(a) Démontrer queIA^(→−) ⋅ IB^(→−) = IA^(→−) ⋅ IA^′^(→−) = IO^2 − R^2 .
On remarque que la valeur de
IA^(→−) ⋅ IB^(→−) est indépendante de la droite
D sécante à
C choisie. On note
σ_C(I) ce nombre.
(b) Quelle information le signe deσ_C(I) donne-t-il sur la position du point
I ?
(c) SoitI un point du plan tel que
σ_C(I) ⩾ 0 ,
Λ l'ensemble des points
M du plan vérifiant
IM^(→−) ⋅ OM^(→−) = 0 , et
T un point de
Λ ∩ C .
i. Quelle est la nature deΛ ? Préciser ses éléments caractéristiques.
ii. Démontrer queσ_C(I) = IT^2 .
2. SoientC et
C^′ deux cercles de centres respectifs
O et
O^′ , distincts, de rayons respectifs
R > 0 et
R^′ > 0 . On désigne par
Ω le milieu du segment
[OO^′] et par
Δ l'ensemble des points
I du plan vérifiant
σ_C(I) = σ_(C^′)(I) .
(a) Démontrer que
(b) Quelle information le signe de
(c) Soit
i. Quelle est la nature de
ii. Démontrer que
2. Soient
(a) Démontrer que
(b)
i . Soit
I_1 et
I_2 deux points distincts de
Δ . Démontrer que les droites
(I_1 I_2) et
(OO^′) sont orthogonales.
ii. Déterminer un pointI_0 appartenant à
Δ et
(OO^′) .
iii. En déduire la nature deΔ .
(c) Que dire de plus surΔ lorsque
C et
C^′ sont sécants ou tangents? Ou lorsque les deux cercles ont le même rayon?
(d) Dans cette question, l'unité de longueur est le centimètre. On prendOO^′ = 10 ,
R = 5 et
R^′ = 3 . Tracer
Δ .
3. (a) SoientA, B et
C trois points non alignés du plan, et
C le cercle circonscrit au triangle
ABC . Soit
I un point de la droite
(AB) distinct de
A et
B , et
D un point de la droite
(IC) vérifiant
IC^(→−) ⋅ ID^(→−) = IA^(→−) ⋅ IB^(→−) .
Démontrer queD appartient au cercle
C .
(b) On se place désormais dans le plan complexe. Le vecteuru⃗ a pour affixe
z ∈ ℂ , et le vecteur
v⃗ a pour affixe
z^′ ∈ ℂ .
i. Rappeler la relation entre‖u⃗ + v⃗‖, ‖u⃗‖, ‖v⃗‖ et
u⃗ ⋅ v⃗ .
ii. En déduire queu⃗ ⋅ v⃗ = Re(zz^′^–) (
Re désigne la partie réelle).
(c) SoientA, B, C, D et
I les points d'affixes complexes respectives
ii. Déterminer un point
iii. En déduire la nature de
(c) Que dire de plus sur
(d) Dans cette question, l'unité de longueur est le centimètre. On prend
3. (a) Soient
Démontrer que
(b) On se place désormais dans le plan complexe. Le vecteur
i. Rappeler la relation entre
ii. En déduire que
(c) Soient
Démontrer que
A, B, C et
D sont cocycliques (c'est-à-dire : sur un même cercle).
Partie IV
- Question préliminaire.
Soit
E un
ℝ -espace vectoriel de dimension finie
d , et
f un endomorphisme de
E . Ker
f désigne le noyau de
f , et
Imf son image. On note
f^2 = f ∘ f . Enfin,
id_E est l'endomorphisme identité de
E.λ désigne un réel.
(a) Démontrer que :
(a) Démontrer que :
Quel lien peut-on en déduire entre les valeurs propres de
f et celles de
f^2 ?
(b) Démontrer que siKerf ∩ Imf ≠ {0} , alors
(b) Démontrer que si
(c) On désigne par
P_f et
P_(f^2) les polynômes caractéristiques respectifs de
f et
f^2 . Démontrer que
P_(f^2)(X^2) = (− 1)^d P_f(X)P_f(− X) .
2. Dans cette question,n désigne un entier naturel supérieur ou égal à
3, E est l'espace vectoriel
ℝ_n[X] des polynômes à coefficients réels de degré au plus
n .
Soitf l'application définie, pour tout polynôme
P de
E , par :
2. Dans cette question,
Soit
(a) Démontrer que
f est un endomorphisme de
E .
(b) DéterminerKerf et
Imf . Préciser leur dimension.
(c)f est-il injectif? Surjectif?
(d) Justifier que 0 est valeur propre def . Que peut-on dire de sa multiplicité ?
(e) Démontrer que les polynômesQ_1 = 3X^3 + 4X^2 − 3X + 4 et
Q_2 = X^3 + X sont des vecteurs propres de
f . Quelles sont les valeurs propres associées?
(f) A-t-onKerf ⊕ Imf = E ?
(g) Quelles sont les valeurs propres def^2 ? En déduire que
f^2 est diagonalisable.
(h)f est-il trigonalisable ? Diagonalisable ? Préciser les valeurs propres et les sousespaces propres de
f .
(b) Déterminer
(c)
(d) Justifier que 0 est valeur propre de
(e) Démontrer que les polynômes
(f) A-t-on
(g) Quelles sont les valeurs propres de
(h)
Le cercle de courbure de la partie II s'appelle également cercle osculateur (du latin osculari : embrasser)... C'est le cercle << le plus proche >> de la courbe.
Dans la partie III,σ_C(I) est la puissance du point I par rapport au cercle
C et
Δ est l'axe radical des deux cercles
C et
C^′ . Ces deux objets, avec entre autres la notion de division harmonique conduiront au xIx
^e siècle à la géométrie projective.
Dans la partie III,
Questions fréquentes
4 questionsSur quels chapitres porte ce sujet de mathématiques B de la banque PT 2015 ?Afficher ou masquer la section
Questions fréquentes
4 questionsSur quels chapitres porte ce sujet de mathématiques B de la banque PT 2015 ?
Sur quels chapitres porte ce sujet de mathématiques B de la banque PT 2015 ?
Il couvre quatre thèmes indépendants : la géométrie des surfaces, les courbes paramétrées, la géométrie du cercle (puissance d'un point, axe radical), et la réduction des endomorphismes.
Quelles parties sont indépendantes ?
L'énoncé indique explicitement que les quatre parties du problème peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.
Ce sujet demande-t-il de faire des dessins ?
Oui, l'énoncé invite les candidats à illustrer leurs réponses par un dessin lorsqu'ils le jugent utile, notamment dans les parties de géométrie.
Quelle partie est la plus algébrique ?
La partie IV, consacrée à un endomorphisme de R^4 dont on étudie le polynôme minimal et la diagonalisabilité.
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