Banque PT Physique A PT 2015Sujet et corrigé

Q: Sur quels chapitres porte le sujet de physique A PT 2015 de la banque PT ?

Il porte sur les condensateurs et capteurs capacitifs, l'induction dans un solénoïde, les oscillateurs mécaniques couplés à deux degrés de liberté et l'électronique à amplificateur linéaire intégré.

Q: Quelles parties sont indépendantes dans ce sujet ?

Les parties A et B, consacrées aux capteurs capacitif et inductif, sont largement autonomes ; les parties C, D et E s'enchaînent car elles réutilisent l'oscillateur mécanique et son couplage au capteur capacitif.

Q: Faut-il connaître les diagrammes de Bode pour ce sujet ?

Oui, l'étude de la fonction de transfert du système masse-ressort-amortisseur en régime harmonique demande de tracer des diagrammes de Bode asymptotiques.

Q: Ce sujet mobilise-t-il l'électronique avec amplificateur linéaire intégré ?

Oui, la dernière partie étudie un montage bouclé avec un filtre et un amplificateur linéaire intégré qui génère des oscillations entretenues dont la fréquence dépend du capteur.

Pas encore noté

Électrostatique et condensateurs
Induction et auto-inductance
Oscillateurs mécaniques couplés
Systèmes linéaires du second ordre et diagrammes de Bode
Électronique à amplificateur linéaire intégré
Modulation d'amplitude

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BanqueBanque PT Année2015 FilièrePT MatièrePhysique

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Présentation du sujet

Capteurs de déplacement capacitifs, inductif, oscillateur mécanique couplé et traitement du signal associé

Le sujet étudie plusieurs technologies de capteurs de déplacement : condensateurs plan et cylindriques, montage potentiométrique puis en pont, capteur inductif à noyau mobile, avant d'analyser un oscillateur mécanique à deux masses couplées dont le mouvement est converti en tension, observé à l'oscilloscope, puis un montage électronique à amplificateur linéaire intégré générant des oscillations entretenues.

1A - Étude de capteurs capacitifsÉtablit la capacité d'un condensateur plan puis cylindrique en fonction du déplacement d'une armature, et étudie un montage potentiométrique puis un condensateur double monté en pont pour convertir ce déplacement en tension.
2B - Étude d'un capteur inductifDétermine le champ et l'auto-inductance d'un solénoïde, puis l'évolution de cette inductance lors de l'insertion d'un noyau mobile.
3C - Oscillateur mécaniqueÉtudie le couplage de deux masses reliées par des ressorts, dont l'une porte le condensateur cylindrique double, et détermine les deux pulsations propres du système ainsi que les modes associés.
4D - Analyse des signaux par oscilloscopeInterprète la tension obtenue comme un signal haute fréquence modulé en amplitude par le mouvement mécanique et en déduit les pulsations propres à partir de chronogrammes.
5E - Conditionnement des signaux par oscillateurÉtudie un montage à amplificateur linéaire intégré bouclé produisant des oscillations quasi sinusoïdales dont la fréquence dépend de la capacité du capteur, jusqu'à en déduire la sensibilité du dispositif complet.

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Epreuve de Physique A

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Le problème comporte néanmoins un certain nombre d'évaluations numériques, dont le caractère révèle une certaine importance pour la compréhension de l'ensemble. Dans chaque cas, un ordre de grandeur est attendu, et si possible un résultat avec une décimale au mieux lorsque la simplicité des calculs numériques le permet.

On donne les indications suivantes :

$\sqrt((3 - \sqrt5)/2) \approx 0, 618$
$\sqrt((3 + \sqrt5)/2) \approx 1, 618$
Rapport $(1.618)/(0.618) = 2, 6$
A une fonction sinusoïdale $u(t) = U \cdot cos(ωt + φ)$ , on associe l'expression complexe $u_- =$ U. $e^(jωt)$ avec $U_- = U \cdot e^(jΦ)$ : amplitude complexe associée à $u(t)(j^2 = - 1)$ .

Au début de chaque partie, son «poids» dans le barème est indiqué en pourcentage.

A- Etude de capteurs capacitifs

Ces capteurs utilisent un condensateur comme composant principal.
On rappelle qu'un condensateur est formé de deux armatures conductrices séparées par un isolant électrique. Ici, l'isolant est de l'air, dont les propriétés électriques seront supposées identiques à celles du vide (permittivité

ε_0

1) Résultats sur les champs

a- Donner les quatre équations de Maxwell en régime stationnaire.
b- Donner l'énoncé du théorème de Gauss de l'électrostatique.
c- Démontrer ce théorème à partir de la relation de Maxwell-Gauss.

2) Fonctionnement

On applique une tension

U

aux armatures du condensateur.
a- Effectuer un schéma figurant: le condensateur, la tension

U

( représentée par une flèche) et les charges stockées.
b- Rappeler la loi liant la charge du condensateur (

Q

) et la tension

U

.
c- Expliquer qualitativement pourquoi les charges électriques des armatures se condensent sur les portions d'armature se faisant vis-à-vis (appelée surfaces en regard).

3) Capacité du condensateur plan

On s'intéresse ici au cas d'un condensateur à lame d'air constitué de deux armatures planes métalliques en regard l'une de l'autre (aire de chaque armature:

S

), parallèles, distantes de e, séparées par de l'air (Fig 1a). Les armatures en regard portent respectivement les densités surfaciques uniformes de charge

- σ

+ σ

. On considérera les dimensions des armatures beaucoup plus grandes que

e

, ce qui permet d'utiliser le modèle du condensateur plan illimité (ce qui revient à dire que l'on néglige les effets de bords).

Fig. 1 : Condensateur plan :
a) Position de référence.
b) Position après déplacement de l'armature supérieure d'une quantité algébrique

x

.
a- Reproduire et compléter la Fig. 1 a) en dessinant l'allure des lignes orientées du champ électrostatique.
b- Déterminer le champ

E⃗(M)

dans tout l'espace en expliquant la méthode utilisée et en donner une représentation graphique

E(z)

.
c- En déduire le potentiel électrostatique

V(M)

(on considèrera

V = 0

sur l'armature de densité surfacique négative).
d- Représenter graphiquement le potentiel en fonction de

z

.
e- En déduire l'expression littérale de la capacité

C_(PO)

du condensateur plan.
f- On envisage maintenant la situation où l'une des deux armatures reste fixe, tandis que l'autre est susceptible de se déplacer en translation d'une quantité algébrique

x(x > - θ)

par rapport à sa position de référence (

x = 0

) (Fig. 1 b)) :
i- Donner l'expression de la nouvelle capacité

C_P(x)

en fonction de

C_(PO), e

, et

x

.
ii- Tracer l'allure de

C_P(x)

pour x>-e en positionnant correctement les grandeurs remarquables sur les deux axes.
iii- On envisage la situation de petits déplacements (

|x|≪θ

) : déterminer une expression approchée au premier ordre de la capacité du condensateur.
iv- Tracer la représentation graphique correspondante sur le graphe de la question ii.
4) Condensateur cylindrique:

On considère un condensateur formé de deux armatures cylindriques coaxiales séparées par de l'air, selon le schéma et la légende de la Fig. 2 a). L'armature interne porte une charge

- Q

et l'externe une charge

+ Q

; ces charges sont supposées uniformément réparties sur les surfaces.

Fig. 2 : Condensateur cylindrique :
a) Position de référence.
b) Position après déplacement de l'armature intérieure d'une quantité algébrique

x

Les données sont : les rayons $R_1$ et $R_2$ ; la permittivité $ε_o$ ; la longueur $L$ .

L

est beaucoup plus grand que

R_2

, de telle sorte que l'on peut adopter un modèle illimité.
a- Quel est le système de coordonnées spatiale le plus adapté ici ?
b- Déterminer, en justifiant qualitativement mais de manière précise, la direction, le sens du champ électrostatique et les coordonnées dont dépend son module.
c- Par application du théorème de Gauss, déterminer le champ en tout point de l'espace en fonction de

Q

et des données.
Reproduire et compléter le tableau ci-dessous avec les expressions littérales dans chaque zone de l'espace :

$r$	0	$R_1$	$R_2$	$\infty$
$‖E⃗‖$

d- En déduire le potentiel électrostatique

V

(on impose

V = 0

sur l'armature intérieure), puis la différence de potentiel entre l'armature externe et l'armature interne.
e- Déterminer

C_(C0)

la capacité du condensateur sous la forme

C_(C0) = A_c.L_r

où

L_r

est la longueur des portions de cylindre en regard (ici

L_F = L

). Expliciter

A_c

en fonction des données.
f- L'armature intérieure du condensateur est susceptible de se déplacer d'une distance algébrique

x

par rapport à sa position de référence, selon le schéma de la Fig. 2 b).

On rappelle que les charges se condensent sur les portions d'armatures en regard. Déterminer l'expression littérale de la capacité

C_C(x)

associée à une position

x

donnée du cylindre intérieur en fonction de

C_(C0), L

, et

x

.
g- Tracer l'allure de

C_c(x)

en positionnant correctement les grandeurs remarquables (pentes et valeurs sur les axes).
h- Dans la perspective de la mesure d'un déplacement

x

, quelles sont les différences notables entre

C_P(x)

C_C(x)

5) Montage potentiométrique :

Les variations de capacité

C(x)

sous l'effet du déplacement de l'une des deux armatures doivent être converties en tension de manière à pouvoir être traitées par un organe de décision ou transmises à un circuit électronique. On envisage ici une solution utilisant le montage potentiométrique de la Fig. 3, alimenté par la tension

e(t) = E \cdot cos(ωt)

Fig. 3: Montage potentiométrique de conversion du déplacement

x

en tension

u(t)

.
La tension

e(t)

d'alimentation possède une amplitude

E

et une pulsation

ω

On s'intéressera en particulier à la sensibilité du capteur, définie par la relation

σ_Y = dY/dx

, où

Y

représente la grandeur de sortie exploitée (amplitude

U

ou phase

φ

de la tension

u(t)

), dont on souhaite idéalement qu'elle soit à la fois élevée et indépendante de

x

.
a.

u(t)

s'exprimant sous la forme

u(t) = U \cdot cos(ωt + φ)

, déterminer les expressions littérales de

U

φ

en fonction de

E, C, R

ω

.
b. En déduire les sensibilités

σ_U

σ_(ı^)

en fonction de

C(x), dC(x)/dx, R, E

, et

ω

.
c. On envisage ici l'insertion du condensateur cylindrique étudié en question 4):
i- Indiquer, en justifiant votre réponse si les deux sensibilités

σ_U

σ_(q^)

correspondantes sont ou non indépendantes de

x

.
ii- L'amplitude

E

de la tension d'entrée

e(t)

est susceptible de varier. Quelles sont les conséquences respectives sur

σ_\cup

σ_φ

?
iii- Laquelle des deux grandeurs de sortie

U

φ

a-t-on finalement intérêt à exploiter et pourquoi ?

6) Condensateur double

On complète maintenant le capteur à géométrie cylindrique en symétrisant la structure selon le schéma de la Fig. 4. Cela permet notamment de minimiser les effets de bords négligés jusque-là mais présents en pratique. La partie mobile en translation, selon un déplacement algébrique

x

, correspond à l'armature cylindrique intérieure du condensateur cylindrique double ; il en résulte deux capacités

C_1

C_2

dont les valeurs dépendent de

x

, soit

C_1 = C_1(x)

C_2 = C_2(x)

Fig. 4 : Condensateur cylindrique double: à deux armatures externes et une armature interne.

a) Position de référence.
b) Position après une translation

x

.
a. Déterminer les longueurs

L_1(x)

L_2(x)

des portions de cylindre en regard et en déduire, en utilisant les résultats de la question 4)e, les expressions littérales de

C_1(x)

et de

C_2(x)

.
b. Représenter sur le même graphe les allures de

C_1(x)

et de

C_2(x)

. Quelle particularité peut-on constater?
7) On insère ce condensateur double dans le montage en pont représenté sur la Fig. 5 :
i- Déterminer l'expression littérale de l'amplitude complexe

U_-

associée à la tension

u(t)

en fonction de

E, C_1

, et

C_2

.
ii- En déduire, compte tenu de la question 7i, la relation liant l'amplitude

U

u(t)

E

L

x

.
iii- Déterminer l'expression littérale de la sensibilité

σ_u

ainsi obtenue et commenter le résultat.
iv- Quelle information sur le déplacement le déphasage de

u(t)

par rapport à

e(t)

fournit-il?

Fig. 5 : Montage en pont visant à extraire une tension

u(t)

image du déplacement spatial

x

de l'armature interne du condensateur double de la Fig. 4.

B) Etude d'un capteur inductif

Dans cette partie, on s'intéresse au fonctionnement d'un capteur inductif de déplacement. Le capteur utilise une bobine d'auto-induction. On s'intéresse dans un premier temps au champ magnétique crée par un solénoǐde dans l'air, puis à partir de là au capteur lui-même, obtenu en insérant une partie mobile à l'intérieur du solénoìde.

On considère un solénoïde de longueur $I_0$ et de rayon $R$ recouvert de $N$ spires jointives bobinées sur un cylindre rempli d'air, dans lesquelles circule un courant électrique d'intensité / (Fig. 6). On considérera que les propriétés magnétiques de l'air sont celles du vide et que le champ magnétique sur l'axe du solénoìde est donné en norme par la relation $B = μ_0(N/I_0)/$ . Tous les calculs de champ magnétique seront menés dans l'approximation du solénoǐde illimité.
Les données sont : $R, N, I, μ_o$ et $I_0$ .
a. Donner l'énoncé du théorème d'Ampère.
b. Donner l'allure des lignes de champ magnétique d'un solénoìde de longueur $I_0$ (les directions et sens de ces lignes seront justifiées).
c. Démontrer que le champ magnétique à l'extérieur du solénoïde est nul (modèle du solénoǐde illimité).
d. A partir du théorème d'Ampère, déterminer complétement le champ magnétique en tout point intérieur au solénoìde.
e. En déduire l'expression littérale du coefficient d'auto-inductance $L_0$ du solénoĭde, après en avoir rappelé la définition générale.

Fig. 6 : Solénoìde de longueur

I_0

, constitué de

N

spires jointives bobinées sur un cylindre de rayon

R

rempli d'air, dans lesquelles circule un courant

I

et étudié dans l'approximation du solénoǐde infini.

r

désigne la distance à l'axe d'un point M au niveau duquel on cherche à évaluer le champ

B

2^\circ

) Le capteur étudié est représenté sur la Fig. 7. Une partie mobile de longueur

I_0

, appelée noyau, peut se déplacer en translation à l'intérieur du solénoǐde initialement rempli d'air. Pour la suite de l'étude, nous admettrons les résultats suivants:

L'insertion d'un noyau à l'intérieur d'un solénoǐde conduit à une modification de son coefficient d'auto-inductance: l'inductance en présence du noyau est le produit de l'inductance dans l'air par un facteur multiplicatif $δ(δ≫1)$ .
Le coefficient d'auto-inductance du capteur peut être évalué comme celui résultant de la mise en série de deux solénoïdes :
Le premier, de longueur $x$ , est rempli d'air.
Le deuxième, de longueur $I_0 - x$ , contient le noyau.

Fig. 7 : Capteur magnétique à insertion d'un noyau au sein du solénoìde de la Fig. 6 initialement rempli d'air.

a- Déterminer en fonction de

N, l_0

x

, le nombre

N_1

de spires de la partie gauche du solénoǐde sans noyau et celui (

N_2

) de la partie droite avec le noyau interne.
b- En déduire l'inductance propre de chaque partie puis l'inductance

L(x)

en fonction de

δ

L_0, l_0

x

.
c- Représenter graphiquement

L(x)

en fonction de

x

0 < x < 1_0

C) Oscillateur mécanique

(25%)
On s'intéresse dans cette partie au système décrit sur la Fig. 8. Deux objets identiques de masse

m

se déplacent sans frottement sur un axe (

x^' x

). Le premier est une masselotte, tandis que le deuxième correspond à la partie centrale du capteur capacitif de la Fig. 4.
D'un point de vue mécanique, ces deux objets seront supposés ponctuels pour toute la suite de cette partie C), de même masse

m_1

positionnés respectivement aux points

M_1

M_2

. Le point

M_1

est accroché à un point fixe

O

par l'intermédiaire d'un ressort de raideur

k

et de longueur à vide

I_(R0)

tandis que le point

M_2

est accroché à

M_1

par l'intermédiaire d'un ressort identique au précédent.
Le condensateur cylindrique double est positionné de telle manière que son armature centrale soit ajustée à sa position de référence à l'équilibre du système mécanique.
Dans les conditions de fonctionnement du système, les forces d'attraction électrostatiques entre les armatures fixe et mobile seront complètement négligées. Les points

M_1

M_2

sont repérés sur l'axe par leurs abscisses respectives

x_1(t)

x_2(t)

.
Les données sont :

m, k

I_(RO)

Fig. 8 : Système mécanique étudié : a) Description comprenant la masselotte en

M_1

et le capteur capacitif à condensateur cylindiqué étudié en partie A), b) Système mécanique équivalent à partir duquel les raisonnements de la partie C ) seront menés.

Repos:
a- Déterminer les positions de repos $x_(10)$ et $x_(20)$ en fonction des données.
b- Les ressorts sont linéaires: leur tension est proportionnelle à leur allongement. Exprimer, en fonction de $x_1, x_2$ et des données, le module des tensions mécaniques $T_1$ et $T_2$ .

2) Mouvements de $M_1$ et de $M_2$ :

a- Etudier le mouvement de

M_2

et montrer que l'équation différentielle vérifiée par

x_2(t)

est de la forme

x_2 + Ax_2 = Bx_1 + C

(vous identifierez

A, B, C

en fonction des données).
b- Etudier le mouvement de

M_1

et montrer que l'équation différentielle vérifiée par

x_1(t)

est de la forme

x_1 + Dx_1 = Ex_2 + F

(vous identifierez

D, E, F

en fonction des données).
3) En posant

XX_1(t) = x_1(t) - x_(10)

XX_2(t) = x_2(t) - x_(20)

, on obtient le système d'équation suivant:

(ω_o^2 = k/m) : (d^2 XX_2)/(dt^2) = - ω_0^2(XX_2 - XX_1), (d^2 XX_1)/(dt^2) = - ω_0^2(2XX_1 - XX_2)

et l'on envisage la situation où les deux points vibrent avec la même pulsation

Ω

XX_1(t) = X_(m1)cos(Ωt + φ_1)

XX_2(t) = X_(m2)cos(Ωt + φ_2)

.
a- Montrer que l'on obtient les expressions suivantes [

X_(m1)_-

X_(m2)_-

sont les amplitudes

é à complexes associées à XX_1(t) et XX_2(t) (voir page 1)] : (2ω_0^2 - Ω^2)X_(m1)_- - ω_o^2 X_(m2)_- = 0; - ω_o^2 X_(m1)_- + (ω_0^2 - Ω^2)X_(m2)_- = 0.

b- Montrer alors que ce mouvement n'est possible que pour deux valeurs de pulsation

Ω_1

Ω_2 < Ω_1

à expliciter en fonction de

ω_o

(voir valeurs page 1).
4) La loi générale du mouvement de

M_2

est de la forme :

XX_1(t) = A_1 cos(Ω_1 t + φ_1) + A_2 cos(Ω_2 t + φ_2)

XX_2(t) = A_1 cos(Ω_1 t + φ_1) - A_2 cos(Ω_2 t + φ_2)

A_1, A_2, φ_1

φ_2

dépendant des conditions initiales.
a. Les deux masses sont initialement au repos : en déduire les valeurs de

φ_1

φ_2

.
b. Le protocole expérimental permet de choisir les valeurs de

x_1(0)

x_2(0)

:
i. On considère d'abord

x_1(0) = 1, 5I_(R0)

x_2(0) = 2, 5I_(R0)

Déterminer les expressions littérales de $A_1$ et $A_2$ .
A quelle fréquence oscillent les deux ressorts ?
Que peut-on dire de $XX_1(t)$ et de $XX_2(t)$ ? Quel nom donneriez-vous à ce type de solution?
Donner l'expression littérale de $XX_2(t)$ .
ii. On considère maintenant $x_1(0) = 1, 5I_(R0)$ et $x_2(0) = 1, 5I_(R0)$ :
Déterminer les expressions littérales de $A_1$ et $A_2$ .
A quelle fréquence oscillent les deux ressorts ?
Que peut-on dire de $XX_1(t)$ et de $XX_2(t)$ ? Quel nom donneriez-vous à ce type de solution?
Donner l'équation horaire littérale de $XX_2(t)$ .

D. Analyse des signaux par oscilloscope

Le montage de la Fig. 5 permet d'obtenir la tension $u(t)$ comme produit de deux composantes « électrique» $[B \cdot cos(ωt)]$ et «mécanique» $[XX_2] : u(t) = Bcos(ωt) \cdot X_2(t)$ .
La tension $u(t)$ est acquise par un oscilloscope numérique.

Lorsque

XX_2(t)

correspond aux cas i. et ii. de la question C 4)b), on obtient les enregistrements de la Fig. 9 avec

Ω_2 < Ω_1 < ω

Spectre de $u(t)$ :
a- Montrer que la tension $u(t)$ peut s'interpréter comme une tension haute fréquence dont l'amplitude est modulée sinusoïdalement en basse fréquence.
b - Représenter graphiquement le spectre de Fourier de $u(t)$ si $XX_2(t) = (l_(R0))/2cos(Ω_1 t)$ .
c- Représenter de même ce spectre si $XX_2(t) = - (l_(R0))/2cos(Ω_2 t)$ .

Fig. 9 : Chronogrammes relevés à l'oscilloscope : a) pour

XX_2(t) = (I_(R0)/2) \cdot cos(Ω_1 t)

, b

)XX_2(t) = - (I_(Rd)d2) \cdot cos(Ω_2 t)

Exploitation des chronogrammes :
a- Déterminer, à partir de l'enregistrement de la Fig. 9) a, et en expliquant votre manière de procéder en cinq lignes maximum :
i- La fréquence $f_e$ de la partie « électrique» de $u(t)$ .
ii- La fréquence $f_m$ de la partie «mécanique» de $u(t)$ .
b- Faire de même pour l'enregistrement de la Fig. 9)b.
c- En déduire les pulsations $Ω_2$ et $Ω_1$ mesurées.
d- Les valeurs mesurées sont elles cohérentes avec les résultats de C 3)b ?

E) Conditionnement des signaux par oscillateur

(20%)
L'information de déplacement en provenance des capteurs capacitifs et inductifs, tels que ceux étudiés dans les parties

A

) et

B

), peut également être extraite à partir d'un oscillateur électronique. Dans ce cas, l'information de déplacement, qui induit une modification de

L

C

est source d'une modification de la fréquence de résonance de l'oscillateur, aisément détectable, par exemple à l'aide d'un fréquencemètre.
On considère le montage électronique de la Fig. 10.

Fig. 10 : Montage envisagé pour extraire l'information issue d'un capteur. L'ALI utilisé, que l'on supposera parfait, est alimenté au moyen d'une alimentation symétrique

\pm V_(CC) = \pm 12 V

et sa tension de saturation est

V_(SAT) = 11 V

1) Etude du bloc 1

Le bloc 1 réalise un filtre de fonction de transfert complexe

H_- = u_-_2/u_-_1

H_- = (A_0)/(1 + jQ(x - 1/x)) avec A_0 = 0, 1; Q = 25; x = ω/(ω_0)x; log(25) \approx 1, 4.

a- Donner les équations des deux asymptotes hautes et basses fréquences du gain en décibels de ce filtre.
b- Représenter le diagramme de Bode (en amplitude uniquement) donnant ce gain en décibels en fonction de

log(x)

.
c- Préciser la nature de ce filtre.
d - Exprimer, à partir du schéma du bloc 1 , le fonction de transfert

H_-

en fonction

ω

et des valeurs caractéristiques des composants de ce bloc 1. Par identification, donner les expressions littérales de

ω_0

Q

en fonction des valeurs caractéristiques des composants.

2) Etude du bloc bloc ALI

a- Déterminer l'expression littérale de la fonction de transfert complexe

G_- = u_3_-/u_2_-

.
b- On pose

K = |G|

. Exprimer

K

en fonction de

R_1

R_2

3) Système bouclé

On ferme l'interrupteur, réalisant ainsi un système bouclé.
a- Déduire des questions précédentes l'équation différentielle vérifiée par

u_3

.
b- A partir de cette équation :
i- Trouver une condition liant

A_0, K

Q

pour que s'établissent des oscillations quasi sinusoïdales.
ii- Déterminer alors la fréquence

f_0

de ces oscillations.
c- Toujours à partir de l'équation différentielle de

u_3

, montrer que la naissance d'oscillations impose des conditions sur le produit

A_0, K

et les expliciter.
4) On choisit les composants de manière à obtenir l'équation différentielle suivante:

(d^2 u_3)/(dt^2) - 10^4(du_3)/(dt) + 9 \cdot 10^8 u_3 = 0

a- Donner l'expression numérique de

u_3

en fonction de

t

sans chercher à calculer les constantes dépendant des conditions initiales.
b- Montrer que l'on obtient des oscillations dont l'amplitude

A

varie temporellement.
c- Exprimer et représenter

A

en fonction de

t

.
d- Dans la pratique, on obtient une stabilisation de l'amplitude à une valeur

A_(max)

; expliquer pourquoi et expliciter

A_(max)

.
e- Compte tenu de ce qui précède, représenter l'allure de

u_3(t)

.
5) On utilise le dispositif complet pour suivre les déplacements

x

de la partie mobile d'un capteur capacitif dont la capacité est donnée par la loi

C = C_0(1 - x/l)

, avec

C_0 = 10μ F

et /=10 mm. Ce capteur forme le condensateur du bloc 1 de la Fig. 10.

Les composants choisis sont tels que le montage oscille à une fréquence $f_(osc)$ liée à la capacité $C$ par la relation : $f_(osc) = D/(\sqrtC)$ , avec $D = 1H^(- 1/2)$ .
A la position de référence du capteur ( $x = 0$ ), la fréquence d'oscillation est $f_(or)$ .
a. Montrer que, pour un petit déplacement $x(x/k < 1)$ , la fréquence d'oscillation peut se mettre sous la forme $f_(osc) \approx a.x + b$ , et expliciter $a$ et $b$ en fonction des données.
b. On note $Δf = f_(osc)$ - $f_(or)$ la variation de fréquence liée à un déplacement. La plus petite variation détectable est $Δf_(min) = 3 Hz$ ; quel est le plus petit déplacement détectable?

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de physique A PT 2015 de la banque PT ?

Il porte sur les condensateurs et capteurs capacitifs, l'induction dans un solénoïde, les oscillateurs mécaniques couplés à deux degrés de liberté et l'électronique à amplificateur linéaire intégré.

Quelles parties sont indépendantes dans ce sujet ?

Les parties A et B, consacrées aux capteurs capacitif et inductif, sont largement autonomes ; les parties C, D et E s'enchaînent car elles réutilisent l'oscillateur mécanique et son couplage au capteur capacitif.

Faut-il connaître les diagrammes de Bode pour ce sujet ?

Oui, l'étude de la fonction de transfert du système masse-ressort-amortisseur en régime harmonique demande de tracer des diagrammes de Bode asymptotiques.

Ce sujet mobilise-t-il l'électronique avec amplificateur linéaire intégré ?

Oui, la dernière partie étudie un montage bouclé avec un filtre et un amplificateur linéaire intégré qui génère des oscillations entretenues dont la fréquence dépend du capteur.

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Epreuve de Physique A

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

A- Etude de capteurs capacitifs

1) Résultats sur les champs

2) Fonctionnement

3) Capacité du condensateur plan

Les données sont : les rayons R_1 et R_2; la permittivité ε_o; la longueur L.

5) Montage potentiométrique :

6) Condensateur double

B) Etude d'un capteur inductif

C) Oscillateur mécanique

2) Mouvements de M_1 et de M_2 :

D. Analyse des signaux par oscilloscope

E) Conditionnement des signaux par oscillateur

1) Etude du bloc 1

2) Etude du bloc bloc ALI

3) Système bouclé

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet de physique A PT 2015 de la banque PT ?

Quelles parties sont indépendantes dans ce sujet ?

Faut-il connaître les diagrammes de Bode pour ce sujet ?

Ce sujet mobilise-t-il l'électronique avec amplificateur linéaire intégré ?

Commentaires• Banque PT Physique A PT 2015

Commentaires• Banque PT Physique A PT 2015

Les données sont : les rayons $R_1$ et $R_2$ ; la permittivité $ε_o$ ; la longueur $L$ .

2) Mouvements de $M_1$ et de $M_2$ :