Le sujet explore différentes façons de mesurer le temps, du calendrier lunaire à des oscillateurs électroniques de haute précision, en passant par des oscillateurs mécaniques et hydrauliques. Il comporte six parties indépendantes qui mobilisent la mécanique (gravitation, pendules), la mécanique des fluides (oscillateur hydraulique de type siphon) et l'électronique (comparateur à hystérésis, oscillateur de relaxation, oscillateur quasi sinusoïdal).

1Ébauche de calendrier lunaireÉtude du mouvement de la Lune autour de la Terre à l'aide de la loi de gravitation et de la troisième loi de Kepler.
2Le pendule simpleMise en équation du pendule pesant et détermination de la longueur qui bat la seconde.
3Le pendule en rotationÉtude d'un balancier couplé à un ressort spiral à l'aide du théorème du moment cinétique.
4Oscillateurs hydrauliquesÉtude d'un oscillateur de relaxation hydraulique de type siphon, avec la relation de Bernoulli pour les phases de remplissage et de vidange.
5Oscillateur de relaxation en électroniqueÉtude d'un comparateur à hystérésis puis de l'oscillateur de relaxation RC qui en découle, à partir d'un enregistrement expérimental.
6Oscillateur quasi sinusoïdalÉtude d'un filtre puis d'un amplificateur, association des deux blocs pour obtenir des oscillations, puis étude de la stabilité en fréquence de l'oscillateur.

Difficile. Le rapport signale des résultats globalement inégaux et souvent très insuffisants, avec un nombre trop important de copies indigentes, même si quelques candidats ont pu traiter la presque totalité du sujet avec des notes excellentes.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Loi de gravitation méconnue · Force de la tige oubliée dans le bilan des forces · Confusion entre théorème de l'énergie cinétique et théorème du moment cinétique

Le jury déplore une aggravation de la qualité de présentation des copies, un manque quasi systématique de schémas et un nombre important de copies très faibles, tout en soulignant que certains candidats ont traité la quasi-totalité du sujet avec d'excellentes notes. Les erreurs les plus fréquentes concernent la mise en équation en mécanique, les conditions d'application des lois physiques et les propriétés de base des amplificateurs linéaires intégrés.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Loi de gravitation méconnue
Un très grand nombre de candidats ne connaît pas la loi de gravitation, pourtant nécessaire dès le début du sujet.
« On est surpris ici du très grand nombre de candidats qui ne connaissent pas la loi de gravitation ! »
2
Force de la tige oubliée dans le bilan des forcesQ7
Sur le pendule pesant, le schéma est souvent absent et la force exercée par la tige sur la masse est oubliée dans la mise en équation.
« beaucoup de candidats oublient de prendre en compte la force exercée par la tige sur la masse m. »
3
Confusion entre théorème de l'énergie cinétique et théorème du moment cinétique
Pour le pendule en rotation, de nombreux candidats confondent les deux théorèmes et commettent des erreurs de signe dans l'équation différentielle du mouvement.
« On note ici des confusions entre le théorème de l'énergie cinétique et le théorème du moment cinétique. »
4
Conditions d'application de la relation de Bernoulli oubliéesQ15
Les conditions de validité de la relation de Bernoulli sont souvent omises, et certaines écritures de la relation sont incorrectes.
« Il manque souvent une ou plusieurs conditions d'application de la relation de Bernoulli, et quelques relations de Bernoulli sont de formes surprenantes. »
5
Confusion entre impédances d'entrée et de sortie de l'ALIQ28
De nombreux candidats confondent l'impédance d'entrée de l'amplificateur linéaire intégré, qui est infinie, avec celle de sortie, qui est nulle.
« une confusion récurrente entre l'impédance d'entrée de l'ALI qui est infinie, et celle de sortie qui est nulle »
6
Cycle d'hystérésis mal raisonné
Le cycle d'hystérésis du comparateur est souvent traité sans raisonnement clair, ou avec un raisonnement compliqué partant de la sortie plutôt que de l'entrée.
« La partie sur le cycle d'hystérésis a en général été assez mal traitée, avec soit il n'y a aucun raisonnement »

Ce qui a été bien réussi

L'étude des symétries et invariances du champ gravitationnel a été bien traitée par la plupart des candidats.
La partie sur la phase de vidange de l'oscillateur hydraulique a été bien traitée par un assez grand nombre de candidats.
Le calcul de la fonction de transfert du filtre (Q45) et l'établissement des fonctions de transfert des amplificateurs (Q48) ont été bien menés par la plupart des candidats.
Un petit nombre de candidats sont allés jusqu'à la fin du problème et ont correctement traité les questions sur la stabilité de l'oscillateur.

Conseils du jury

Faire systématiquement des schémas complets, avec vecteurs unitaires, angles et orientations des tensions et courants.
Vérifier l'homogénéité des formules, en particulier dans les calculs en complexe en électronique.
Éviter les égalités du type vecteur égal scalaire, notamment en gravitation.
Travailler avec bon sens plutôt que d'appliquer des formules de façon automatique, en particulier pour passer d'une équation différentielle à un comportement fréquentiel.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Corrigé détaillé

68 questions

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Sujet en PDF

Epreuve de Physique A

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

CONSIGNES:

Composer lisiblement sur les copies avec un stylo à bille à encre foncée : bleue ou noire.
L'usage de stylo à friction, stylo plume, stylo feutre, liquide de correction et dérouleur de ruban correcteur est interdit.
Remplir sur chaque copie en MAJUSCULES toutes vos informations d'identification : nom, prénom, numéro inscription, date de naissance, le libellé du concours, le libellé de l'épreuve et la session.
Une feuille dont l'entête n'a pas été intégralement renseignée, ne sera pas prise en compte.
Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance

Temps-Frequence

La mesure du temps peut être considérée sur une période longue, donc avec un calendrier, ou plus courte avec des horloges, ou sur des échelles beaucoup plus petites avec des oscillateurs voire des transitions atomiques de nos jours.
L'observation du mouvement de la lune autour de la terre a permis d'établir un calendrier en Chine, dit calendrier lunaire, depuis plus de mille ans avant

J.C

. En fait pour être précis il

y

avait une association entre l'observation de la lune et du soleil conduisant à un calendrier luni-solaire. De nos jours dans une bonne partie du globe terrestre, en Asie, ce calendrier est encore largement utilisé, et une forme purement lunaire est elle aussi largement utilisée dans d'autres parties du globe.
Dans une journée on devait faire des subdivisions, et pour cela on a pu utiliser des horloges hydrauliques pour compter le temps, et cela en Chine dès la dynastie des Hans (206 av. J.-C. - 220 apr. J.-C.). Les clepsydres, basée sur l'écoulement d'un récipient rempli d'eau permettaient la mesure d'un intervalle de temps.
De nos jours on utilise couramment des montres à quartz. Les télécommunications font appel à des références de temps, des oscillateurs électroniques de très haute pureté spectrale.
L'unité fondamentale de mesure du temps, la seconde est la durée de 9192631770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre les deux niveaux hyperfins de l'état fondamental de l'atome de césium 133, à 0 K . Il en résulte que la fréquence de la transition hyperfine de l'état fondamental de l'atome de césium est égale à 9192631770 Hz .

A. Aspects mécaniques

A.I. Ébauche de calendrier lunaire

Dans cette partie on envisage ce que serait un calendrier lunaire.
On donne la masse de la lune

m_L = 7, 3410^(22) kg

et celle de la Terre

M_T = 5, 9810^(24) kg

; la constante de la gravitation vaut

G = 6, 6710^(- 11) m^3 kg^(- 1) s^(- 2)

On se place dans le modèle où le centre

C_L

de la Lune décrit autour de la Terre une trajectoire circulaire, la distance terre-lune valant à peu près, de centre à centre :

D_(TL) = 384400 km

Q1. Etablir la forme du champ de gravitation à l'extérieur de la Terre en supposant celle-ci sphérique et de masse volumique uniforme. On se place dans un système de coordonnées sphériques de centre O , au centre de la Terre.

Q2. Donner l'expression de la force que la terre exerce sur la lune.
Q3. Montrer que le mouvement du centre

C_L

de la Lune est uniforme et déterminer sa période de révolution

T_L

. On précisera bien dans quel référentiel on travaille et quelle est alors l'expression du principe fondamental de la dynamique.

Q4. Établir dans ce cas la troisième loi de Kepler. Déterminer un ordre de grandeur de

T_L

.
La période de révolution de la Lune autour de la Terre est de

27, 32j

. On définit le mois lunaire comme la durée entre deux nouvelles lunes (lune invisible), durée appelée aussi lunaison. Cette durée est de 29,53 j.

Q5. Quelles sont à chaque nouvelle lune les positions respectives du soleil, de la Terre et de la Lune?

Q6. Considérons le cas d'un calendrier "lunaire" de 12 mois, pour lequel le début du mois est fixé par une nouvelle lune. Pourquoi le nouvel an ne tombe-t-il pas chaque année sur le même jour du calendrier grégorien ? Connaissez-vous un exemple d'un tel calendrier lunaire.
$ Un moyen de repérer le temps non plus par rapport aux saisons ou à des phénomènes naturels est de fabriquer des oscillateurs, qui peuvent être de natures très variées.

A.II. Les horloges

A.II. 1 Le pendule simple

On suppose ici que le système étudié est placé dans un référentiel galiléen.
On considère une masse

m_p

accrochée à une tige de longueur

l

, de masse négligeable et pouvant tourner autour du point O (voir Fig. F1) avec une liaison sans frottement.

L'intensité du champ de pesanteur terrestre est

g = 9, 81 m \cdot s^(- 2)

.
À l'instant

t = 0

le pendule, qui était écarté d'un angle

θ_0

, est lâché sans vitesse initiale.

Figure F1. Pendule pesant.

Q7. Déterminer l'équation différentielle régissant l'écartement angulaire

θ

du pendule pesant par rapport à sa position au repos.

Q8. Linéariser l'équation précédente en considérant

θ

«petit»; en déduire l'équation horaire

θ(t)

.
Q9. Déterminer la longueur du pendule permettant d'obtenir une période des oscillations égale à 2 s . Pourquoi dit-on dans ce cas que le pendule bat la seconde ?

Q10. Quel pendule pesant assez célèbre permet de faire des observations fines du comportement du globe terrestre.
Q11. À quel objet familier dans les habitations d'il y a quelques vingtaines d'années, correspond à ce type d'oscillateur ? Quel est a priori l'inconvénient d'un tel système pour pouvoir garder avec soi une référence de temps ?

A.II. 2 Pendule en rotation

Un autre type d'oscillateur mécanique peut être obtenu en utilisant un balancier couplé à un ressort spiral. On s'intéresse ici à la variation de la position angulaire, notée

θ

, du balancier, fixé à une extrémité du ressort. Ce balancier est mobile autour d'un axe Oz (voir Fig. F2). Le repère est supposé galiléen.

Figure F2. Balancier couplé à un ressort spiral.

Le couple de rappel de ce ressort est considéré comme proportionnel à l'élongation angulaire :

M_r = - Cθ

où

C

est la constante de rappel du ressort spiral.

On tourne le balancier d'un angle initial

θ_0

, et on le lâche sans vitesse initiale. Le mouvement est supposé avoir lieu sans frottement.

Q12. Déterminer l'équation différentielle qui régit le mouvement en appliquant le théorème du moment cinétique (on introduira ici les grandeurs nécessaires à la mise en équation).
Q13. En déduire l'expression de la position angulaire en fonction du temps et l'expression de la période du mouvement.
Q14. La figure F3 montre un mécanisme d'horlogerie avec le ressort spiral et le balancier mais aussi un système dit d'échappement avec une "ancre". À quoi peut servir ce système ?

Figure F3. Mécanisme d'horlogerie avec ressort spiral et échappement. http://help.solidworks.com/2018/french/SolidWorks/sldworks/c_Helix_and_Spiral.htm

B. Oscillateurs hydrauliques.

Il est possible de concevoir un oscillateur de relaxation de nature hydraulique, s'inspirant en quelque sorte du vase dit de Tantale (Figure F4).

Figure F4. Oscillateur de relaxation hydraulique.

Le système est constitué d'un réservoir cylindrique (section d'aire

S_r

) relié au niveau de sa base (point B) à un siphon (BCD) dont le tube a une section d'aire

S_t

. On considère que

S_r≫S_t

Le niveau bas (point B ) est situé à la cote

z_B

, le niveau haut (point C ) à la cote

z_C

et la sortie (point

D)

à la cote

z_D = 0

. Le point D est donc pris comme origine des cotes. On note

z

le niveau d'eau libre dans le réservoir.

Le fluide, de l'eau, est supposé incompressible et non visqueux.
Le siphon fonctionne de la manière suivante :

Lorsque $z$ croit, il s'amorce et débite de l'eau par la section en D dès que $z \geq z_C$ .
Lorsque $z$ décroit, le siphon continue de débiter tant que $z > z_B$ et il se désamorce (le débit sortant est alors nul) dès que $z = z_B$ .

Un robinet injecte de l'eau dans le réservoir avec un débit volumique constant

D_e

exprimé en

m^3.s^(- 1)

mais cela sans perturber le comportement du fluide dans le réservoir. Expérimentalement, on peut observer, selon la valeur de

D_e

, un remplissage et une vidange périodique du vase entre les niveaux

z_B

z_C

Q15. Rappeler la relation de Bernoulli en indiquant les conditions de validité.

$\Rightarrow$ Étude de la phase de remplissage

On commence à remplir le réservoir cylindrique de section

S_r

. On note

v_A

la vitesse de progression du niveau d'eau.

Q16. Comment se comporte l'eau dans le siphon après le passage à la cote

z_B

? Quelle approximation peut-on faire ?
Q17. Déterminer l'équation différentielle donnant le niveau d'eau

z

dans le réservoir en fonction du temps, en déduire l'expression de

z(t)

. Pour cela on choisit l'instant

t = 0

comme celui du passage à la cote

z_B

Q18. Quel durée, notée

t_1

, faut-il pour que le niveau d'eau passe de la cote

z_B

à la cote

z_C

.
Q19. Que se passe-t-il alors ? Dessiner alors le système dans cette nouvelle configuration.

$\Rightarrow$ Étude de la phase de vidange

Q20. Déterminer l'expression de la vitesse

v_D

de sortie de l'eau au point D , en tenant compte de la forte différence entre les sections

S_r

S_t

Q21. En déduire l'expression du débit volumique

D_t

en sortie du siphon au point D .
Q22. En tenant compte que le récipient se remplit avec le débit volumique

D_e

et se vide avec le débit volumique

D_t

obtenu en Q21, trouver l'équation différentielle donnant le niveau d'eau

z(t)

dans le réservoir.
Q23. En raisonnant sur

dz(t)/dt

au début de la vidange et à la fin de la vidange montrer qu'il ne peut y avoir de vidange effective que si

D_e

est inférieur à une valeur limite valable pour toute la phase de vidange. Comment choisir alors la valeur de

D_e

Q24. Montrer que pour certaines valeurs de

D_e

la vidange peut s'arrêter pour une cote

z_0

telle que

z_B < z_0 < z_C

. Déterminer l'expression de cette cote. Expliquer cet effet par un raisonnement physique.

Q25. On suppose que

D_e

est suffisamment petit pour être négligeable pendant toute la phase de vidange. Donner alors la nouvelle forme de l'équation différentielle régissant

z(t)

, déterminer l'expression de

z(t)

et en déduire la durée de vidange

t_2

nécessaire pour que le niveau d'eau passe de la cote

z_C

à la cote

z_B

$\Rightarrow$ Bilan sur les oscillations

Q26. Donner l'expression de la période des oscillations.
Q27. Représenter graphiquement

z

en fonction du temps sur 2 périodes.

C. Oscillateurs électroniques

Les systèmes étudiés dans cette partie utilisent des amplificateurs linéaires intégrés. Il est important de se rappeler des principales propriétés de ces circuits.

Q28. Quelles sont les principales caractéristiques d'un amplificateur linéaire intégré, en le supposant tout d'abord idéal, puis en considérant un amplificateur réel de type standard.
Q29. Donner des ordres de grandeurs pour les caractéristiques d'un amplificateur réel standard.

C.I. Oscillateur de relaxation

Cet oscillateur est construit autour d'un amplificateur linéaire intégré idéal, noté U0, alimenté sous les tensions

\pm 15 V

. On considère que la tension de saturation est

V_(sat) = 14 V

C.I.1. Comparateur à hystérésis

Dans un premier temps on considère le circuit suivant la Figure F5. On choisit des résistances parmi la série E 12 à

10%

de précision

R_1 = 1, 8kΩ

R_2 = 2, 2kΩ

Figure F5. Comparateur à hystérésis

Q30. Que peut-on dire du fonctionnement du circuit U0 ?
Q31. Exprimer la tension au niveau de l'entrée

(+)

, notée

V^((+))

, en fonction des éléments du schéma et de la tension

V_S

Q32. La tension

V_e

croit de -15 V à +15 V . Montrer qu'il existe une tension de basculement. Tracer la courbe donnant

V_s

en fonction de

V_e

; préciser quelques valeurs numériques permettant un tracé relativement satisfaisant de cette courbe.

Q33. Même question si maintenant la tension

V_e

décroit de +15 V à -15 V . Tracer la courbe donnant

V_s

en fonction de

V_e

. sur le même graphe qu'à la question précédente, mais avec une couleur différente.

Q34. Pourquoi appelle-t-on ce circuit un comparateur à hystérésis ?
Pour tester le comparateur à hystérésis on impose à présent, à l'aide d'un générateur de fonctions, une tension

V_e(t)

, triangulaire, symétrique, de période

T

et d'amplitude

E = 15 V

(voir Figure F6).

Figure F6. Signal de test appliqué au comparateur.

Q35. Reproduire cette courbe sur la copie et y superposer le tracé de la courbe donnant

V_S(t)

en fonction du temps, à la même échelle.

C.I.2. Application du circuit comparateur : oscillateur de relaxation

Le comparateur étudié précédemment est maintenant associé à un circuit RC selon le schéma de la Figure F7.

Figure F7. Schéma de l'oscillateur.

À la mise sous-tension on observe assez rapidement un régime périodique avec une succession de phases de croissance puis de décroissance de

v_c

. La figure F8 ci-dessous donne les enregistrements à l'oscilloscope de

v_s(t)

(voie C 1 ) et de

v_c(t)

(voie C 2 ) en fonction du temps.

Figure F8. Enregistrement des signaux fournis par l'oscillateur de relaxation. La base de temps est de

4μ s/

div et l'amplification est de

3 V/div

pour les deux voies de mesure.

$\Rightarrow$ Étude de la phase de croissance.

Q36. On suppose qu'à l'instant

t = 0

le condensateur est déchargé et que la tension de sortie de l'amplificateur U0 vaut

+ V_(sat)

. Établir l'équation différentielle régissant la tension

v_c(t)

Q37. En déduire l'équation horaire de

v_c(t)

et l'instant

t_1

de fin de cette phase.

$\Rightarrow$ Étude la phase de décroissance.

Q38. Expliquer pourquoi

v_c

se met à décroitre.
Q39. Établir l'équation différentielle de

v_c

dans cette phase.
Q40. En déduire l'équation horaire de

v_c(t)

, et l'instant

t_2

de fin de cette phase.
Q41. Déterminer, d'après la durée de la deuxième phase, l'expression littérale de la période de

v_c

.
Q42. Déduire de l'enregistrement de la Figure F8 les valeurs numériques approchées des quantités suivantes:

V_(sat)

; le rapport

R_2/R_1

et le produit

RC

. Pour le calcul numérique du logarithme népérien on pourra considérer les nombres entre 2,5 et 3 comme voisins de 2,72 .

$\Rightarrow$ Limites de fonctionnement de l'oscillateur

Q43. Quelles caractéristiques de l'amplificateur peuvent entraîner une possible limitation de la fréquence de cet oscillateur ? Donner un ordre de grandeur de ces limitations.
Q44. Ces limitations sont-elles visibles sur la Figure F8 ?

C.II. Oscillateur quasi sinusoïdal

Cet oscillateur sera construit autour d'un filtre et d'un montage amplificateur. Ces deux blocs fonctionnels sont tout d'abord étudiés séparément.

C.II.1. Étude du filtre

Sur la Figure F 9 on donne le schéma d'un filtre. On note

H_-_F(ω)

sa fonction de transfert.

Figure F9. Schéma du filtre.

Q45. Déterminer l'expression de

H_-_F(ω)

et la mettre sous la forme

H_-_F = (H_0)/(1 + jQ_F[x - 1/x])

avec

x = ω/(ω_0), ω_0

étant la pulsation propre du filtre.
Expliciter littéralement

Q_F, H_0

et la fréquence caractéristique

f_0

.
Q46. Donner l'expression reliant le facteur de qualité, la fréquence propre et la bande passante à -3 dB .

On choisit

R_0 = 470Ω, R = 120Ω, L = 50μH

C = 50nF

de sorte que :

H_0 \approx 0, 2, f_0 \approx 100kHz

Q_F \approx 3

Q47. Faire une représentation graphique approchée du gain en décibel

G_(dB)

en fonction de

log(x)

; préciser quelques valeurs sur ce graphe. Faire apparaitre sur ce graphe la "bande passante à

- 3 dB^('')

C.II. 2 Étude de l'amplificateur

On considère deux structures possibles à placer en sortie du filtre pour amplifier le signal (Figures F10 et F11). Le circuit U1 est un amplificateur linéaire intégré supposé idéal.

Figure F10. Structure amplificatrice

n^\circ1

Figure F11. Structure amplificatrice

n^\circ2

Q48. Déterminer, en précisant bien les hypothèses faites, les fonctions de transfert de ces deux structures, notées respectivement

A_-_1

A_-_2

Q49. Déterminer les impédances d'entrée

Z_(e1)

Z_(e1)

de chaque montage et expliquer pourquoi la structure

n^\circ2

est a priori un meilleur choix pour l'application envisagée.
Q50. En déduire alors l'expression de la fonction de transfert globale du montage associant les deux blocs fonctionnels filtre puis amplificateur en la mettant sous la forme

H_-_(FA) = (H_1)/(1 + jQ[x - 1/x])

; expliciter

H_1

Q

C.II. 3 Étude des oscillations

On associe maintenant les deux blocs en connectant la sortie du montage amplificateur à l'entrée du filtre, réalisant le système dont le schéma est donné Figure F12.
La sortie de l'amplificateur U1, toujours supposé dans un premier temps comme idéal, est connectée à l'entrée du filtre au travers d'un interrupteur K.

Figure F12. Structure bouclée associant le filtre et l'étage amplificateur.

À l'instant

t = 0

on ferme l'interrupteur K , le condensateur

C

étant déchargé.
Q51. Déterminer l'équation différentielle régissant l'évolution de la tension

v_3(t)

; on fera apparaître dans cette équation la pulsation propre, le facteur de qualité et le gain maximal.

On désire obtenir à la fermeture de l'interrupteur des oscillations pseudo-périodiques d'amplitude croissante.

Q52. À quelle condition sur

H_1

cela sera-t-il possible ?
Q53. Que vaut la fréquence d'oscillation pendant la phase de démarrage ?
Q54. À quelles conditions la fréquence des oscillations peut-elle être considérée comme égale à la fréquence propre du filtre ?

Q55. En considérant d'une part l'étude précédente, et d'autre part le fait que le circuit U1 n'est pas idéal expliquer pourquoi il est préférable que le gain de l'étage amplificateur ne soit pas trop grand.

C.II. 4 Oscillateur réel et modélisation de dipôle

C.II.4.1 Schéma réel de l'oscillateur

Le schéma réel de l'oscillateur est donné figure F13, indiquant les composants réactifs réels à implémenter sur un circuit imprimé.

Figure F13. Schéma réel de l'oscillateur.

Q56. Quelle différence voit-on entre les schémas des figures F12 et F13 ?
Q57. Quel composant du schéma Figure F13 peut expliquer, par une étude de son modèle physique, le fait que les deux schémas des Figures F12 et F13 puissent être bien équivalents?

C.II.4.2 Réalisation d'une inductance

On considère une bobine de longueur

l_B

comportant

N_(sp)

spires jointives de section

S_B

.
Une expression approchée de l'inductance d'une bobine est la suivante :

L_(sp) = (μ_0 N_(sp)^2 S_B)/(l_B)

.
On donne

μ_0 = 4π \times 10^(- 7)H.m^(- 1)

.
Cette inductance peut par exemple être fabriquée avec du fil de cuivre, enrobé d'un isolant. On pourrait choisir par exemple un fil de référence AWG-38, correspondant, selon la norme américaine ASTMB258 très largement utilisée même en Europe, à un diamètre

d_(Cu) = 101μ m

. L'isolant a une épaisseur

t_i = 7, 5μ m

. La conductivité du cuivre est

σ_(Cu) = 5, 88 \times 10^7 Ω^(- 1) \cdot m^(- 1)

. Les valeurs numériques sont seulement données à titre d'exemple.

Le rôle de l'isolant est d'éviter que les spires jointives ne se court-circuitent entre elles.
Q58. Quelle est l'expression littérale de la résistance de la bobine en fonction des grandeurs déjà introduites?

Q59. Expliquer pourquoi on peut considérer que deux spires adjacentes forment un condensateur.
On considère trois spires successives,

Sp1, Sp2

et Sp 3 comme indiquées sur la Figure F14. On appelle

C_i

la capacité d'un condensateur formé par deux spires adjacentes.

Figure F14. Trois spires adjacentes,

Sp1, Sp2

et Sp 3 .

Q60. En considérant comment sont placés les condensateurs formés par {Sp1-Sp2} d'une part et {Sp2-Sp3} d'autre part, déterminer la capacité résultant de l'ensemble des spires.

Q61. Comment tenir compte de ce condensateur, que l'on peut qualifier de "parasite", dans un nouveau schéma équivalent complet de la bobine.
Q62. Quelles sont les conséquences de la présence de ce condensateur parasite ?

C.II. 5 Stabilité de l'oscillateur

La stabilité d'un oscillateur est un critère fondamental de sa qualité, qu'il est indispensable de prendre en compte selon la précision nécessaire pour une application. On considère en général la stabilité à court-terme et la stabilité à long-terme.

C.II.5.1 Oscillateur quasi-sinusoïdal

On considère (Figure F15) le schéma théorique de l'oscillateur comme à la Figure F12. On suppose qu'il fonctionne en régime permanent et pour simplifier on fait l'hypothèse que l'oscillateur est de type quasi-sinusoïdal. Les signaux

v_1(t)v_2(t)

v_3(t)

sont alors considérés comme sinusoïdaux, on peut donc raisonner dans l'espace des fréquences et noter les signaux

V_-_1, V_-_2

V_-_3

en représentation complexe.
Le filtre (entrée

V_-_1

, sortie

V_-_2

) a pour fonction de transfert

H_-_F

.
L'amplificateur (entrée

V_-_2

, sortie

V_-_3

) a pour fonction de transfert

A_-

Figure F15. Oscillateur considéré en fonctionnement sinusoïdal.

Q63. Exprimer

V_-_2

en fonction de

V_-_1, V_-_3

en fonction de

V_-_2

V_-_1

en fonction de

V_-_3

. En déduire une relation entre

A_-

H_-_F

valable s'il y a effectivement oscillation. Cette relation est appelée condition d'oscillation.

Q64. Montrer que la condition d'oscillation conduit à la relation

Arg[H_-_F(ω)] = 0

C.II.5.2 Stabilité à court-terme

On suppose maintenant qu'en sortie de l'amplificateur il y a une petite fluctuation de phase, exprimée par le gain de l'amplificateur

A^'_- = A_0 e^(jδψ)

où

A_0

est un réel positif.

Q65. Quelle est la nouvelle condition d'oscillation relative à la phase de

H_-_F(ω)

?
On considère que la fluctuation de phase

δψ

induit une fluctuation

δω

de la pulsation d'oscillation, petite par rapport à la pulsation propre. On pourra donc écrire que

ω = ω_0 + δω

dans l'expression de

H_-_F

sous forme canonique.

Q66. Déduire, à partir de la condition d'oscillation et de l'expression de

H_-_F

simplifiée grâce à l'hypothèse précédente, l'expression de la variation

δω

de la pulsation. Calculer alors la fluctuation de fréquence pour

δΨ = 1^\circ

Q67. Que se passe-t-il si la fluctuation

δψ

varie au cours du temps mais avec une amplitude faible ? Quel serait alors l'aspect du spectre du signal de l'oscillateur?
Q68. Conclure sur la façon d'améliorer la qualité de l'oscillateur.

Fin de l'épreuve

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet physique A banque PT 2021 (Temps-Fréquence) ?

Le sujet couvre la gravitation et le calendrier lunaire, le pendule pesant et le pendule en rotation, un oscillateur hydraulique avec la relation de Bernoulli, puis deux oscillateurs électroniques construits autour d'amplificateurs linéaires intégrés.

Ce sujet de physique A banque PT 2021 est-il difficile ?

Le rapport le juge difficile : les résultats sont globalement inégaux et souvent très insuffisants, avec un nombre important de copies indigentes, même si quelques candidats ont obtenu d'excellentes notes en traitant la quasi-totalité du sujet.

Quelles sont les erreurs les plus fréquentes relevées par le jury sur ce sujet ?

Le jury pointe l'absence de schémas, une méconnaissance de la loi de gravitation, une confusion entre le théorème de l'énergie cinétique et celui du moment cinétique, des conditions de Bernoulli oubliées, et une confusion entre les impédances d'entrée et de sortie de l'ALI.

Faut-il bien maîtriser l'électronique et les amplificateurs linéaires intégrés pour ce sujet ?

Oui, les deux dernières parties du sujet portent entièrement sur des oscillateurs électroniques construits autour d'amplificateurs linéaires intégrés et représentent une part importante de l'épreuve.

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Epreuve de Physique A

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

CONSIGNES:

Temps-Frequence

A. Aspects mécaniques

A.I. Ébauche de calendrier lunaire

A.II. Les horloges

A.II. 1 Le pendule simple

A.II. 2 Pendule en rotation

B. Oscillateurs hydrauliques.

⇒ Étude de la phase de remplissage

⇒ Étude de la phase de vidange

⇒ Bilan sur les oscillations

C. Oscillateurs électroniques

C.I. Oscillateur de relaxation

C.I.1. Comparateur à hystérésis

C.I.2. Application du circuit comparateur : oscillateur de relaxation

⇒ Étude de la phase de croissance.

⇒ Étude la phase de décroissance.

⇒ Limites de fonctionnement de l'oscillateur

C.II. Oscillateur quasi sinusoïdal

C.II.1. Étude du filtre

C.II. 2 Étude de l'amplificateur

C.II. 3 Étude des oscillations

C.II. 4 Oscillateur réel et modélisation de dipôle

C.II.4.1 Schéma réel de l'oscillateur

C.II.4.2 Réalisation d'une inductance

C.II. 5 Stabilité de l'oscillateur

C.II.5.1 Oscillateur quasi-sinusoïdal

C.II.5.2 Stabilité à court-terme

Fin de l'épreuve

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet physique A banque PT 2021 (Temps-Fréquence) ?

Ce sujet de physique A banque PT 2021 est-il difficile ?

Quelles sont les erreurs les plus fréquentes relevées par le jury sur ce sujet ?

Faut-il bien maîtriser l'électronique et les amplificateurs linéaires intégrés pour ce sujet ?

Commentaires• Banque PT Physique A PT 2021

Commentaires• Banque PT Physique A PT 2021

$\Rightarrow$ Étude de la phase de remplissage

$\Rightarrow$ Étude de la phase de vidange

$\Rightarrow$ Bilan sur les oscillations

$\Rightarrow$ Étude de la phase de croissance.

$\Rightarrow$ Étude la phase de décroissance.

$\Rightarrow$ Limites de fonctionnement de l'oscillateur