Banque PT Mathématiques C PT 2021Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté

Équations différentielles linéaires du premier ordre
Intégrales généralisées
Produit scalaire et procédé de Gram-Schmidt
Intégrales à paramètre
Séries et séries entières
Loi binomiale et théorème de transfert
Loi faible des grands nombres

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BanqueBanque PT Année2021 FilièrePT MatièreMathématiques

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Présentation du sujet

Difficile

La fonction gaussienne : intégrales généralisées, séries entières et probabilités

Le sujet a pour fil directeur la fonction gaussienne f : t vers e^(-t^2), introduite comme solution d'une équation différentielle. La partie I étudie des intégrales généralisées puis des questions d'algèbre euclidienne (produit scalaire, procédé de Gram-Schmidt). La partie II utilise des intégrales à paramètre et des séries entières, et la partie III relie le sujet aux probabilités pour montrer que la fonction gaussienne est limite d'une suite de fonctions polynomiales.

1Préambulepremière annéeLa fonction gaussienne apparaît comme solution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre ; études de fonctions, dérivées et démonstration par récurrence.
2Partie I : intégrales généralisées et algèbre euclidienneÉtude d'intégrales généralisées de x^n e^(-x^2), puis produit scalaire et procédé de Gram-Schmidt pour une base orthonormale.
3Partie II : intégrales à paramètre et séries entièresChangement de variable ramenant les intégrales à des fonctions de leurs bornes, questions sur les séries entières, l'exponentielle et le théorème d'intégration terme à terme.
4Partie III : probabilitésLoi binomiale, théorème de transfert et loi faible des grands nombres, pour montrer que la fonction gaussienne est limite d'une suite de fonctions polynomiales.

Difficile. Le rapport indique que l'épreuve a été un peu moins bien réussie que les années précédentes, avec une moins bonne connaissance du cours et une troisième partie peu traitée.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Convergence des intégrales non vérifiée · Confusion entre équivalent et limite pour la convergence · Théorème des accroissements finis mal énoncé

L'épreuve a été un peu moins bien réussie que les années précédentes, ce que le jury relie possiblement au confinement de mars 2020. Le point marquant est une moins bonne connaissance du cours : les candidats tentent de s'en sortir sans, avec des raisonnements hasardeux. Les correcteurs relèvent aussi beaucoup de problèmes de rigueur et un manque de recul sur les résultats obtenus, tandis que la troisième partie a été peu traitée.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Convergence des intégrales non vérifiéePartie I, Q1
De nombreux candidats découpent une intégrale sur R en deux intégrales, ou font un changement de variable, sans vérifier au préalable que les intégrales convergent.
2
Confusion entre équivalent et limite pour la convergencePartie I, Q2
Plusieurs candidats affirment qu'une intégrale est faussement impropre parce que la fonction tend vers zéro à l'infini, sans justifier correctement la convergence.
3
Théorème des accroissements finis mal énoncéPréambule, Q4a
Les hypothèses exactes du théorème sont peu connues, et il est souvent confondu avec le théorème de Rolle.
4
Procédé de Gram-Schmidt mal justifiéPartie I, Q7e
Le procédé semble globalement connu mais rares sont les candidats qui expliquent ce qu'ils font ; les calculs associés sont rarement menés jusqu'au bout.
5
Intégration par parties non explicitéePartie I, Q5
De nombreux candidats se lancent dans des calculs de crochets et de limites sans expliciter l'intégration par parties utilisée, ce qui ne permet pas au correcteur de suivre le raisonnement.
6
Loi faible des grands nombres mal énoncéePartie III, Q3b
Très peu de candidats ont correctement énoncé la loi faible des grands nombres, certaines réponses étant fantaisistes.

Ce qui a été bien réussi

La question sur la nature de produit scalaire de la partie I a été bien réalisée dans l'ensemble.
La question sur l'orthogonalité de deux polynômes de la partie I a été bien traitée dans l'ensemble.
La parité de la fonction F de la partie II a le plus souvent été correctement traitée.

Conseils du jury

Connaître impeccablement son cours plutôt que de tenter des raisonnements hasardeux.
Toujours vérifier la convergence d'une intégrale ou d'une série avant d'effectuer des calculs sur elle.
Détailler et justifier chaque étape d'un théorème utilisé, notamment ses hypothèses.
Éviter les mots comme évident, trivial ou nécessairement : le jury préfère une justification en une ligne.
Soigner la présentation, notamment tracer les traits à la règle.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

Epreuve de Mathématiques C

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

CONSIGNES:

Composer lisiblement sur les copies avec un stylo à bille à encre foncée : bleue ou noire.
L'usage de stylo à friction, stylo plume, stylo feutre, liquide de correction et dérouleur de ruban correcteur est interdit.
Remplir sur chaque copie en MAJUSCULES toutes vos informations d'identification : nom, prénom, numéro inscription, date de naissance, le libellé du concours, le libellé de l'épreuve et la session.
Une feuille dont l'entête n'a pas été intégralement renseignée, ne sera pas prise en compte.
Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance

Préambule

Donner les solutions sur $ℝ$ de l'équation différentielle $(E)$ :

y^' + 2xy = 0

Dans ce qui suit, on désignera par

f

la solution de

(E)

prenant la valeur 1 en zéro. Il est demandé de donner explicitement

f

.
2. Déterminer la dérivée seconde

f^('')

et la dérivée troisième

f^(''')

f

.
3. Déterminer, après avoir justifié leur existence :

max_(t \in [0, 1])|f(t)|, max_(t \in ℝ)|f^'(t)| et max_(t \in [0, 1])|f^'(t)|

(a) Enoncer le théorème des accroissements finis.
(b) Soit $ε$ un réel strictement positif. Montrer qu'il existe un réel $η$ strictement positif, que l'on explicitera, tel que :

\forall(x, y) \in [0, 1]^2 : |x - y| \leq η \Rightarrow |f(x) - f(y)| \leq ε

Montrer que, pour tout entier naturel $n$ , la dérivée $n^(ième)$ de $f$ s'exprime à l'aide de $f$ et d'une fonction polynomiale $H_n$ , dont on précisera la parité, et le degré. On désignera par $a(H_n)$ le coefficient dominant de $H_n$ .
Donner, pour tout entier naturel $n$ , une relation entre $a(H_n)$ et $a(H_(n + 1))$ , puis exprimer $a(H_n)$ en fonction de l'entier $n$ .

Partie I

Pour tout entier naturel

n

, on pose:

I_n = \int_0^(+ \infty)x^n e^(- x^2)dx, J_n = \int_(- \infty)^(+ \infty)x^n e^(- x^2)dx

On donne :

\int_(- \infty)^(+ \infty)e^(- x^2)dx = \sqrtπ

Soit $g$ une fonction définie sur $ℝ$ . Montrer que si la fonction $g$ est paire, alors $\int_(- \infty)^(+ \infty)g(t)dt$ converge si et seulement si $\int_0^(+ \infty)g(t)dt$ converge.
Montrer que, pour tout entier naturel $n, I_n$ et $J_n$ sont des intégrales convergentes.
Donner, pour tout entier naturel pair $n$ , une relation entre $I_n$ et $J_n$ . Que vaut $J_n$ si l'entier $n$ est impair?
Calculer $I_1$ .
Déterminer, pour tout entier naturel $n$ , une relation de récurrence entre $I_n$ et $I_(n + 2)$ .
Soit $k$ un entier naturel. Montrer que :

I_(2k) = ((2k)!)/(2^(2k)k!)(\sqrtπ)/2

et exprimer, en fonction de

k : I_(2k + 1)

.
7. (a) Montrer que toute fonction polynomiale

P

, l'intégrale

\int_(- \infty)^(+ \infty)P(x)e^(- x^2)dx

converge.
(b) Soit

Q

une fonction polynomiale telle que :

\int_(- \infty)^(+ \infty)Q^2(x)e^(- x^2)dx = 0

Montrer que la fonction

Q

est identiquement nulle.
(c) Montrer que l'application :

ℝ[X] \times ℝ[X], \to, ℝ; (P, Q), \mapsto, ⟨P, Q⟩ = 1/(\sqrtπ)\int_(- \infty)^(+ \infty)P(x)Q(x)e^(- x^2)dx

est un produit scalaire sur

ℝ[X]

.
(d) Justifier :

⟨H_0, H_1⟩ = 0

On rappelle que la suite de polynômes

(H_n)_(n \in ℕ)

a été introduite dans le Préambule. On admettra, pour la suite du problème que :

\forall(p, q) \in ℕ \times ℕ : ⟨H_(2p), H_(2q + 1)⟩ = 0

(e) Construire une base orthonormée du sous-espace vectoriel de

ℝ[X]

engendré par

H_0, H_1

H_2

Partie II

Pour tout réel

x

, on pose :

F(x) = x\int_1^2 e^(- x^2 t^2)dt

Etudier la parité de $F$ .
Montrer que, pour tout réel $x$ :

F(x) = \int_x^(2x)e^(- u^2)du

Etudier la continuité et la dérivabilité de $F$ (on pourra utiliser le résultat du Préliminaire donnant $max_(t \in ℝ)|f^'(t)|$ ).
Que vaut :

lim_(x \to + \infty)F(x)?

Etudier la convergence de la série de terme général $F(2^n)$ .
(a) Donner l'expression de la dérivée de $F$ .
(b) Résoudre : $F^'(x) = 0$ .
(c) Etudier les variations de la fonction $F$ . Il est demandé de donner le tableau de variations de la fonction $F$ .
Montrer que, pour tout réel strictement positif $x$ :

xe^(- 4x^2) \leq F(x) \leq xe^(- x^2)

Tracer l'allure du graphe de la fonction $F$ .
(a) Justifier le fait que la fonction $F$ admette des primitives sur $ℝ$ . On désignera par $G$ la primitive de $F$ s'annulant en 0 .
(b) On introduit :

ℓ_G = lim_(x \to + \infty)G(x)

Justifier l'existence de

ℓ_G

dans

ℝ^– = ℝ ∪ { − ∞, + ∞}

.
(c) Montrer que :

1/8 \leq ℓ_G \leq 1/2

.
10. (a) Rappeler le développement en série entière de la fonction exponentielle.
(b) Donner le développement en série entière de la fonction

F

, en précisant son rayon de convergence.

Partie III

é Dans ce qui suit, f est la fonction introduite dans le Préambule. _-

Pour tout entier naturel non nul

n

, tout entier naturel

k \leq n

, et tout réel

x

, on pose :

R_(n, k)(x) = (n/k)x^k(1 - x)^(n - k), B_n(f)(x) = \sum_(k = 0)^n f(k/n)R_(n, k)(x)

Soit $x$ un réel, et $n$ un entier naturel. Donner, le plus simplement possible, la valeur de $: \sum_(k = 0)^n kR_(n, k)(x)$ .
Soit $p$ un réel tel que : $0 < p < 1$ . On considère une suite de variables aléatoires indépendantes $(X_n)_(n \in ℕ^⋆)$ , suivant toutes la loi de Bernoulli de paramètre $p$ . Pour tout entier naturel non nul $n$ , on pose : $S_n = X_1 + \dots + X_n$ . Quelle est la loi de la variable aléatoire $S_n$ ? On donnera la valeur de son espérance $𝔼[S_n]$ .
(a) Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$ :

𝔼[f((S_n)/n)] = B_n(f)(p)

(b) Soit

ε

un réel strictement positif. Enoncer la loi faible des grands nombres, et en déduire que pour tout

η > 0

, il existe un entier

n_0

tel que, pour tout entier

n \geq n_0

ℙ[|(S_n)/n - p| \geq η] \leq ε

η > 0

. Que peut-on dire de l'ensemble :

{k \in ℕ, |k/n - p| \leq η} \cup {k \in ℕ, |k/n - p| > η}?

(d) En déduire qu'il existe un entier

n_0

tel que, pour tout entier

n \geq n_0

|f(p) - B_n(f)(p)| \leq 3ε

où on rappelle que la fonction

f

a été introduite dans le Préambule. Que peut-on en déduire?

On s'est intéressé, dans ce problème, à l'étude de quelques propriétés de la fonction gaussienne

f : t \mapsto e^(- t^2)

, qui apparaît notamment dans l'expression de la densité de probabilité de la loi normale, à laquelle tendent à obéir de nombreux phénomènes concrets : résistance à l'usure et à la pression par exemple.

Après un Préambule qui fait apparaître les polynômes d'Hermite lors du calcul de dérivées

n^(ièmes)

, la première partie permet, dans un premier temps, de calculer les moments d'ordre

n \in ℕ

. Ensuite, on aborde d'autres propriétés, calculs d'intégrales diverses, puisque la fonction gaussienne peut aussi être utilisée pour définir un produit scalaire sur des espaces de polynômes. Dans la seconde partie, interviennent une fonction et des séries construites à partir de

f

. Enfin, dans la troisième partie, on montre, à l'aide d'un résultat du cours de probabilités, la loi faible des grands nombres, que la fonction gaussienne peut s'obtenir comme limite d'une suite de fonctions polynomiales (faisant intervenir une autre famille de polynômes remarquables : les polynômes de Bernstein), résultat important dès que l'on veut faire du calcul numérique. Cela permet de faire le lien avec la première partie, l'aspect << produit scalaire >> intervenant pour déterminer la précision et la fiabilité d'une approximation : à quelle distance de la solution exacte est la solution approchée ? On notera que le cas étudié dans ce problème est un cas particulier du théorème d'approximation de Weierstrass : toute fonction continue sur un segment peut être approchée par une suite de fonctions polynomiales.

Fin de l'épreuve

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte Mathématiques C PT Banque PT 2021 ?

Le sujet porte sur la fonction gaussienne : équations différentielles, intégrales généralisées, algèbre euclidienne, intégrales à paramètre, séries entières et probabilités (loi binomiale, loi faible des grands nombres).

Le sujet Mathématiques C PT 2021 sur la fonction gaussienne est-il difficile ?

Le rapport indique que l'épreuve a été un peu moins bien réussie que les années précédentes, avec une moins bonne connaissance du cours et une troisième partie sur les probabilités peu traitée.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet ?

Un manque de vérification de la convergence des intégrales et séries avant tout calcul, des théorèmes mal énoncés comme celui des accroissements finis, et un procédé de Gram-Schmidt rarement expliqué correctement.

Ce sujet est-il faisable en première année de prépa PT ?

Le rapport précise que seul le préambule (équation différentielle linéaire, étude de fonctions, récurrence) relève du programme de première année ; le reste du sujet mobilise le cours de deuxième année.

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