Banque PT Mathématiques C PT 2020Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté

Formule de Taylor-Young
Développement en série entière
Suites et séries numériques
Raisonnement par récurrence
Intégrales à paramètre et fonction Gamma
Produits infinis

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BanqueBanque PT Année2020 FilièrePT MatièreMathématiques

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Présentation du sujet

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Le calcul de la constante de Kepler-Bouwkamp : approximation de Padé, équation fonctionnelle et fonction Gamma

Le sujet a pour fil directeur le calcul de la constante de Kepler-Bouwkamp, un produit infini de cosinus. Après un préambule sur la formule de Taylor-Young, la première partie étudie une approximation de Padé d'une fonction rationnelle paire comparée au cosinus, la seconde résout une équation fonctionnelle en manipulant suites et séries numériques, et la troisième, plus difficile, relie la fonction Gamma et la fonction sinus par la formule de réflexion.

1PréambuleRappel de l'énoncé de la formule de Taylor-Young.
2Partie IÉtude d'une fonction rationnelle paire construite par approximation de Padé, comparaison de son développement en série entière avec celui du cosinus, et représentation graphique.
3Partie IIRésolution d'une équation fonctionnelle par manipulation de suites et de séries numériques, avec raisonnement par récurrence.
4Partie IIIQuestions plus difficiles faisant le lien entre la fonction Gamma et la fonction sinus par la formule de réflexion, avec étude de la convergence de séries, produits infinis et intégrales à paramètre.

Accessible. Le rapport indique que le sujet comportait des questions de cours et des questions faciles et accessibles, ce qui a permis aux candidats de répondre à un nombre important de questions, et que le sujet a été plutôt bien réussi dans l'ensemble.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Sommes ou différences d'équivalents · Confusion entre Taylor-Young et Taylor avec reste intégral · Récurrence mal rédigée

Le jury note que le sujet, comme l'an dernier, comportait des questions de cours faciles et accessibles à côté de questions plus difficiles destinées à départager les très bons candidats. Malgré le confinement et le décalage des épreuves cette année-là, le sujet a été plutôt bien réussi dans l'ensemble, même si l'équivalence et la négligeabilité restent très mal maîtrisées et si l'orthographe et la terminologie mathématique demeurent fragiles.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Sommes ou différences d'équivalents
De nombreux candidats effectuent des sommes ou des différences d'équivalents qui s'annulent, sans penser à effectuer un développement limité à un ordre supérieur.
2
Confusion entre Taylor-Young et Taylor avec reste intégralPréambule, question 1
Beaucoup de candidats confondent la formule de Taylor-Young avec la formule de Taylor avec reste intégral, et omettent le terme de reste en o ou ne respectent pas les notations de l'énoncé.
3
Récurrence mal rédigéePartie II, question 2
De nombreux candidats ne savent pas rédiger un raisonnement par récurrence : erreur sur le rang d'initialisation, propriété P(n) mal formulée, ou hérédité prouvée à l'envers.
4
Division par une expression pouvant s'annulerPartie II, question 4
De nombreux candidats divisent ou simplifient par un produit de cosinus sans vérifier qu'il ne s'annule pas.
5
Composition d'équivalents par le logarithmePartie III, question 1
Le jury rappelle qu'on ne peut pas composer des équivalents par une fonction, notamment pour prendre le logarithme d'un terme général de série.
6
Confusion entre produits infinis et produits partielsPartie III, question 5
Les candidats écrivent des égalités entre exponentielle d'une somme infinie et produit infini d'exponentielles sans passer par les sommes et produits partiels puis la limite.

Ce qui a été bien réussi

Le tableau de variations de la fonction phi sur R a en général été correctement donné.
Plusieurs questions du préambule et des parties I et II ont été traitées par la majorité des candidats.
Quelques excellentes copies ont su utiliser les questions précédentes pour conclure la dernière question de la partie III.
La situation exceptionnelle du confinement ne semble pas avoir impacté négativement les candidats, les mois de révision supplémentaires ayant été bénéfiques.

Conseils du jury

Toujours indiquer le terme de reste sous la forme o(...) et respecter précisément les notations imposées par l'énoncé.
Ne pas sommer ou soustraire des équivalents ; repasser par des égalités avec un terme en o quand c'est nécessaire.
Soigner la rédaction d'une récurrence : formuler clairement la propriété P(n), l'initialisation et l'hérédité.
Vérifier systématiquement qu'une expression au dénominateur ne s'annule pas avant de diviser.
Ne pas manipuler sommes et produits infinis comme des sommes et produits finis : passer par les sommes ou produits partiels puis par la limite, en la justifiant.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

Epreuve de Mathématiques C

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

À rendre en fin d'épreuve avec la copie une feuille de papier millimétré

Les parties I, II, à l'exclusion de la question 2. d., et III peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.

Préambule

Soit $n$ un entier naturel non nul, $I$ un intervalle de $ℝ$ , non vide, non réduit à un point, et $a$ un point de $I$ . Enoncer le théorème donnant la formule de Taylor-Young, pour une fonction $f$ de classe $C^n$ sur $I$ , au voisinage de $a$ .
Rappeler le développement limité à l'ordre deux, au voisinage de zéro, de la fonction cosinus, en faisant le lien avec la formule de Taylor-Young.

Partie I

On considère la fonction

φ

qui, à tout réel

x

, associe :

φ(x) = (12 - 5x^2)/(12 + x^2), ψ(x) = 1 - (6x^2)/(12 + x^2)

Etudier la parité de la fonction $φ$ . Que peut-on en déduire pour le domaine d'étude, et pour sa courbe représentative?
Comparer, pour tout réel $x, φ(x)$ et $ψ(x)$ .
Calculer, pour tout réel $x : φ^'(x)$ (On utilisera les résultats des questions précédentes pour faire le calcul le plus simplement possible).
Donner le tableau de variations de la fonction $φ$ sur $ℝ$ (on fera figurer les limites de $φ$ aux bornes du domaine d'étude).
Développer en série entière, sur un domaine que l'on précisera, la fonction $φ$ .
On donne les valeurs approchées :

φ(π) \approx - 1, 71 et 2\sqrt(3/5) \approx 1, 54

Tracer, sur un même graphique, sur la feuille de papier millimétré fournie, avec l'échelle : 3 cm pour une unité, la courbe représentative de la fonction

φ

sur

[ - π, π]

, et la courbe représentative de la fonction cosinus sur

[ - π, π]

. Que remarque-t-on? Donner, à l'aide de la question précédente, une interprétation.

Partie II

Dans cette partie, on cherche à déterminer les fonctions

h

, continues en 0 , prenant la valeur 1 en zéro, telles que, pour tout réel

x

h(2x) = h(x)cos(πx)

Pour tout réel $a$ , exprimer $sin(2a)$ en fonction de $cosa$ et $sina$ .
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul $n$ , et pour tout réel $x$ :

sin(πx) = 2^n sin((πx)/(2^n))\prod_(k = 1)^n cos((πx)/(2^k))

Montrer que, pour toute solution $h$ , tout entier naturel non nul $n$ , et pour tout réel $x$ :

h(x) = h(x/(2^n))cos((πx)/(2^n))\dotscos((πx)/(2^2))cos((πx)/2)

Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$ , et pour tout réel $x$ :

h(x)sin((πx)/(2^n)) = 1/(2^n)h(x/(2^n))sin(πx)

Pour tout réel $x$ non nul, déterminer la valeur de

lim_(n \to + \infty)h(x/(2^n))

Pour tout réel $x$ non nul, déterminer la valeur de

lim_(n \to + \infty)1/(2^n)x/(sin((πx)/(2^n)))

Déduire des résultats précédents l'expression, pour tout réel $x$ , de $h(x)$ en fonction de $x$ .

Partie III

Etudier la convergence de la série de terme général :

ln(cos(π/(n + 1)))

On considère la suite $(R_n)_(n \geq 2)$ , de premier terme $R_2 = 1$ et telle que, pour tout entier $n \geq 3$ :

R_n = R_(n - 1)cos(π/(n + 1))

(a) Calculer, pour tout entier

n \geq 4

, et de deux façons différentes :

∑_(k = 4)^n{lnR_k − lnR_(k − 1)}

(b) La suite

(lnR_n)_(n \geq 2)

est-elle convergente?
(c) Justifier l'existence de :

R = lim_(N \to + \infty)\prod_(k = 3)^N cos(π/k)

On écrira, dans ce qui suit :

lim_(N \to + \infty)\prod_(k = 3)^N cos(π/k) = \prod_(k = 3)^(+ \infty)cos(π/k)

(d) A l'aide des résultats de la Partie I, proposer une méthode de calcul permettant d'obtenir une valeur approchée de

R

.
3. (a) Soit

n

un entier naturel non nul. Rappeler la formule donnant la somme des

n

premiers termes d'une suite géométrique de raison

q \neq 1

, de premier terme 1 , i.e. :

\sum_(k = 0)^(n - 1)q^k

.
(b) En déduire, pour tout

t

]0, 1]

, l'expression de :

(1 - (1 - t)^n)/t

en fonction d'une somme.
(c) Pour tout entier naturel non nul

n

, on pose :

I_n = \int_0^1(1 - (1 - t)^n)/tdt

Etudier la convergence de l'intégrale

I_n

.
(d) Montrer que, pour tout entier naturel non nul

n

I_n = \sum_(k = 1)^n 1/k

Pour tout entier naturel non nul $n$ , on pose :

u_n = \int_0^1 t/(n(n + t))dt

(a) Exprimer, pour tout entier naturel non nul

n

, l'intégrale

u_n

en fonction de

n

.
(b) Etudier la convergence de la série de terme général

u_n

.
(c) En déduire l'existence de :

γ = lim_(n → + ∞){1 + 1/2 + … + 1/n − lnn}

Pour tout entier naturel non nul $n$ , et tout réel strictement positif $x$ , on pose :

G_n(x) = \int_0^n(1 - t/n)^n t^(x - 1)dt

(a) Etudier, pour tout entier naturel non nul

n

la continuité et la dérivabilité de

G_n

(pour la dérivabilité, on commencera par se placer sur un intervalle de la forme

[a, + \infty[, a > 0)

.
(b) Calculer :

lim_(n \to + \infty)G_n(1)

.
(c) Montrer que, pour tout entier naturel non nul

n

, et tout réel strictement positif

x

G_n(x) = (n^x n!)/(x(x + 1)\dots(x + n))

(On pourra utiliser des intégrations par parties.)
(d) Etudier, pour tout réel

x > 0

, la convergence de :

∑_(k = 1)^(+ ∞){ln(1 + x/k) − x/k}

(e) En déduire, pour tout réel

x > 0

, la convergence de :

lim_(N → + ∞)∏_(k = 1)^N{(1 + x/k)e^(− x/k)} = ∏_(k = 1)^(+ ∞){(1 + x/k)e^(− x/k)}

(f) Montrer que, pour tout réel

x > 0

lim_(n → + ∞)G_n(x) = 1/xe^(− γx)lim_(N → + ∞)∏_(k = 1)^N{(1 + x/k)^(− 1)e^(x/k)} = 1/xe^(− γx)∏_(k = 1)^(+ ∞){(1 + x/k)^(− 1)e^(x/k)}

(g) Pour tout réel

x > 0

, on pose:

H(x) = xe^(γx)lim_(N → + ∞)∏_(k = 1)^N{(1 + x/k)e^(− x/k)} = xe^(γx)∏_(k = 1)^(+ ∞){(1 + x/k)e^(− x/k)}

Montrer que, pour tout réel

x \in ]0, 1[

H(x + 1)H(1 - x) = \prod_(k = 1)^(+ \infty)(1 - (x^2)/(k^2)) et (H(x + 1))/(H(x)) = 1/x.

Si on considère un cercle unité

C_1

, et que l'on

y

inscrit un triangle équilatéral, à l'intérieur duquel on inscrit un cercle,

C_2

, à l'intérieur duquel on inscrit un triangle équilatéral, puis un cercle, puis un carré, à nouveau un cercle à l'intérieur du carré, puis un pentagone régulier à l'intérieur de ce cercle, ... en répétant à l'infini ce procédé, on s'aperçoit que les rayons des cercles

C_n

inscrits ainsi obtenus ont une limite finie, qui est la constante de Kepler-Bouwkamp :

\prod_(k = 3)^(+ \infty)cosπ/k

et dont l'on doit l'origine à Johannes Kepler, qui pensait initialement que les orbites de Jupiter et Saturne autour du soleil pouvaient être approchées par des cercles de type

C_1

C_2

, celle de Mars, de type

C_3

, celle de la Terre, de type

C_4

, etc...

Pour calculer une valeur approchée de cette constante, on peut utiliser, comme dans le problème, une approximation de Padé, très utile dès que l'on considère des systèmes dynamiques, comme, justement, en astronomie. De façon amusante, si l'on considère un produit infini avec cette approximation, on obtient une expression faisant intervenir la fonction Gamma,

Γ

, historiquement définie par Leonhard Euler comme la limite donnée en question III. 5. c., et redéfinie ensuite par Karl Weierstrass par la formule donnée en question III. 5. f. En partie III, on obtient également le lien entre la fonction Gamma et la fonction sinus, par une formule dite

≪

de réflexion

≫

, la fonction

h

recherchée étant telle que :

\forallx \in ℝ∖ℤ : h(x) = xΓ(1 - x)Γ(x)

Fin de l'épreuve

Questions fréquentes

3 questions

Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques C de la banque PT 2020 ?

Elle porte sur les développements limités et la formule de Taylor-Young, les suites et séries numériques, ainsi que les intégrales à paramètre et la fonction Gamma, à travers le calcul de la constante de Kepler-Bouwkamp.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées dans le sujet de maths C banque PT 2020 ?

Le jury relève une mauvaise maîtrise de l'équivalence et de la négligeabilité, des sommes ou différences d'équivalents non justifiées, une récurrence souvent mal rédigée, et une confusion entre produits infinis et produits partiels.

Le sujet de maths C banque PT 2020 est-il difficile ?

Le sujet comportait des questions de cours faciles et accessibles ainsi que des questions plus difficiles réservées aux très bons candidats ; le rapport indique qu'il a été plutôt bien réussi dans l'ensemble.

Pas de description pour le moment

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