Banque PT Mathématiques C PT 2018Sujet et corrigé

Pas encore noté

Faisable en Sup

Explorer les annales

BanqueBanque PT Année2018 FilièrePT MatièreMathématiques

Annales Banque PT PT Mathématiques Banque PT PT 2018 PT Mathématiques Mathématiques 2018

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Corrigé

Corrigé 2

Lire en ligne LaTeX Word

Rapport du jury : non disponible

Présentation du sujet

Calcul de l'intégrale de Dirichlet par plusieurs méthodes d'analyse

Le problème calcule par étapes l'intégrale de Dirichlet, l'intégrale de sinus cardinal sur R+, en utilisant d'abord des sommes de Riemann trigonométriques puis un développement en série entière et une méthode par convergence dominée. Un préambule sur le lemme de Riemann-Lebesgue prépare les deux parties suivantes.

1PréambuleÉtablir une version du lemme de Riemann-Lebesgue pour une fonction de classe C1 sur un segment.
2Partie I : étude des suites I_n et J_nÉtudier la convergence de deux suites d'intégrales trigonométriques et en déduire la valeur de l'intégrale de Dirichlet par un premier procédé.
3Partie II : développement en série entière et calcul par une deuxième méthodeDévelopper la fonction sinus cardinal en série entière puis retrouver la valeur de l'intégrale de Dirichlet à l'aide d'une fonction auxiliaire F(x) et de nombres complexes.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

Epreuve de Mathématiques C

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Préambule

On considère deux réels

a

b

tels que

a < b

, et une fonction

f

, de classe

C^1

sur

[a, b]

Montrer qu'il existe une constante positive $M$ telle que, pour tout réel $t$ de $[a, b]$ :

|f^'(t)| \leq M

Que vaut: $lim_(k \to + \infty, k \in ℕ)1/k\int_a^b f^'(t)e^(ikt)dt$ ?
A l'aide d'une intégration par parties, montrer que :

lim_(k \to + \infty, k \in ℕ)\int_a^b f(t)e^(ikt)dt = 0

Partie I

Pour tout entier naturel non nul

n

, on pose:

I_n = \int_0^(π/2)(sin(2nt))/(tant)dt, J_n = \int_0^(π/2)(sin(2nt))/tdt

(a) i. Déterminer :

lim_(t \to 0^+)(sin(2nt))/(tant)

ii. Déterminer :

lim_(t \to π/2^-)(sin(2nt))/(tant)

iii. Etudier, pour tout entier naturel non nul

n

, la convergence de l'intégrale

I_n

.
(b) Que vaut

I_1

?
(c) Exprimer, pour tout réel

t

[0, π/2]

, et tout entier naturel non nul

n

, la quantité

sin((2n + 2)t) - sin(2nt)

en fonction de

cos((2n + 1)t)

sint

.
(d) Montrer que la suite

(I_n)_(n \in ℕ^⋆)

est constante (on précisera la valeur prise par les termes de cette suite).
2. Etudier la convergence des intégrales

J_n, n \in ℕ^⋆

, et

\int_0^(π/2)(sint)/tdt

.
3. Montrer que la fonction

φ

qui, à tout réel

t

]0, π/2[

, associe

φ(t) = 1/t - 1/(tant)

est prolongeable en une fonction

φ˜

de classe

C^1

sur

[0, π/2]

.
4. Que vaut:

lim_(n → + ∞){J_n − I_n}

? On pensera à utiliser le préambule.
5. (a) Montrer que l'intégrale

\int_(π/2)^(+ \infty)(sint)/tdt

est convergente (on pourra effectuer une intégration par parties).
(b) Montrer que :

lim_(n \to + \infty)J_n = \int_0^(+ \infty)(sint)/tdt

(on pourra utiliser un changement de variables)
(c) Que vaut :

\int_0^(+ \infty)(sint)/tdt ?

Partie II

(a) Montrer que, pour tout entier naturel $n \geq 2$ :

\int_π^(nπ)(sint)/tdt = ((- 1)^(n + 1))/(nπ) - 1/π - \sum_(k = 1)^(n - 1)\int_(kπ)^((k + 1)π)(cost)/(t^2)dt

(b) Etudier la convergence de la série de terme général

\int_(kπ)^((k + 1)π)(cost)/(t^2)dt

, puis de la suite

(\sum_(k = 1)^(n - 1)\int_(kπ)^((k + 1)π)(cost)/(t^2)dt)_(n \in ℕ^⋆)

, et conclure sur la convergence de :

\int_π^(+ \infty)(sint)/tdt

Dans ce qui suit, a désigne un réel strictement positif.

(a) Montrer que la série de terme général :

((- 1)^n a^(2n + 1))/((2n + 1)(2n + 1)!)

est absolument convergente.
(b) Montrer que la fonction :

ψ : ℝ, \to ℝ; t, \mapsto ψ(t) = {(sint)/t, si; 1, sinon t \neq 0

est développable en série entière, de rayon de convergence infini.
(c) Montrer que :

\int_0^a(sint)/tdt = \sum_(n = 0)^(+ \infty)((- 1)^n a^(2n + 1))/((2n + 1)(2n + 1)!)

Dans ce qui suit, la partie réelle d'un nombre complexe z sera notée

Re(z)

.
3. (a) Rappeler le développement en série entière de la fonction exponentielle complexe, en précisant : le rayon de convergence, et le domaine de convergence.
(b) Montrer que, pour tout entier naturel non nul

N

|\int_0^(π/2)\sum_(n = N + 1)^(+ \infty)((- 1)^n a^n)/(n!)Re(e^(- int))dt| \leq π/2\sum_(n = N + 1)^(+ \infty)(a^n)/(n!)

t

de l'intervalle

[0, π/2]

, à l'aide de la somme d'une série :

e^(- ae^(- it))

(d) Calculer, pour

p = 0

\int_0^(π/2)Re(e^(- ipt))dt

puis, pour tout entier naturel non nul

n

\int_0^(π/2)Re(e^(- int))dt

(On pensera à distinguer les cas, en fonction de la parité de

n

)
(e) En déduire l'expression de la partie réelle de

\int_0^(π/2)e^(- ae^(- it))dt

en fonction de la somme d'une série.
(f) On pose:

F(x) = \int_0^(π/2)e^(- xcost)dt

.
i. Etudier la continuité de l'application

F

sur

[0, + \infty[

ii

. Déterminer le sens de variation de la fonction qui, à tout réel

t

[0, π/2]

, associe :

e^(- acost)

.
iii. Montrer que :

\int_(π/2 - 1/(\sqrta))^(π/2)e^(- acost)dt \leq 1/(\sqrta)

iv. En déduire la valeur de :

lim_(a \to + \infty)F(a)

(g) Déterminer, pour tout réel

t

[0, π/2]

, la partie réelle, la partie imaginaire et le module de

e^(- ae^(- it))

.
(h) Montrer que :

|\int_0^(π/2 - 1/(\sqrta))Re(e^(- ae^(- it)))dt| \leq F(a)

et en déduire :

lim_(a \to + \infty)\int_0^(π/2 - 1/(\sqrta))Re(e^(- ae^(- it)))dt

(i) Retrouver, à l'aide des résultats précédents, la valeur de :

\int_0^(+ \infty)(sint)/tdt

Ce problème met en œuvre des techniques d'analyse classique permettant de calculer, par plusieurs méthodes, l'intégrale de Dirichlet

\int_0^(+ \infty)(sint)/tdt

, qui intervient, notamment, dans l'étude des phénomènes ondulatoires.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques C banque PT 2018 ?

Il porte sur les intégrales impropres, les séries numériques et entières, appliquées au calcul de l'intégrale de Dirichlet.

Quelles parties sont indépendantes dans ce sujet ?

Le préambule sert de résultat préparatoire réutilisé ensuite ; les parties I et II proposent deux méthodes différentes pour calculer la même intégrale et peuvent être abordées séparément une fois le préambule acquis.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour traiter ce sujet ?

Il faut maîtriser les critères de convergence des intégrales impropres, les développements en série entière usuels et les propriétés des séries alternées ou absolument convergentes.

Ce sujet aborde-t-il les nombres complexes ?

Oui, la fin de la partie II utilise l'exponentielle complexe et la partie réelle de sommes de séries pour retrouver le résultat final.

Pas de description pour le moment

Commentaires• Banque PT Mathématiques C PT 2018

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...