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Banque PT Mathématiques C PT 2025Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Calcul des intégrales de Fresnel par séries entières et intégration par parties
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Le sujet mène au calcul des intégrales de Fresnel en trois parties : un préambule et une partie I qui calculent une intégrale de fraction rationnelle par primitives explicites, une partie II qui construit les fonctions cosinus et sinus de x² comme sommes de séries entières, et une partie III qui étudie la convergence des intégrales de Fresnel et prépare leur calcul par une intégrale complexe.

  1. 1PréambuleConvergence et comparaison de deux intégrales de fractions rationnelles à l'aide d'un théorème de changement de variable.
  2. 2Partie IÉtude d'une fonction rationnelle, calcul de primitives explicites et obtention de la valeur de l'intégrale de t²/(t⁴+1).
  3. 3Partie IIséries entièresRecherche des développements en série entière de deux fonctions solutions d'un système différentiel, puis identification à cos(x²) et sin(x²).
  4. 4Partie IIIConvergence de l'intégrale de Fresnel complexe et développement en série entière de la fonction exponentielle complexe pour préparer le calcul final.

Difficulté moyenne. Le rapport indique une épreuve globalement bien réussie, meilleure que l'année précédente, avec des copies obtenant la note maximale, mais aussi de nombreuses copies sans aucune réponse correcte.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Justifications vagues sur les comparaisons de séries de Riemann · Théorème de changement de variable mal énoncé · Confusion entre développements limités et séries entières
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Le jury juge l'épreuve globalement bien réussie, mieux que l'année précédente, avec des copies ayant traité l'intégralité du sujet et obtenu vingt sur vingt. Il relève cependant que de nombreuses copies ne comportent aucune réponse correcte, y compris sur des questions de cours ou de niveau lycée.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Justifications vagues sur les comparaisons de séries de RiemannPréambule Q1

    Le jury a trouvé de nombreuses réponses imprécises du type « par comparaison » sans préciser avec quoi, ou des formulations incorrectes comme « l'intégrale de Riemann est convergente ».

    « Nous avons également rencontré des formulations ne voulant rien dire »
  2. 2
    Théorème de changement de variable mal énoncéPréambule Q2

    Plus de 70% des copies n'ont pas répondu ou ont mal répondu à la question de cours demandant d'énoncer ce théorème, avec des hypothèses manquantes comme le caractère C1 ou bijectif.

    « Plus de 70% des copies n’ont pas répondu ou n’ont pas répondu correctement »
  3. 3
    Confusion entre développements limités et séries entièresPartie II Q1(a)

    Dans la partie II, un nombre non négligeable de copies confondent séries entières, polynômes et développements limités, et manipulent des coefficients non définis.

  4. 4
    Récurrences mal initialisées ou éludéesPartie II Q1(e)

    Le jury signale de la malhonnêteté sur l'initialisation de la récurrence, certains candidats affirmant a0 = 1 sans justification, ou des tentatives où le calcul est remplacé par « c'est évident ».

    « Il y a eu fréquemment de la malhonnˆ eteté sur l’initialisation de la récurrence »
  5. 5
    Rayon de convergence mal justifiéPartie II Q1(f)

    Le critère de d'Alembert est souvent utilisé implicitement sans être cité, avec des erreurs sur les valeurs absolues ou la confusion entre le rapport dépendant de n et sa limite.

  6. 6
    Majorations fausses ou incomplètes pour les intégrales impropresPartie III Q1, Q2

    Pour la convergence de l'intégrale de e^(-t²) et des intégrales de Fresnel, plusieurs candidats majorent l'intégrande au lieu de sa valeur absolue, ou utilisent une majoration non valable sur tout l'intervalle.

Ce qui a été bien réussi

  • La majorité des candidats a correctement calculé le discriminant du trinôme et le domaine de définition de la fonction h de la partie I.
  • La grande majorité des candidats a correctement calculé h(t)+h(-t)+g(t)+g(-t) et une primitive de la fonction φ.
  • La majeure partie des candidats a correctement étudié la convergence des intégrales de sin(t²)/t² et cos(t²)/t².

Conseils du jury

  • Justifier précisément chaque comparaison ou majoration utilisée pour la convergence d'une intégrale, en citant le résultat de référence exact.
  • Énoncer complètement les théorèmes de cours utilisés, avec toutes leurs hypothèses (changement de variable, dérivation ou intégration terme à terme).
  • Ne pas se contenter d'une suite de formules sans relation explicite, en particulier pour une intégration par parties.
  • Faire attention aux valeurs à valeurs complexes : ne pas écrire d'inégalités entre nombres complexes.
  • Encadrer les résultats et tirer les traits à la règle.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

Epreuve de Mathématiques C

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les questions non correctement référencées ne seront pas notées. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

CONSIGNES:

  • Composer lisiblement sur les copies avec un stylo à bille à encre foncée : bleue ou noire.
  • L'usage de stylo à friction, stylo plume, stylo feutre, liquide de correction et dérouleur de ruban correcteur est strictement interdit. Les surveillants et surveillantes se réservent le droit de les confisquer.
  • Remplir sur chaque copie en MAJUSCULES toutes vos informations d'identification : nom, prénom, numéro inscription, date de naissance, le libellé du concours, le libellé de l'épreuve et la session.
  • Une feuille, dont l'entête n'a pas été intégralement renseigné, ne sera pas prise en compte.
  • Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance. La présence d'une information d'identification en dehors du cartouche donnera lieu à un point de pénalité et la page concernée pourra être soustraite de la correction.

Préambule

  1. Etudier la convergence des intégrales
∫_0^(+ ∞)(dt)/(t^4 + 1) et ∫_0^(+ ∞)(t^2)/(t^4 + 1)dt
  1. Enoncer le théorème de changement de variable pour les intégrales généralisées.
  2. Comparer (sans les calculer)
∫_0^(+ ∞)(t^2)/(t^4 + 1)dt et ∫_0^(+ ∞)(dt)/(t^4 + 1)
(On pourra utiliser le changement de variable 1/t = x.)

Partie I

  1. Déterminer le domaine de définition D_h de la fonction h qui, à tout réel t de D_h, associe :
h(t) = (2t − √2)/(t^2 + 1 − √2t)
  1. Soit X un réel positif. Calculer ∫_0^X h(t)dt puis, à l'aide de ce résultat, ∫_X^0 h(− t)dt.
  2. Que vaut :
lim_(X → + ∞)∫_0^X(h(t) + h(− t))dt ?
  1. Déterminer une primitive sur ℝ de la fonction φ qui, à tout réel t, associe :
φ(t) = 2/(2(t − 1/(√2))^2 + 1)
  1. On considère la fonction g qui, à tout réel t de son domaine de définition D_g, associe :
g(t) = (√2)/(t^2 + 1 − √2t)
Montrer que D_g = D_h, puis déterminer une primitive G de g sur D_g.
6. Utiliser la primitive de g obtenue lors du calcul de la question précédente pour calculer simplement, pour tout réel positif X :
∫_0^X g(− t)dt
  1. Déterminer :
lim_(X → + ∞)∫_0^X(g(t) + g(− t))dt
  1. Calculer, pour tout réel t ≥ 0 :
h(t) + h(− t) + g(t) + g(− t)
  1. (a) Que vaut :
∫_0^(+ ∞)(t^2)/(t^4 + 1)dt
(b) Déduire des questions précédentes et du Préambule la valeur de
∫_0^(+ ∞)(dt)/(t^4 + 1)
  1. Calculer ∫_0^(1/(√2))(t^2)/(t^4 + 1)dt. On donnera la réponse en fonction de Arctan2 et ln(5).

Partie II

  1. Dans cette question, C et S désignent deux fonctions à valeurs réelles, paires, définies sur un intervalle de la forme ] − R, R[, où R est soit un réel strictement positif, soit + ∞.
On considère les équations différentielles suivantes :
∀x ∈ ] − R, R[ : C^′(x) = − 2xS(x) (E_1)
et
∀x ∈ ] − R, R[ : S^′(x) = 2xC(x)
avec les conditions initiales
C(0) = 1 et S(0) = 0
Le but de cette question est de déterminer les expressions des fonctions C et S, en recherchant leur développement en série entière sur ] − R, R[.
(a) Pour tout réel x de ] − R, R[, on pose:
C(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n x^n et S(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)b_n x^n
Montrer que, pour tout entier naturel non nul n :
(n + 1)a_(n + 1) = − 2b_(n − 1) et (n + 1)b_(n + 1) = 2a_(n − 1)
(b) En déduire, pour tout entier naturel n ≥ 4 :
a_n = − 4/(n(n − 2))a_(n − 4)
(c) On rappelle que les fonctions C et S sont supposées paires. Que peut-on en déduire pour les coefficients de leurs développement en série entière respectifs?
(d) i. Montrer que tout entier naturel n peut s'écrire sous l'une des formes suivantes
n = 4p ou n = 4p + 1 ou n = 4p + 2 ou n = 4p + 3
où p est dans ℕ.
ii. Montrer que, pour tout entier naturel n qui n'est pas multiple de 4 :
a_n = 0
(e) Montrer que, pour tout entier naturel p :
a_(4p) = ((− 1)^p)/((2p)!)
(f) Déterminer le rayon de convergence R de la série entière ∑a_n x^n et donner, pour tout réel x de ] − R, R[, une expression simplifiée de C(x), puis de S(x).
2. On considère la série entière ∑_(n = 0)^(+ ∞)(− 1)^n x^(4n).
(a) Préciser le rayon de convergence R^′ de cette série entière, puis, pour tout réel x de ] − R^′, R^′[, exprimer la somme D(x) de la série ∑_(n = 0)^(+ ∞)(− 1)^n x^(4n) en fonction de x.
(b) Montrer que ∫_0^(1/(√2))(dx)/(1 + x^4) peut s'exprimer comme la somme d'une série numérique, que l'on explicitera.
(c) Que vaut :
1/(√2)∑_(n = 0)^(+ ∞)((− 1)^n)/(4^n(4n + 1))?

Partie III

Pour tout réel X > 0, on pose :
I(X) = ∫_1^X cos(t^2)dt, J(X) = ∫_1^X sin(t^2)dt
  1. Montrer la convergence de l'intégrale ∫_0^(+ ∞)e^(− t^2)dt.
On donne, pour la suite du problème :
∫_0^(+ ∞)e^(− t^2)dt = (√π)/2
  1. Etudier la convergence des intégrales
∫_1^(+ ∞)(sin(t^2))/(t^2)dt et ∫_1^(+ ∞)(cos(t^2))/(t^2)dt
  1. A l'aide d'une intégration par parties, montrer que les limites
lim_(X → + ∞)I(X) et lim_(X → + ∞)J(X)
existent et sont finies.
4. Montrer la convergence de l'intégrale
∫_1^(+ ∞)e^(it^2)dt
  1. Donner le développement en série entière de la fonction
t ↦ e^(it^2)
  1. (a) Déterminer le domaine de définition D_f de la fonction f :
x ↦ f(x) = ∫_0^(+ ∞)(e^(− (t^2 + i)x^2))/(t^2 + i)dt
(b) Montrer que, pour tout réel strictement positif x :
∫_0^(+ ∞)e^(− t^2 x^2)dt = (√π)/(2x)
(c) Déduire de la question précédente la valeur de :
lim_(x → + ∞)f(x)
(d) Etudier la dérivabilité sur ℝ_+^⋆ de la fonction f introduite à la question 6. (a) (pour cela, on se placera sur un intervalle de la forme [ε, a], où ε et a sont deux réels strictement positifs tels que ε ≤ a ).
(e) Montrer que, pour tout réel strictement positif x :
f^′(x) = − √πe^(− ix^2)
(f) En déduire, à l'aide des résultats de la Partie I, la valeur de
∫_0^(+ ∞)e^(− ix^2)dx
puis de
∫_0^(+ ∞)C(x)dx et ∫_0^(+ ∞)S(x)dx
où S et C sont les fonctions introduites au début de la Partie II.
Dans ce problème, on calcule, à l'aide d'intégrales généralisées, la valeur de l'intégrale (complexe) ∫_0^(+ ∞)e^(− ix^2)dx, connue comme l'expression complexe des intégrales (réelles) de Fresnel, qui interviennent dans les phénomènes de diffraction. La somme pour toutes les valeurs de x peut s'interpréter intuitivement (et de façon très simplifiée) comme le fait qu'à chaque fois qu'une onde lumineuse se propage, une infinité de rayons sont à prendre en compte - et on somme les effets de cette infinité de rayons, en lien avec le principe de superposition de Huygens-Fresnel, en physique.
Fin de l'énoncé

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques C banque PT 2025 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques C banque PT 2025 ?

Le sujet porte sur les intégrales généralisées, les séries entières et leur développement, ainsi que l'intégration terme à terme, pour aboutir au calcul des intégrales de Fresnel.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths C PT 2025 ?

Le jury relève surtout des justifications vagues sur les comparaisons de convergence, un théorème de changement de variable mal énoncé, des confusions entre séries entières et développements limités, et des récurrences mal initialisées.

Ce sujet de mathématiques C PT 2025 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme globalement bien réussi, meilleur que l'année précédente, mais avec un écart important entre les meilleures copies et de nombreuses copies sans réponse correcte, même sur des questions simples.

Le sujet de maths C banque PT 2025 est-il accessible en début d'année ?

Le rapport ne précise pas de niveau de programme pour les différentes parties, cette information n'est donc pas disponible dans les sources.

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