Banque PT Mathématiques C PT 2026Sujet et rapport du jury

Epreuve de Mathématiques C

L'usage de calculatrices est interdit.
À rendre avec la copie 1 feuille de papier millimétré

AVERTISSEMENT

• -Composer lisiblement sur les copies avec un stylo à bille à encre foncée : bleue ou noire.
• -L'usage de stylo à friction, stylo plume, stylo feutre, liquide de correction et dérouleur de ruban correcteur est strictement interdit. Les surveillants et surveillantes se réservent le droit de les confisquer.
• -Remplir sur chaque copie en MAJUSCULES toutes vos informations d'identification : nom, prénom, numéro inscription, date de naissance, le libellé du concours, le libellé de l'épreuve et la session.
• -Une feuille, dont l'entête n'a pas été intégralement renseigné, ne sera pas prise en compte.
• -Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance. La présence d'une information d'identification en dehors du cartouche donnera lieu à un point de pénalité et la page concernée pourra être soustraite de la correction.

Préambule

• 1.Soient f et g les fonctions qui, à tout réel t ≠ t_0, associent respectivement :
  f(t) = t/(t_0 − t) et g(t) = (t_0)/(t_0 − t)
  Donner le domaine de dérivabilité de f et g et montrer que, pour tout réel t de ce domaine, les dérivées de f et g coïncident. Il est demandé d'expliciter ces dérivées.
• 2.Donner le tableau de variations de f sur ] − ∞, t_0[ et sur ]t_0, + ∞[, en précisant les limites aux bornes.
• 3.Donner une équation de la tangente T à la courbe représentative de f en 0 .
• 4.Tracer, sur la feuille de papier millimétrée fournie, la tangente T et l'allure du graphe de f sur ] − ∞, t_0 [ et sur ]t_0, + ∞ [, pour la valeur t_0 = 1, à l'échelle : une unité pour un cm.
• 5.Soit n un entier naturel non nul. Montrer que la fonction f est n fois dérivable sur ] − ∞, t_0 [ et sur ]t_0, + ∞[, et donner, à l'aide d'une démonstration par récurrence, l'expression de sa dérivée n^(ième), f^((n)), sur ] − ∞, t_0[ et sur ]t_0, + ∞[.
• 6.Déterminer une primitive G de g sur ] − ∞, t_0[ et sur ]t_0, + ∞[, puis une primitive F de f sur ] − ∞, t_0[ et sur ]t_0, + ∞[.
• 7.Soit n ∈ ℕ^⋆, I un intervalle de ℝ, et x_0 ∈ I. Enoncer la formule de Taylor-Young à l'ordre n au voisinage de x_0 pour une fonction ψ définie sur I (on précisera dans la réponse les conditions de régularité vérifiées par ψ ).
• 8.Donner, pour n ∈ ℕ^⋆, le développement limité à l'ordre n au voisinage de 0 de la fonction t ↦ 1/(1 − t), dont on aura, au préalable, rappelé le domaine de définition. Il est demandé de détailler la réponse.
• 9.En déduire, pour n ∈ ℕ^⋆, le développement limité à l'ordre n au voisinage de 0 de la fonction t ↦ ln(1 − t), dont on aura aussi, au préalable, rappelé le domaine de définition.

Partie I

• 1.Déterminer, sur ℝ_+^⋆ une primitive H de la fonction h telle que, pour tout réel strictement positif t :
  h(t) = 1/(t + t^2)
• 2.Pour tout entier naturel n ≥ 2, étudier la convergence de l'intégrale ∫_n^(+ ∞)(dt)/(t + t^2), puis la calculer.
• 3.Pour tout entier naturel n ≥ 2, on pose :
  u_n = − n∫_0^π(sin(nt)dt)/(n + cos(nt)) + ∫_n^(+ ∞)(dt)/(t + t^2)
  Montrer que, pour tout entier naturel n ≥ 2, u_n = ln(1 + ((− 1)^n)/n).
• 4.Déterminer la limite de la suite (u_n)_(n ≥ 2).
• 5.Soient ∑a_n et ∑b_n deux séries convergentes, et λ un réel. Montrer que ∑(a_n + λb_n) est une série convergente.
• 6.Etudier la convergence et la convergence absolue de la série ∑_(n ≥ 2)u_n (où, pour tout entier naturel n ≥ 2, u_n a été introduit à la question 3.).
  Indication : on pourra poser, lorsque l'entier n tend vers l'infini : h = 1/n, et utiliser un développement limité en h.
• 7.Pour tout entier naturel N ≥ 2, on pose :
  S_N = ∑_(k = 2)^N u_k
  • (a)Montrer que, pour tout entier naturel N ≥ 1 :

• • (b)Pour tout entier naturel n ≥ 1, comparer u_(2n + 1) et u_(2n).
  • (c)En déduire, pour tout entier naturel N ≥ 2, S_(2N − 1).
  • (d)Calculer :
    ∑_(n = 2)^(+ ∞)u_n

Partie II

• 1.Dans cette question, on fixe l'entier naturel non nul n. Etudier, pour tout réel x > 1, la convergence de l'intégrale G_n(x).
• 2.Soit a > 1. L'entier naturel non nul n est à nouveau fixé. Montrer que la fonction x ↦ G_n(x) est continue sur [a, + ∞[.
• 3.Soit a > 1. L'entier naturel non nul n est à nouveau fixé.
  Montrer que la fonction x ↦ G_n(x) est dérivable sur [a, + ∞[, puis exprimer, pour tout x ≥ a, G_n^′(x) sous la forme d'une intégrale.
• 4.Montrer que, pour tout entier naturel non nul n et tout réel x > 1 :
  G_(n + 1)(x) = 1/(lnx)(n/(n + 1))^(n + 1)G_n(x)
  (On pourra commencer par utiliser le changement de variable u = ((n + 1)t)/n.)
• 5.Soit x > 1. Que vaut G_1(x) ?
• 6.Exprimer, pour tout réel x > 1 et tout entier naturel non nul n, G_n(x) en fonction de n. On pensera à faire intervenir des produits successifs (aussi appelés en cascade). Une preuve faisant intervenir explicitement une récurrence est attendue.
• 7.Donner une condition nécessaire et suffisante de convergence de la série ∑_(n ≥ 1)(n^n G_n(x))/((n − 1)!), puis, lorsque cette condition est vérifiée, calculer sa somme S(x).
• 8.Soit N ≥ 2. On pose :
  Π_N = e∏_(k = 2)^(2N)(1 + ((− 1)^k)/k)
  Calculer :
  lim_(N → + ∞)G_n(Π_N)

Partie III

• 1.Exprimer, pour tout couple (x, y) de réels distincts, la hessienne de la fonction φ.
• 2.Montrer que la fonction φ admet un point critique en (x_0, y_0) ∈ ℝ^2 si et seulement si
  x_0 = − y_0 = 1/(2(x_0 − y_0))
• 3.Quelles sont les valeurs possibles des réels x_0 et y_0 introduits à la question 2 ?
• 4.Montrer que, pour les valeurs possibles de x_0 et y_0 obtenues à la question précédente, la fonction φ admet un minimum local en (x_0, y_0).
• 5.En déduire, pour tout entier naturel N ≥ 2 :
  ∑_(n = 2)^N|ln(1 + ((− 1)^n)/n)| = O(N)
  En déduire que la minoration de la fonction φ obtenue à la question 4. n'est pas suffisante pour étudier la convergence de la série de terme général |ln(1 + ((− 1)^n)/n)|.