Banque PT Mathématiques C PT 2023Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

La constante d'Euler : décomposition en éléments simples, séries entières et fonction partie entière

L'épreuve de mathématiques C de la Banque PT 2023 a pour fil directeur la constante d'Euler. Après un préambule consacré à la décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle, la première partie fait intervenir des développements en série entière, une étude de série numérique et des manipulations de sommes partielles. La seconde partie, plus difficile, fait notamment appel à la fonction partie entière pour construire une expression de la constante d'Euler.

1Préambule : décomposition en éléments simplesDécomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle de degré strictement inférieur à trois, à l'aide d'une limite de taux d'accroissement.
2Partie I : séries entières et séries numériquesÉtude du domaine de définition et de la dérivabilité d'une fonction, développements en série entière de fonctions usuelles, étude d'une série numérique liée à ces développements.
3Partie II : la fonction partie entière et la constante d'EulerManipulation de sommes partielles et d'intégrales faisant intervenir la fonction partie entière, pour aboutir à une expression de la constante d'Euler.

Difficulté moyenne. Le rapport indique que l'épreuve a été globalement bien réussie, avec des copies ayant obtenu la note maximale, mais qualifie la seconde partie, sur la fonction partie entière, de plus difficile.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Domaine de définition mal construit · Dérivabilité affirmée sans justification suffisante · Critère de d'Alembert appliqué sans justification

L'épreuve a été globalement bien réussie. Certaines très bonnes copies ont traité l'intégralité du sujet et obtenu la note maximale, mais il subsiste, comme chaque année, de très faibles copies où même l'étude du signe d'une expression simple pose problème. Le jury alerte sur la présentation et l'écriture d'un nombre croissant de copies, ainsi que sur le respect de l'ordre des questions.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Domaine de définition mal construit
Certains candidats confondent réunion et intersection d'intervalles pour donner le domaine de définition, ce qui conduit parfois à un ensemble vide ou à des notations non standard.
2
Dérivabilité affirmée sans justification suffisante
La formule toute faite selon laquelle une fonction est dérivable par composition de fonctions dérivables revient très souvent sans précision du domaine ni du théorème utilisé, et la continuité est parfois confondue avec la dérivabilité.
3
Critère de d'Alembert appliqué sans justification
Pour déterminer un rayon de convergence, de nombreux candidats appliquent le critère de d'Alembert en se contentant d'écrire le résultat final sans détailler le calcul de la limite du quotient.
4
Développements en série entière mal transcrits
Les développements usuels sont souvent connus mais mal recopiés : bornes de sommation manquantes ou erronées, expressions non simplifiées, et confusion entre rayon et intervalle de convergence.
5
Récurrence utilisée alors qu'un télescopage suffisait
Pour établir une relation de sommation dans la partie II, de nombreux candidats choisissent une démonstration par récurrence plus longue, alors qu'un télescopage direct à partir de la relation entre deux termes consécutifs suffisait.
6
Confusion entre les notations de Landau grand O et petit o
Dans la construction de la constante d'Euler, plusieurs candidats confondent les notations grand O et petit o, ou cherchent une limite qui n'existe pas pour justifier une majoration.

Ce qui a été bien réussi

L'épreuve a été globalement bien réussie, avec plusieurs copies traitant l'intégralité du sujet.
La majorité des candidats a correctement calculé la dérivée demandée dans la partie I.
Le développement en série entière de la fonction logarithme est connu de la plupart des candidats, même si sa transcription reste parfois imprécise.

Conseils du jury

Soigner la présentation et la lisibilité de la copie, en évitant les ratures et les couleurs trop claires pour les annotations.
Respecter l'ordre des questions et indiquer clairement la partie traitée pour faciliter la correction.
Aligner les signes égal les uns sous les autres plutôt que de les disposer en zigzag sur la copie.
Ne jamais accoler deux symboles d'opération à la suite dans une expression mathématique.
Justifier tout changement d'indice de sommation, qui n'est pas un changement de variable.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

Epreuve de Mathématiques C

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

À rendre avec la copie 2 feuilles de papier millimétré.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

CONSIGNES:

Composer lisiblement sur les copies avec un stylo à bille à encre foncée : bleue ou noire.
L'usage de stylo à friction, stylo plume, stylo feutre, liquide de correction et dérouleur de ruban correcteur est interdit.
Remplir sur chaque copie en MAJUSCULES toutes vos informations d'identification : nom, prénom, numéro inscription, date de naissance, le libellé du concours, le libellé de l'épreuve et la session.
Une feuille, dont l'entête n'a pas été intégralement renseigné, ne sera pas prise en compte.
Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance

Préambule

Dans ce qui suit, on désigne par

x_1, x_2

x_3

trois réels distincts, et par

P

une fonction polynomiale de degré strictement plus petit que trois, qui ne s'annule pas en

x_1, x_2

x_3

. Soit

Q

la fonction polynomiale définie, pour tout réel

x

, par :

Q(x) = (x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)

On pose, pour tout réel

x

ℝ∖{x_1, x_2, x_3}

g(x) = (P(x))/(Q(x))

On admet qu'il existe trois réels

a_1, a_2, a_3

tels que, pour tout réel

x

ℝ∖{x_1, x_2, x_3}

g(x) = (a_1)/(x - x_1) + (a_2)/(x - x_2) + (a_3)/(x - x_3)

En calculant, de deux façons différentes :

lim_(x \to x_1)(x - x_1)g(x)

établir que :

a_1 = (P(x_1))/(Q^'(x_1))

Donner les expressions analogues pour

a_2

a_3

(en les justifiant brièvement).
2. On suppose désormais que, pour tout réel

x

P(x) = 1

avec l'hypothèse suivante :

x_1 = 0, x_2 = - 1, x_3 = - 1/2

Donner les valeurs explicites de

a_1, a_2

a_3

Partie I

On considère la fonction

F

qui, à tout réel

x

de son domaine de définition

D_F

, associe :

F(x) = ln((x(x + 1))/((2x + 1)^2))

Déterminer $D_F$ . Ce résultat sera nécessairement justifié à l'aide d'un tableau de signes.
Justifier que $F$ est dérivable sur $D_F$ . On désigne par $f$ sa dérivée.
Montrer que, pour tout réel $x$ de $D_F$ :

f(x) = 1/(x(x + 1)(2x + 1))

On s'intéresse, dans ce qui suit, à la série entière $\sumf(n)x^(2n + 1)$ .
(a) Déterminer son rayon de convergence $R$ .
(b) Rappeler le développement en série entière de la fonction $x \mapsto ln(1 - x)$ , ainsi que son rayon de convergence.
(c) $i$ . Donner le développement en série entière de la fonction $x \mapsto 1/(1 - x^2)$ , en précisant le rayon de convergence.
ii. Vérifier que, pour tout réel $x ∈ ℝ∖{ − 1, 1}, 1/(1 − x^2)$ peut s'exprimer comme une combinaison linéaire de $1/(1 - x)$ et $1/(1 + x)$ .
(d) Déduire de la question précédente, en justifiant le résultat à l'aide d'un théorème de cours, le développement en série entière de la fonction $x \mapsto 1/2ln(1 + x)/(1 - x)$ , en précisant le rayon de convergence, que l'on comparera à la valeur $R$ obtenue en $a$ .
(e) Montrer que, pour tout réel $x$ de $] - R, R[$ :

\sum_(n = 1)^(+ \infty)(x^(2n + 1))/n = - xln(1 - x^2)

(f) Pour tout réel

x

] - R, R[

, exprimer, à l'aide de fonctions usuelles :

\sum_(n = 1)^(+ \infty)(x^(2n + 1))/(n(n + 1)(2n + 1))

Indication : on pensera à utiliser les résultats du Préambule.
(g) Déterminer :

lim_(x \to 1)(\sum_(n = 1)^(+ \infty)(x^(2n + 1))/(n(n + 1)(2n + 1)))

On considère désormais la série de terme général $f(n)$ , pour $n \geq 1$ .
(a) Etudier la convergence de la série de terme général $f(n)$ , pour $n \geq 1$ .
(b) Pour tout entier naturel non nul $n$ , on pose:

H(n) = \sum_(k = 1)^n 1/k

Montrer que, pour tout entier naturel non nul

n

\sum_(k = 0)^n 1/(2k + 1) = H(2n + 1) - 1/2H(n)

n

\sum_(k = 1)^n f(k) = 3 + 4H(n) - 4H(2n + 1) + 1/(n + 1)

Partie II

Soit

h

une fonction de classe

C^1

sur

[1, + \infty[

, à valeurs positives, et

\suma_n

une série à termes strictement positifs.

Pour tout réel positif

x

, on désigne par

n_x = ⌊x⌋

la partie entière de

x

, et on pose :

A(x) = \sum_(k = 1)^(n_x)a_k

avec la convention

A(0) = 0

Tracer, sur deux graphes distincts, les courbes représentatives respectives de la fonction partie entière, et de la fonction qui, à tout réel $t \geq 1$ , associe $t - ⌊t⌋$ (échelle : 1 cm pour une unité).
Dans cette question uniquement, on désigne par $(u_n)_(n \in nℕ^⋆)$ une suite réelle. Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$ :

∑_(k = 1)^n A(k){u_(k + 1) − u_k} = ∑_(k = 1)^n{A(k − 1) − A(k)}u_k + A(n)u_(n + 1)

Vérifier que, pour tout réel $x \geq 1$ :

A(n_x) = A(x)

Montrer que, pour tout entier naturel non nul $k$ :

\int_k^(k + 1)A(t)h^'(t)dt = A(k)\int_k^(k + 1)h^'(t)dt

Montrer que, pour tout réel $x \geq 1$ :

∫_1^(n_x)A(t)h^′(t)dt = ∑_(k = 1)^(n_x − 1)A(k){h(k + 1) − h(k)}

Exprimer, pour tout entier naturel $k \geq 2, A(k) - A(k - 1)$ en fonction de $a_k$ .
(a) Montrer que :

∑_(k = 1)^(n_x − 1)A(k){h(k + 1) − h(k)} = ∑_(k = 2)^(n_x){A(k − 1) − A(k)}h(k) + A(n_x)h(n_x)

(b) A l'aide des questions précédentes, montrer que, pour tout réel

x \geq 1

\sum_(k = 1)^(n_x)a_k h(k) = A(x)h(x) - \int_1^x A(t)h^'(t)dt

On suppose désormais que, pour tout entier naturel non nul $n : a_n = 1$ .
(a) Montrer que, pour tout réel $t \geq 1, A(t)$ est égal à la partie entière de $t$ :

A(t) = n_t

(b) Montrer que, pour tout réel

x \geq 1

n_x h(n_x) - h(1) = \int_1^(n_x)h(t)dt + \int_1^(n_x)th^'(t)dt

x \geq 1

∑_(k = 1)^(n_x)h(k) = h(1) + ∫_1^(n_x){t − n_t}h^′(t)dt + ∫_1^(n_x)h(t)dt

Dans ce qui suit, on suppose désormais que $h$ est la fonction qui, à tout réel $t \geq 1$ , associe :

h(t) = 1/t

(a) i. Montrer que, lorsque

t

tend vers

+ \infty

(t - n_t)/(t^2) = O(1/(t^2))

ii. Montrer la convergence de l'intégrale :

∫_1^(+ ∞){t − n_t}(dt)/(t^2)

iii. Que vaut :

lim_(N → + ∞)∫_N^(+ ∞){t − n_t}(dt)/(t^2)?

(b) Montrer que, pour tout entier naturel

N \geq 2

∑_(k = 1)^N 1/k = 1 + ∫_1^N(dt)/t − ∫_1^N{t − n_t}(dt)/(t^2)

γ

telle que, lorsque l'entier

N

tend vers l'infini :

\sum_(k = 1)^N 1/k = lnN + γ + o(1)

A l'aide des résultats précédents, déterminer : $lim_(n → + ∞){4H(n) − 4H(2n + 1)}$ .
En déduire la valeur de $\sum_(n = 1)^(+ \infty)f(n)$ , où $f$ désigne la fonction introduite au début de la partie I, question 2.

La constante d'Euler, qui permet d'obtenir un équivalent des sommes partielles de la série harmonique, est très utile pour calculer explicitement des sommes de séries, comme cela est fait au cours de la première partie du problème. Elle peut s'exprimer en fonction d'une intégrale généralisée faisant intervenir la partie fractionnaire, comme cela est étudié au cours de la seconde partie.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques C Banque PT 2023 ?

Le sujet porte sur la décomposition en éléments simples, les développements en série entière et les séries numériques dans un premier temps, puis sur la fonction partie entière pour construire la constante d'Euler.

Quelles sont les erreurs les plus fréquentes sur ce sujet de maths C PT ?

Le jury relève des confusions sur le domaine de définition, des justifications de dérivabilité trop rapides, un critère de d'Alembert mal justifié et une confusion entre les notations de Landau grand O et petit o.

Ce sujet de mathématiques C Banque PT 2023 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme globalement bien réussi, avec des copies ayant obtenu la note maximale, mais qualifie la seconde partie sur la fonction partie entière de plus difficile.

Le sujet de maths C PT 2023 porte-t-il sur la constante d'Euler ?

Oui, la constante d'Euler sert de fil directeur à l'ensemble du sujet, de la décomposition en éléments simples du préambule jusqu'à sa construction dans la seconde partie.

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Commentaires• Banque PT Mathématiques C PT 2023

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