Matrices unipotentes et probabilités discrètes : deux exercices indépendants d'algèbre linéaire et de probabilités
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L'épreuve de mathématiques A de la Banque PT 2023 comporte deux exercices indépendants. Le premier porte sur les matrices unipotentes de taille 3, avec réduction, sous-espaces vectoriels, changement de base et calcul de puissances et de racine carrée d'une matrice. Le second porte sur des probabilités discrètes couvrant largement le programme des deux années : lois usuelles, séries entières probabilistes, inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev.
1Exercice 1 : Matrices unipotentespremière annéeÉtude d'une matrice semblable à une matrice unipotente, sous-espace vectoriel des matrices nilpotentes associées, puissances d'une matrice unipotente et racine carrée dans cet ensemble.
2Exercice 2 : Probabilités discrètesLoi géométrique, séries entières associées à une variable aléatoire, tirage de pièces dans un sac et système complet d'événements, inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev.
Difficulté moyenne. Le rapport indique que l'épreuve a été globalement bien traitée, avec des candidats obtenant la note maximale, mais relève des lacunes sur des notions élémentaires et un exercice de probabilités souvent délaissé.
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevées
Définition d'un sous-espace vectoriel non maîtrisée · Conditions suffisantes de diagonalisabilité inventées · Récurrences mal rédigées
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Le premier exercice, sur les matrices unipotentes, a été bien réussi par la majorité des candidats, malgré des lacunes sur des notions élémentaires comme la définition d'un sous-espace vectoriel. Le second exercice, sur les probabilités, a été réussi par la majorité des candidats qui l'ont abordé, mais un nombre important de candidats semble avoir fait l'impasse sur ce chapitre.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Définition d'un sous-espace vectoriel non maîtrisée
À la question sur le sous-espace des matrices nilpotentes associées, la base, la dimension et la justification du caractère libre de la famille génératrice sont souvent absentes.
« Moins d'un tiers des copies a eu la note maximale à cette question. »
2
Conditions suffisantes de diagonalisabilité inventées
De nombreux candidats pensent à tort qu'il faut un polynôme caractéristique scindé à racines simples ou une matrice symétrique pour conclure à la diagonalisabilité.
« De nombreux candidats pensent qu'il faut que le polynôme caractéristique soit scindé à racines simples ou que A soit symétrique pour que A soit diagonalisable. »
3
Récurrences mal rédigées
Comme chaque année, l'hérédité est souvent mal posée : la propriété est parfois supposée vraie pour tout indice au lieu d'un rang fixé.
« la propriété est supposée vraie pour tout n dans l'hérédité »
4
Impasse sur le chapitre des probabilités
Un grand nombre de candidats semble avoir délaissé les probabilités, avec des notions élémentaires comme la loi binomiale non maîtrisées.
« Environ 10% des copies ne traitent pas du tout cet exercice ou n'ont aucun point. »
5
Loi géométrique reconnue sans justification
La justification attendue pour identifier une loi géométrique est souvent réduite à une phrase toute faite qui ne précise ni le support, ni l'indépendance des expériences.
« c'est une épreuve de Bernoulli donc... c'est une loi géométrique »
6
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev non redémontrée
La loi des grands nombres au programme ne suffit pas à elle seule pour obtenir l'inégalité demandée, qu'il fallait reprouver à partir de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
« La loi des grands nombres au programme ne donne pas immédiatement l'inégalité demandée »
Ce qui a été bien réussi
Cette épreuve a globalement été bien traitée, certains candidats ayant correctement traité toutes les questions et obtenu la note maximale.
Le premier exercice a été bien réussi par la majorité des candidats.
Le deuxième exercice a été réussi par la majorité des candidats qui l'ont traité.
Conseils du jury
Rappeler que le programme des concours porte sur les deux années de classes préparatoires, y compris les notions élémentaires de première année.
Soigner la présentation des copies : encadrer les résultats, éviter les ratures et barrer clairement les calculs non aboutis.
Justifier systématiquement les calculs, en particulier lorsque le résultat demandé est déjà donné dans l'énoncé.
Utiliser des parenthèses sans ambiguïté dans les expressions et vérifier le signe des grandeurs manipulées.
Se relire pour éviter les fautes d'orthographe et d'expression, y compris sur des mots déjà correctement écrits dans le sujet.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
L'usage de calculatrices est interdit.
AVERTISSEMENT
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
CONSIGNES:
Composer lisiblement sur les copies avec un stylo à bille à encre foncée : bleue ou noire.
L'usage de stylo à friction, stylo plume, stylo feutre, liquide de correction et dérouleur de ruban correcteur est interdit.
Remplir sur chaque copie en MAJUSCULES toutes vos informations d'identification : nom, prénom, numéro inscription, date de naissance, le libellé du concours, le libellé de l'épreuve et la session.
Une feuille, dont l'entête n'a pas été intégralement renseigné, ne sera pas prise en compte.
Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance.
Le sujet est composé de 2 exercices indépendants.
Exercice 1 : Matrices unipotentes
On considère l'ensemble N des matrices de M_3(ℝ) de la forme N = (0, a, b; 0, 0, c; 0, 0, 0), où (a, b, c) ∈ ℝ^3. On considère également l'ensemble U des matrices dites unipotentes de M_3(ℝ) qui s'écrivent U = I + N, où N ∈ N et I est la matrice identité de M_3(ℝ).
Autrement dit U ∈ U s'il existe (a, b, c) ∈ ℝ^3 tel que U = (1, a, b; 0, 1, c; 0, 0, 1).
Etude d'une matrice semblable à une matrice unipotente.
On considère les matrices
A = (− 1, − 2, 4; 0, − 1, 2; − 2, − 2, 5) et B = (1, 2, 0; 0, 1, − 2; 0, 0, 1)
(a) Déterminer les valeurs propres de la matrice A.
(b) La matrice A est-elle diagonalisable ? On demande une réponse sans calcul.
(c) Déterminer les sous-espaces propres de A.
(d) Résoudre l'équation (A − I)X = (2; 2; 2) d'inconnue X = (x; y; z) ∈ M_(3, 1)(ℝ).
(e) On note f l'endomorphisme canoniquement associé à la matrice A. Déterminer trois vecteurs e_1, e_2 et e_3 de ℝ^3 tels que
On pourra utiliser la question précédente.
(f) En déduire une matrice P telle que A = PBP^(− 1).
2. Etude de N.
(a) Montrer que N est un sous-espace vectoriel de M_3(ℝ). En donner une base et sa dimension.
(b) Montrer que N est stable par produit, c'est-à-dire que pour tout (N, M) ∈ N^2, on a NM ∈ N.
(c) Calculer N^3 pour N ∈ N.
3. Etude de U.
(a) L'ensemble U est-il un sous-espace vectoriel de M_3(ℝ) ? On justifiera la réponse.
(b) Montrer que U est stable par produit.
(c) Montrer que U ⊂ GL_3(ℝ) où GL_3(ℝ) désigne l'ensemble des matrices inversibles de M_3(ℝ).
4. Soit U ∈ U et N ∈ N telles que U = I + N. Pour tout α ∈ ℝ, on définit la matrice U^((α)) par
U^((α)) = I + αN + (α(α − 1))/2N^2
On prendra garde au fait que U^((α)) est une notation : il ne s'agit pas d'une puissance. Nous allons montrer dans la suite que cette notation est cohérente avec celle connue pour les puissances.
(a) Calculer B^((α)) pour α ∈ ℝ où B est la matrice définie à la question 1 .
(b) Vérifier que pour tout α ∈ ℝ, U^((α)) ∈ U.
(c) Montrer que pour tout (α, β) ∈ ℝ^2, on a
U^((α))U^((β)) = U^((α + β)) et (U^((α)))^((β)) = U^((αβ))
(d) En déduire que U^((n)) = U^n, c'est-à-dire que pour tout n ∈ ℕ^∗, U^((n)) = U × … × U_()_(n fois)
(e) Retrouver que U^((n)) = U^n pour n ⩾ 2 en utilisant la formule du binôme de Newton. Qu'en est-il pour n = 0 et n = 1 ?
(f) Montrer que U^((− 1)) = U^(− 1).
5. (a) En utilisant les résultats de la question 4, expliciter une matrice C ∈ M_3(ℝ) telle que C^2 = B. Cette matrice est-elle unique?
(b) En déduire comment déterminer une matrice D ∈ M_3(ℝ) telle que D^2 = A (on ne calculera pas explicitement la matrice D ).
Exercice 2 : Probabilités
Cet exercice comporte trois parties. Les parties 2 et 3 sont indépendantes.
Un jeu consiste à lancer un ballon dans un panier. On suppose que la probabilité de réussir le panier est p ∈ ]0, 1[ et que les lancers sont indépendants. On note q = 1 − p.
Partie 1 : Etude du jeu de lancer
On note T le nombre de lancers nécessaires pour réussir un panier pour la première fois. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire T ?
On explicitera la loi sans démonstration.
On effectue une infinité de lancers. Calculer la probabilité de réussir au moins un panier.
L'organisateur du jeu ne connait pas la valeur de p et souhaite en connaître une valeur approchée. Pour cela il observe N ∈ ℕ^∗ lancers et note le nombre S_N de paniers réussis.
(a) Quelle est la loi de S_N ? On explicitera la loi en justifiant brièvement la réponse.
(b) Montrer que p(1 − p) ⩽ 1/4.
(c) Montrer que pour ε > 0, P(|(S_N)/N − p| ⩾ ε) ⩽ 1/(4Nε^2).
Partie 2 : Un deuxième jeu
Le joueur met une pièce de 1 euro dans un sac à chaque lancer du ballon. Une fois le panier réussi, l'organisateur organise un deuxième jeu :
L'organisateur enlève une pièce de 1 euro, qu'il garde pour lui, et la remplace par une pièce noire qui donne droit à M ⩾ 2 euros.
Le joueur tire une pièce du sac.
L'organisateur conserve les autres pièces du sac.
On rappelle que la variable T a été définie à la question 1 .
4. On suppose dans cette question que n ∈ ℕ^∗ et l'événement ( T = n ) est réalisé : il y a donc n pièces dans le sac : n − 1 pièces de 1 euro et la pièce noire.
On note G_n la variable aléatoire égale au gain, éventuellement négatif, de l'organisateur.
(a) Vérifier que G_n(Ω) = {n − M, n − 1}, puis donner la loi de G_n.
(b) Calculer l'espérance de G_n.
5. Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes et les exprimer à l'aide de fonctions usuelles : ∑_(n ⩾ 1)(x^(n − 1))/n et ∑_(n ⩾ 1)nx^(n − 1).
On pourra utiliser ces résultats dans les calculs des questions suivantes.
6. On note A l'événement "tirer la pièce noire".
(a) Exprimer pour n ∈ ℕ^∗ la valeur de P_((T = n))(A).
(b) En utilisant la formule des probabilité totales, dont on justifiera l'utilisation, montrer que
P(A) = p/qln(1/p)
On note G la variable aléatoire égale au gain, éventuellement négatif, de l'organisateur après ce deuxième jeu.
(a) Montrer que G(Ω) = {k ∈ ℤ, k ⩾ 1 − M}.
(b) Donner pour n ∈ ℕ^∗ et k ∈ G(Ω) la valeur de P_((T = n))(G = k).
On distinguera les cas k = n − 1, k = n − M et k ∉ {n − 1, n − M}.
(c) En déduire que la loi de G est donnée par : pour tout k ∈ G(Ω),
P(G = k) = {k/(k + 1)pq^k + 1/(k + M)pq^(k + M − 1), si k ⩾ 0; 1/(k + M)pq^(k + M − 1), sinon.
Calcul de l'espérance de G.
(a) Montrer que la série de terme général E(G_n)P(T = n) est convergente.
(b) On admet qu'alors G admet une espérance et
E(G) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)E(G_n)P(T = n)
Calculer E(G), que l'on exprimera en fonction de p et M uniquement.
9. Voici un extrait de la courbe représentative de la fonction ψ : p ↦ ((1 − p)/p)^2 1/(ln1/p).
On dira que le jeu est rentable pour l'organisateur lorsque son espérance de gain est positive. Dans les questions suivantes, on justifiera les résultats obtenus.
(a) Montrer que E(G) ⩾ 0 ⟺ ψ(p) ⩾ M − 1.
(b) L'organisateur sait que p = 0, 3. Quelles valeurs de M peut-il choisir pour que le jeu soit rentable?
(c) L'organisateur souhaite choisir M = 8 euros. Quelle valeur maximale de p doiton avoir pour que ce jeu reste rentable?
(d) Pour quelles valeurs de p le jeu ne peut pas être rentable?
Partie 3 : Une autre estimation du paramètre
La partie 1 donne un résultat permettant d'approcher la valeur de p par (S_N)/N. On prouve dans cette partie un résultat similaire en utilisant une méthode dite de grandes déviations.
On suppose que p ∈ ]0, 1/2[. Pour λ ⩾ 0, on pose
On admet que pour tout λ ⩾ 0, on a g(λ) ⩽ (λ^2)/2.
Soit N ∈ ℕ^∗. On considère des variables aléatoires X_1, …, X_N indépendantes et de même loi de Bernoulli B(p), et on pose S_N = X_1 + … + X_N et λ ⩾ 0.
10. (a) Montrer que
E(e^(λ(X_1 − p))) = e^(g(λ))
On justifiera bien le calcul.
(b) En déduire que
E(e^(λ(S_N − Np))) ⩽ e^(N/2λ^2)
(c) En utilisant l'inégalité de Markov, déduire des questions précédentes que pour ε > 0, et λ > 0,
P((S_N)/N − p ⩾ ε) ⩽ exp(− Nλε + N/2λ^2)
(d) En choisissant bien λ, en déduire que
P((S_N)/N − p ⩾ ε) ⩽ e^(− N/2ε^2)
On admet que l'on pourrait montrer de manière similaire que
P(|(S_N)/N − p| ⩾ ε) ⩽ e^(− N/2ε^2)
On souhaite évaluer l'erreur faite en prenant (S_N)/N comme valeur approchée de p. Expliquer en quoi la majoration ci-dessus est utile pour faire cette évaluation. A quelle condition sur ε et N la méthode de grandes déviations de la partie 3 est-elle plus intéressante que celle de la partie 1 ?
Un raisonnement, même incomplet, interprétant les résultats obtenus sera valorisé.
Questions fréquentes
4 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques A de la Banque PT 2023 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques A de la Banque PT 2023 ?
+
Le premier exercice porte sur la réduction et les sous-espaces vectoriels associés aux matrices unipotentes, le second sur les probabilités discrètes et les séries entières associées.
Quelles sont les erreurs les plus fréquentes sur ce sujet de maths A PT 2023 ?
+
Le jury relève surtout une définition de sous-espace vectoriel mal maîtrisée, des conditions de diagonalisabilité inventées, des récurrences mal rédigées et une impasse fréquente sur les probabilités.
Ce sujet de mathématiques A Banque PT 2023 est-il accessible ?
+
Le rapport indique que l'épreuve a été globalement bien traitée par la majorité des candidats, avec des copies ayant obtenu la note maximale, même si certaines notions élémentaires restent fragiles.
Le sujet de maths A PT 2023 comporte-t-il beaucoup de probabilités ?
+
Oui, le second exercice couvre largement le programme de probabilités des deux années, mais le rapport note qu'un nombre important de candidats l'a peu ou pas traité.
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