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Matrices vérifiant une relation polynomiale d'ordre 2 et lois géométriques
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Le problème d'algèbre linéaire étudie une matrice particulière de taille 3 diagonalisable, puis généralise ses propriétés à des matrices de la forme A = aI_n + U^tV vérifiant une relation A^2 = alpha A + beta I_n. L'exercice de probabilités indépendant étudie la loi géométrique, la somme et le maximum ou minimum de deux variables géométriques indépendantes.

  1. 1Partie I : étude d'une matrice 3x3 particulièreDiagonaliser une matrice A donnée, établir une relation entre A^2, A et l'identité, puis exprimer A^n à l'aide de deux suites récurrentes.
  2. 2Partie II : généralisation à des matrices vérifiant une relation polynomialeÉtudier une famille de matrices A^p = lambda^p U + mu^p V et montrer l'égalité des rangs de A et de ses puissances.
  3. 3Partie III : matrices de la forme A = aI_n + U^tVDéterminer les valeurs propres possibles de A, montrer sa diagonalisabilité par une décomposition en somme de sous-espaces propres, et retrouver le cas de la partie I comme exemple.
  4. 4Exercice de probabilitésÉtudier la loi géométrique, la loi de la somme de deux variables géométriques indépendantes et la loi du minimum et du maximum de deux telles variables.

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Epreuve de Mathématiques A

Durée 4 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Problème d'Algèbre linéaire

Pour tous entiers strictement positifs n, p, M_(n, p)(ℝ) désigne l'ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients réels. Pour tout entier n ≥ 1, on note M_n(ℝ) l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels. I_n désigne la matrice identité d'ordre n.
Pour une matrice A, ^t A désigne sa matrice transposée.

Partie I

Soit A la matrice de M_3(ℝ) définie par
A = (1, − 1, − 1; − 1, 1, − 1; − 1, − 1, 1)
  1. Montrer que la matrice A est diagonalisable.
  2. Déterminer les valeurs propres et les sous espaces propres de A.
  3. Déterminer une relation entre A^2, A et I_3.
En déduire une relation entre A^(n + 1), A^n et A^(n − 1) pour tout entier n ≥ 1.
4. Montrer par récurrence qu'il existe deux suites (u_n)_(n ∈ ℕ) et (v_n)_(n ∈ ℕ) telles que
∀n ∈ ℕ, A^n = (u_n, v_n, v_n; v_n, u_n, v_n; v_n, v_n, u_n)
qui vérifient la relation de récurrence
∀n ≥ 1{u_(n + 1) = u_n + 2u_(n − 1); v_(n + 1) = v_n + 2v_(n − 1)
  1. Déterminer, pour tout entier naturel n, l'expression de u_n et v_n en fonction de n.

Partie II

Dans toute cette partie, on se fixe un entier n ≥ 1. Soit A une matrice de M_n(ℝ). On suppose qu'il existe deux matrices U, V de M_n(ℝ) et deux réels λ et μ tels que λμ ≠ 0 et λ ≠ μ, vérifiant :
A, = λU + μV; A^2, = λ^2 U + μ^2 V; A^3, = λ^3 U + μ^3 V.
  1. Exprimer U et V en fonction de A et A^2.
En déduire que
A^3 = (λ + μ)A^2 − λμA
  1. Montrer que, pour tout entier p ≥ 1,
A^p = λ^p U + μ^p V
  1. Soit f l'endomorphisme de ℝ^n dont A est la matrice dans la base canonique. On note f^p = f ∘ ⋯ ∘ f la p^(ième) composée de f. Soit p ∈ ℕ^∗.
    (a) Montrer que Kerf ⊂ Kerf^p.
    (b) Montrer que pour tout x ∈ ℝ^n,
λμf^(p − 1)(x) = (λ + μ)f^p(x) − f^(p + 1)(x)
(c) En déduire que Kerf^p ⊂ Kerf.
(d) Montrer que rg(A) = rg(A^p).

Partie III

On se donne toujours un entier n ≥ 1 fixé.
Soit U et V les matrices colonnes : U = (u_1; ⋮; u_n) V = (v_1; ⋮; v_n).
On suppose U et V non nulles. Soit a un réel et A la matrice définie par
A = aI_n + U^t V
  1. Montrer que ^t VU est un réel que l'on exprimera en fonction des coefficients u_i et v_i.
  2. Montrer qu'il existe un réel k tel que (U^t V)^2 = k(U^t V).
En déduire qu'il existe deux réels α et β tels que A^2 = αA + βI_n.
3. On note A = (a_(ij))_(1 ≤ i, j ≤ n). Donner l'expression de a_(ij) en fonction de a et des coefficients de U et V.
En déduire que Tr(A) = na + ^t VU.
4. Exprimer α et β en fonction de a et Tr(A).
5. Soit λ une valeur propre de A. Montrer que λ^2 est une valeur propre de A^2.
En déduire que λ vérifie l'équation
λ^2 − αλ − β = 0
  1. Montrer que les seules valeurs propres possibles de A sont
λ_1 = a et λ_2 = Tr(A) − (n − 1)a.
  1. On suppose que Tr(U^t V) ≠ 0 et on considère les sous-espaces vectoriels E_1 et E_2 définis par
E_i = {X ∈ M_(n, 1)(ℝ), AX = λ_i X}.
(a) Montrer que E_1 ∩ E_2 = {0}.
(b) Montrer par analyse-synthèse que, pour tout vecteur colonne X, il existe X_1 ∈ E_1 et X_2 ∈ E_2 tels que X = X_1 + X_2.
(c) Montrer que la matrice A est diagonalisable.
8. Montrer que la matrice A de la première partie est de cette forme.

Exercice de Probabilités

On rappelle qu'une variable aléatoire X suit une loi géométrique de paramètre p ∈ ]0, 1[ si
∀n ∈ ℕ^⋆, ℙ(X = n) = p(1 − p)^(n − 1)
  1. Soit X une variable aléatoire de loi géométrique de paramètre p.
    (a) Calculer pour tout n ∈ ℕ, ℙ(X > n).
    (b) Soit (X_k)_(k ∈ ℕ^∗) une suite de variables aléatoires indépendantes, de même loi de Bernoulli de paramètre p. On note T le rang du 1er succès obtenu : T = inf{k ≥ 1, X_k = 1}. Montrer que T a même loi que X.
  2. Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes de même loi géométrique de paramètre p.
    (a) Calculer la fonction génératrice de X puis de X + Y.
    (b) En déduire que pour tout n ≥ 2, ℙ(X + Y = n) = p^2(n − 1)(1 − p)^(n − 2).
    (c) Déterminer, pour n ≥ 2, la loi de X sachant X + Y = n.
  3. On considère toujours X et Y deux variables aléatoires indépendantes de même loi géométrique de paramètre p. On pose T = max(X, Y) et Z = min(X, Y). On pose q = 1 − p.
    (a) Exprimer X + Y et |X − Y| en fonction de Z et T.
    (b) Montrer que ℙ(X = Y) = p/(1 + q).
    (c) Montrer que Z suit une loi géométrique de paramètre 1 − q^2. On pourra caractériser la loi de Z par sa fonction de répartition.
    (d) Déterminer la loi de T.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques A banque PT 2017 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques A banque PT 2017 ?

Le problème principal porte sur la réduction des endomorphismes et la diagonalisation de matrices, et l'exercice indépendant porte sur les variables aléatoires suivant une loi géométrique.

Quelles parties du sujet sont indépendantes ?

L'exercice de probabilités est indépendant du problème d'algèbre linéaire ; au sein du problème, la partie I sert de cas particulier retrouvé à la fin de la partie III.

Faut-il bien maîtriser la diagonalisation pour ce sujet ?

Oui, la diagonalisation d'une matrice et l'expression de ses puissances à l'aide de ses valeurs propres sont au coeur des trois parties du problème.

Que faut-il savoir sur la loi géométrique pour l'exercice de probabilités ?

Il faut connaître sa définition, savoir calculer P(X>n), utiliser les fonctions génératrices et manipuler le minimum et le maximum de deux variables géométriques indépendantes.

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