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Epreuve de Mathématiques A

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Problème d'algèbre linéaire

n et p étant deux entiers naturels non nuls, on désigne par ℳ_(n, p)(𝕂) l'ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans 𝕂(𝕂 = ℝ ou ℂ). Pour A ∈ ℳ_(n, p)(𝕂), on note A^T la transposée de la matrice A. L'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans 𝕂(𝕂 = ℝ ou ℂ) est noté ℳ_n(𝕂). Pour A ∈ ℳ_n(𝕂), on note Tr(A) sa trace. Une matrice A ∈ ℳ_n(𝕂) est dite antisymétrique si A^T = − A. On note 𝒜_n(𝕂) l'ensemble des matrices antisymétriques d'ordre n à coefficients dans 𝕂.

Partie I

On considère dans cette partie uniquement la matrice
A = (0, 0, 1; 0, 0, 0; − 1, 0, 0)
  1. Calculer A^2. En déduire que A^2 + I n'est pas inversible.
  2. Montrer que les valeurs propres complexes de A sont 0, i, et − i.
  3. La matrice A est-elle diagonalisable dans ℝ ? dans ℂ ?
  4. Montrer que A est semblable à la matrice B définie par
B = (0, 1, 0; − 1, 0, 0; 0, 0, 0)

Partie II

Dans cette partie, on munit ℝ^3 de sa structure euclidienne usuelle.
  1. Montrer que pour tout n ∈ ℕ^∗, 𝒜_n(ℝ) est un espace vectoriel sur ℝ.
  2. Montrer que toute matrice A ∈ 𝒜_3(ℝ) est de la forme
A = (0, − γ, β; γ, 0, − α; − β, α, 0)
avecα, β, γ ∈ ℝ.
3. En déduire une base de 𝒜_3(ℝ) et dim𝒜_3(ℝ).
4. Montrer que, pour tout A ∈ 𝒜_3(ℝ); det(A) = 0.
5. Montrer que, pour tout A ∈ 𝒜_3(ℝ), il existe un unique vecteur w ∈ ℝ^3 tel que A soit la matrice de l'application v ⟼ w ∧ v dans la base canonique de ℝ^3.
6. Soit r une rotation dans ℝ^3 d'angle différent de π (modulo 2π ) et soit R sa matrice dans la base canonique.
(a) Montrer que R − R^(− 1) ∈ 𝒜_3(ℝ).
(b) Soit w l'unique vecteur de ℝ^3 tel que R − R^(− 1) soit la matrice de l'application u : v ⟼ w ∧ v dans la base canonique. Montrer que w ≠ 0.
(c) Soit v ∈ ℝ^3 tel que r(v) = v. Montrer que u(v) = 0.
En déduire que l'axe de la rotation r est dirigé par w.
(d) On suppose que l'axe de la rotation r est orienté selon w et soit θ ∈ [0, 2π[ une mesure de l'angle de r. On pose e_3 = w/(‖w‖) et on considère une base orthonormée directe ( e_1, e_2, e_3 ).
i. Ecrire les matrices de r et de r^(− 1) dans cette base.
ii. Ecrire la matrice de u dans cette base.
iii. En déduire que sinθ > 0 puis que
θ = arccos((Tr(R) − 1)/2)
(e) Idendifier l'endomorphisme de ℝ^3 dont la matrice dans la base canonique est
R = 1/3(1, 1 − √3, 1 + √3; 1 + √3, 1, 1 − √3; 1 − √3, 1 + √3, 1)

Partie III

On se fixe dans cette partie un entier naturel n non nul et une matrice A ∈ 𝒜_n(ℝ). On note I la matrice identité de ℳ_n(ℝ).
  1. Montrer que pour toute matrice colonne X ∈ ℳ_(n, 1)(ℝ) et toute matrice carrée B d'ordre n, on a :
X^T BX = X^T B^T X
En déduire que X^T AX = 0.
2. Soit une matrice colonne X telle que (A + I)X = 0. En calculant X^T(A + I)X de deux manières différentes, montrer que X = 0.
3. En déduire que A + I est inversible.
4. Montrer que la matrice B = (I − A)(I + A)^(− 1) est orthogonale.
5. Calculer (I + B)(I + A). En déduire que I + B est inversible.
6. Réciproquement, soit B une matrice orthogonale telle I + B soit inversible. On considère la matrice C = (I + B)^(− 1)(I − B). Montrer que l'on a
C^T = I − B^(− 1) − C^T B^(− 1)
puis que la matrice C est antisymétrique.

Partie IV

On se fixe dans cette partie un entier naturel non n ul n et une matrice A ∈ 𝒜_n(ℝ) et on note f l'endomorphisme de ℝ^n canoniquement associé à A.
  1. Soit X une matrice colonne de ℳ_(n, 1)(ℝ) et Y = AX. On suppose que AY = 0. Montrer que Y^T Y = 0.
  2. Montrer que ℝ^n = Imf ⊕ Kerf.
  3. En déduire que A est semblable à une matrice bloc de la forme
B = (C, 0; 0, 0)
où C est une matrice inversible.
4. Soit λ une valeur propre complexe de A associée au vecteur propre X.
Si X = (x_1; ⋮; x_n), on note X¯ = (x¯_1; ⋮; x¯_n) le vecteur composé des nombres complexes conjugués des coordonnées du vecteur X.
En calculant de deux façons différentes X¯^T AX, montrer que λ est imaginaire pur.
5. Soit λ un nombre complexe non nul. Montrer que λ est valeur propre de A si et seulement si λ est valeur propre de C.
6. En déduire que C est d'ordre pair.

Exercice de Probabilités

Soit X et Y des variables aléatoires à valeurs dans ℕ telles que
∀(k, ℓ) ∈ ℕ^2, ℙ(X = k, Y = ℓ) = α/(2^(k + ℓ))
où α est une constante réelle.
  1. Déterminer la valeur de α.
  2. Les variables X et Y sont-elles indépendantes?
  3. Justifier que, pour tout x ∈ ] − 1, 1[, nous avons
∑_(k = 1)^(+ ∞)kx^(k − 1) = 1/((1 − x)^2), ∑_(k = 2)^(+ ∞)k(k − 1)x^(k − 2) = 2/((1 − x)^3).
  1. Calculer 𝔼[X], Var(X), Cov(X, Y).
  2. Calculer pour tout n ∈ ℕ, ℙ(X ≥ n).
  3. On pose Z = min(X, Y). Déterminer la loi de Z.
  4. Calculer les probablités suivantes:
ℙ(X = Y), ℙ(X < Y), ℙ(X = rY)
où r est un nombre rationnel positif fixé.
8. On pose T = X − Y. Déterminer la loi du couple ( Z, T ) en précisant dans un premier temps les valeurs possibles prises par ce couple.
Les variables Z et T sont-elles indépendantes?
9. Calculer la loi conditionnelle de Z sachant X = k.

FIN DE L'ÉPREUVE

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