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Epreuve de Mathématiques A

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Problème d'algèbre linéaire

Dans tout le problème, l'espace ℝ^n est muni de son produit scalaire usuel. Si F est un sous-espace vectoriel de ℝ^n, on note F^⊥ l'orthogonal de F pour ce produit scalaire.
Si E est un espace vectoriel de dimension n, on appelle hyperplan un sous-espace vectoriel de E de dimension n − 1.

Partie I

Soit A la matrice définie par
A = 1/9(− 8, 4, 1; 4, 7, 4; 1, 4, − 8)
  1. Montrer que la matrice A est orthogonale.
  2. (a) Justifier que A est diagonalisable. Que dire de plus de ses espaces propres?
    (b) Rappeler quelles sont les valeurs propres réelles possibles d'une matrice orthogonale.
    (c) A l'aide des questions précédentes, déterminer les valeurs propres et les sousespaces propres de A.
  3. Caractériser l'endomorphisme f de ℝ^3 dont la matrice dans la base canonique est A.

Partie II

Soit E = ℝ^n et soit u un endomorphisme de E tel que u ∘ u = Id. Nous notons E_u^+ = Ker(u − Id) et E_u^− = Ker(u + Id).
  1. Montrer que u est inversible et préciser son inverse.
  2. Pour tout x ∈ E, on pose
x_+ = (x + u(x))/2 et x_− = (x − u(x))/2.
Montrer que x_+ ∈ E_u^+et x_− ∈ E_u^−.
3. En déduire que E = E_u^+ ⊕ E_u^−.
4. Montrer que u est diagonalisable.
5. Montrer que u est une isométrie si et seulement si E_u^+ ⊥ E_u^−.

Partie III

Soit F le sous-ensemble de ℝ^4 défini par
F = {(x, y, z, t) ∈ ℝ^4, x − y − z + t = 0, 2x − z − t = 0}
  1. Vérifier que F est un sous-espace vectoriel de ℝ^4.
  2. Vérifier que u~_1 = (1, 1, 1, 1) ∈ F.
Déterminer une base orthonormale (u_1, u_2) de F où u_1 est un vecteur colinéaire à u~_1.
3. Vérifier que u~_3 = (1, − 1, − 1, 1) ∈ F^⊥.
Compléter la base précédente en une base orthonormale ( u_1, u_2, u_3, u_4 ) de ℝ^4 en choisissant u_3 colinéaire à u~_3.
4. On note s la symétrie orthogonale par rapport à F. Ecrire la matrice de s dans la base canonique.
5. On appelle réflexion une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan.
Ecrire la symétrie s comme composée de deux réflexions (on pourra se placer dans une base adaptée à s ).

Partie IV

Soit E = ℝ^n. Soit f une isométrie de E. On note F_f l'ensemble des points fixes de f soit F_f = {x ∈ E, f(x) = x} et
p_f = n − dimF_f
On veut montrer par récurrence sur p_f que l'on peut trouver ℓ réflexions r_1, r_2, …, r_ℓ avec ℓ ≤ p_f telles que
f = r_1 ∘ r_2⋯ ∘ r_ℓ
  1. Montrer que le résultat est vrai pour p_f = 1.
  2. Soit k un entier fixé tel que 2 ≤ k ≤ n et supposons le résultat vrai si p_f < k. Soit g une isométrie telle que p_g = k.
    (a) Montrer que F_g^⊥ ≠ {0}.
    (b) Soit x_0 ∈ F_g^⊥, x_0 ≠ 0 et y_0 = g(x_0). Montrer que y_0 ≠ x_0 et y_0 ∈ F_g^⊥.
    (c) Soit r la réflexion par rapport à Vect(x_0 − y_0)^⊥.
Montrer que F_g ⊂ Vect(x_0 − y_0)^⊥. En déduire que F_g ⊂ F_r puis que F_g ⊂ F_(r ∘ g)
(d) Montrer que (x_0 − y_0) ⊥ (x_0 + y_0).
Calculer r(x_0 − y_0) et r(x_0 + y_0). En déduire que r(y_0) = x_0.
(e) Montrer que p_(r ∘ g) < p_g.
(f) En appliquant l'hypothèse de récurrence à r ∘ g, montrer que g peut s'écrire comme composition de ℓ réflexions avec ℓ ≤ k.

Probabilités

Un joueur joue au casino avec une fortune initiale de a ∈ ℕ euros. A chaque partie, il a une probabilité p ∈ ]0, 1[ de gagner 1 euro et une probabilité q = 1 − p de perdre 1 euro. Les parties sont supposées indépendantes entre elles.
Plus formellement, nous notons R_n le résultat de la n-ième partie et nous supposons que les variables aléatoires (R_n)_(n ≥ 1) sont indépendantes entre-elles et de même loi donnée par
∀n ≥ 1, ℙ(R_n = 1) = 1 − ℙ(R_n = − 1) = p
On note X_n la fortune du joueur après la n-ième partie. La suite de variables aléatoires (X_n)_(n ≥ 0) est donc définie par récurrence par
{X_0 = a; ∀n ≥ 0,, X_(n + 1) = X_n + R_(n + 1)
On suppose que le joueur peut s'endetter et qu'il continue donc de jouer même si X_n < 0.
  1. Calculer les lois de X_1 et de X_2. Ces variables sont-elles indépendantes?
  2. Montrer que, pour tout n ≥ 1, il existe une unique application φ_n : { − 1, 1}^n ⟶ ℤ^n telle que
(X_1, …, X_n) = φ_n(R_1, …, R_n).
Montrer que cette application φ_n est injective.
3. On note, pour tout entier k ≥ 1, N_k le nombre de parties nécessaires pour que le joueur atteigne la somme de a + k, soit
N_k = min{n ≥ 0, X_n = a + k}
avec la convention N_k = + ∞ si la somme a + k n'est jamais atteinte.
Ainsi, sur l'exemple suivant :
Numéro de la partie 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Résultat -1 1 1 1 -1 1 1 1 -1
Fortune a a − 1 a a + 1 a + 2 a + 1 a + 2 a + 3 a + 4 a + 3
on a N_1 = 3, N_2 = 4, N_3 = 7.
On note p_n = ℙ(N_1 = n).
(a) Que valent p_0 et p_1 ?
(b) Justifier que, pour tout k ≥ 1, il existe un sous-ensemble A_k de { − 1, 1}^k tel que nous ayons égalité des événements
{N_1 = k} = {(R_1, …, R_k) ∈ A_k}.
(c) Justifier que, pour tout n ≥ 1 et tout k ≥ 1,
ℙ((R_(n + 1), …, R_(n + k)) ∈ A_k) = p_k.
(d) Justifier, pour 1 ≤ k < n, l'égalité des événements
{N_1 = k, N_2 = n} = {(R_1, …, R_k) ∈ A_k, (R_(k + 1), …, R_n) ∈ A_(n − k))}.
(e) Soit n_2 ∈ ℕ.
i. Déduire de la question précédente que, pour tout n_1 < n_2,
ℙ(N_1 = n_1, N_2 = n_2) = p_(n_1)p_(n_2 − n_1).
ii. Donner la valeur de ℙ(N_1 = n_1, N_2 = n_2) si n_1 ≥ n_2 ainsi que la valeur de ℙ(N_1 = + ∞, N_2 = n_2).
4. Montrer que, pour tout n > 1, on a
p_n = qℙ(N_2 = n − 1)
(on pourra étudier ce qui se passe à la première partie), puis, en appliquant la formule des probabilités totales, que
p_n = q(p_1 p_(n − 2) + p_2 p_(n − 3) + ⋯p_(n − 2)p_1)
  1. On note G la fonction définie pour tout s ∈ [0, 1] par
G(s) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)p_n s^n
Déduire de la formule précédente que, pour tout s ∈ [0, 1],
G(s) − ps = qsG(s)^2
  1. Calculer G(0) puis en déduire une expression de G(s) pour tout s ∈ [0, 1].
  2. Calculer ∑_(n = 0)^(+ ∞)p_n (On pourra remarquer que 1 − 4pq = (1 − 2p)^2 ). De quel événement cette quantité est-elle la probabilité?

Fin de l'épreuve

Pas de description pour le moment