Banque PT Mathématiques A PT 2022Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Algèbre linéaire (diagonalisation d'une matrice symétrique, produits scalaires sur R3) et probabilités (lois usuelles, chaîne de Markov, fonctions génératrices) autour d'exemples de golf

Le sujet comporte trois parties, les deux dernières utilisant des résultats de la première. La première partie diagonalise une matrice symétrique réelle et calcule ses puissances. La deuxième étudie un second produit scalaire sur R3 construit à partir de cette matrice, et compare les orthogonaux d'un vecteur pour les deux produits scalaires. La troisième partie, intitulée "Jouons au golf", aborde des probabilités sur cinq situations liées au golf : lois usuelles, chaîne de Markov à trois états et calcul avec Python, puis étude d'une série entière.

1Partie I : diagonalisation d'une matrice symétriqueDiagonalisation d'une matrice symétrique réelle 3x3, détermination de ses puissances par récurrence.
2Partie II : un second produit scalaire sur R3Construction d'une forme bilinéaire symétrique à partir de la matrice A, comparaison des orthogonaux d'un vecteur pour deux produits scalaires distincts.
3Partie III : Jouons au golfProbabilités sur des tirages de clubs et de balles (lois géométrique, binomiale, de Poisson), chaîne de Markov à trois états modélisée avec la matrice A et un peu de Python, puis étude d'une série entière.

Difficulté moyenne. Le rapport indique que les parties I et III étaient très proches du cours, mais que la seconde partie, plus abstraite sur les produits scalaires, était plus difficile.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Matrice de passage non orthogonale · Notation ensembliste confondue avec une énumération · Confusion entre linéarité et distributivité

L'épreuve a parfaitement permis de classer les candidats selon le rapport. Les parties I et III, proches du cours et des exercices habituels, ont été mieux réussies que la partie II, jugée plus difficile. Le jury regrette par ailleurs une présentation des copies qui laisse souvent à désirer.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Matrice de passage non orthogonaleQ3
Pour former P avec les vecteurs propres, il faut les normer afin d'obtenir une matrice orthogonale ; cette normalisation est souvent oubliée.
« La matrice P n'est pas orthogonale dans deux copies sur trois. »
2
Notation ensembliste confondue avec une énumérationQ2
Écrire "les valeurs propres de A sont {1;2;4}" est incorrect : les accolades désignent un ensemble, pas une simple énumération de valeurs.
3
Confusion entre linéarité et distributivitéII.1.a
Pour démontrer la bilinéarité de la forme φ, les candidats privilégient la linéarité à gauche avec des confusions entre linéarité et distributivité, alors que la linéarité à droite était plus simple.
4
Base orthonormée pour le second produit scalaire non obtenueII.2.b
Peu de candidats pensent à normer les vecteurs propres avec la norme associée à φ pour obtenir une base orthonormée ; la question a été totalement ratée.
5
Lois de probabilité mal identifiéesIII.1.a, III.2.a
Les lois géométriques sont souvent données avec un paramètre imprécis et un univers image incomplet (oubli de la valeur 0).
6
Critère de d'Alembert mal appliquéIII.5.f
Dans l'étude de la série entière, le critère de d'Alembert est utilisé sans les valeurs absolues, et parfois sans même calculer la limite.

Ce qui a été bien réussi

La reconnaissance d'une matrice symétrique et la démonstration par récurrence de la formule des puissances de A sont globalement acquises.
La formule des probabilités totales est relativement bien connue des candidats.
70% des candidats donnent la bonne relation de récurrence Gn+1 = (1/4)AGn.

Conseils du jury

Respecter les notations de l'énoncé et définir toute notation supplémentaire sans ambiguïté.
Justifier tous les résultats, y compris ceux donnés par l'énoncé, en détaillant les calculs intermédiaires.
Vérifier la cohérence des résultats obtenus, par exemple en testant n=0 ou n=1, ou en contrôlant la symétrie attendue d'une matrice.
Soigner la présentation de la copie : les points de présentation existent et sont rarement tous obtenus.
Donner le nom complet d'une loi usuelle plutôt qu'une abréviation, et simplifier les fractions dans les paramètres.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

Epreuve de Mathématiques A

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

CONSIGNES:

Composer lisiblement sur les copies avec un stylo à bille à encre foncée : bleue ou noire.
L'usage de stylo à friction, stylo plume, stylo feutre, liquide de correction et dérouleur de ruban correcteur est interdit.
Remplir sur chaque copie en MAJUSCULES toutes vos informations d'identification : nom, prénom, numéro inscription, date de naissance, le libellé du concours, le libellé de l'épreuve et la session.
Une feuille, dont l'entête n'a pas été intégralement renseigné, ne sera pas prise en compte.
Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance.

Le sujet est composé de 3 parties.

Les parties 2 et 3 sont indépendantes entre elles.

Première Partie

On considère la matrice

A = (5/2, 1, 1/2; 1, 2, 1; 1/2, 1, 5/2)

Justifier que la matrice $A$ est diagonalisable.
Déterminer les valeurs propres de $A$ .
Déterminer une matrice diagonale $D$ et une matrice orthogonale $P$ telle que $A = PDP^(- 1)$ . Les coefficients de la diagonale de $D$ seront classés par ordre croissant et les coefficients de la première ligne de $P$ seront tous positifs.
Démontrer que pour tout entier naturel $n, A^n = PD^n P^(- 1)$ .
En déduire $A^n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$ .
Soient $A^', D^'$ et $P^'$ trois matrices de $M_n(ℝ)$ telles que $D^'$ est diagonale, $P^'$ est orthogonale et $A^' = P^' D^' P^(' - 1)$ .
La matrice $A^'$ est-elle symétrique?

Deuxième Partie.

Dans cette partie, on confond une matrice à une ligne et une colonne avec son unique coefficient.
Pour toute matrice

M

, on note

^t M

sa transposée.
L'espace vectoriel

ℝ^3

est muni de sa structure euclidienne usuelle et de sa base canonique

B = (i, j, k)

. On note

<, >

le produit scalaire usuel.
La matrice

A

est celle qui a été définie dans la première partie et on note

f

l'endomorphisme canoniquement associé à la matrice

A

.
Pour tous vecteurs

u

v

ℝ^3

, on note

φ(u, v) = ^t UAV

où

U

V

sont les matrices colonnes des coordonnées de

u

v

dans la base

B

Pour tout vecteur $u$ de $ℝ^3$ , dont la matrice colonne de ses coordonnées dans la base $B$ est $U$ , on considère la matrice colonne $U^' = ^t PU = (x^'; y^'; z^')$ où $P$ est la matrice déterminée dans la première partie.
(a) Démontrer que $φ$ est une forme bilinéaire symétrique.
(b) Soit $u$ un vecteur de $ℝ^3$ . Que représente $U^'$ pour le vecteur $u$ ? On sera le plus précis possible.
(c) Soit $u$ un vecteur de $ℝ^3$ . Exprimer $φ(u, u)$ en fonction de $D$ et $U^'$ puis de $x^', y^'$ et $z^'$ .
(d) En déduire que $φ$ est un produit scalaire sur $ℝ^3$ .
(a) Soient $u$ et $v$ deux vecteurs propres de $f$ associés à des valeurs propres distinctes. Démontrer que $u$ et $v$ sont orthogonaux pour le produit scalaire $φ$ .
(b) En déduire une base orthonormée de $ℝ^3$ pour le produit scalaire $φ$ .

Soit

u

un vecteur de

ℝ^3

. On note

F_u

son orthogonal pour le produit scalaire

<, >

F_u^'

celui pour le produit scalaire

φ

.
3. Justifier que si

u

est un vecteur propre de

f

alors

F_u = F_u^'

.
4. (a) Donner une base de

F_i

où

i

est le premier vecteur de la base canonique.
(b) Déterminer une base de

F_i^'

.
(c) A-t-on

F_i = F_i^'

? Déterminer une base de

F_i \cap F_i^'

.
5. (a) Soient

u

v

deux vecteurs de

ℝ^3

. Démontrer que si

v \in F_u^'

, alors

f(v) \in F_u

.
(b) Démontrer que pour tous vecteurs

v

w

ℝ^3, < f(v), w>=<v, f(w) >

.
6. Soit

u

un vecteur non nul de

ℝ^3

tel que

F_u = F_u^'

.
(a) Démontrer à l'aide de la question 5. que

f(F_u) = F_u

.
(b) En déduire que

f(u)

est orthogonal à

F_u

pour le produit scalaire

<, >

puis que

u

est un vecteur propre de

f

Troisième Partie : Jouons au golf.

Dans l'un de ses sacs de golf, Anna a rangé trois clubs de golf dont un putter.

Elle tire au hasard et sans remise un club de golf de son sac jusqu'à ce qu'elle obtienne son putter.
On note

X

la variable aléatoire égale au numéro du tirage où le putter a été tiré et pour

i

entier supérieur ou égal à 1 , on note

C_i

l'événement

≪

Le putter a été tiré lors du

i

-ème tirage

≫

.
(a) Déterminer et reconnaitre la loi de

X

.
(b) En déduire l'espérance et la variance de

X

.
2. Pour jouer, Anna a également à sa disposition un seau de balles de golf contenant 44 balles blanches et 4 balles jaunes.
Au début de chaque trou, Anna tire au hasard une balle dans le seau, note sa couleur, joue le trou puis la remet dans le seau.
Un parcours de golf comprend 18 trous.
Soit

J

la variable aléatoire égale au nombre de balles jaunes utilisées lors de deux parcours.
(a) Reconnaitre la loi de

J

. Une réponse argumentée est attendue.

Préciser

J(Ω)

l'ensemble des valeurs prises par

J

ainsi que la probabilité

P(J = k)

pour tout

k

J(Ω)

.
(b) En moyenne, avec combien de balles jaunes, Anna a-t-elle joué lors des deux parcours?
3. Soit

J^'

une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre

λ

.
(a) Pour quelle valeur de

λ

, les variables aléatoires

J

J^'

ont-elle la même espérance?
(b) Donner la valeur de

P(J^' = 9)

et celle de

P(J^' ⩾ 1)

sans signe

Σ

On admet que pour la valeur de

λ

précédente,

P(J^' = k)

est une valeur approchée de

P(J = k)

et on donne pour certaines valeurs de

k

, le tableau de la fonction de répartition

F

de la variable aléatoire

J^'

$k$	0	1	2	3	4	5	6
$F(k)$	0.0498	0.1991	0.4232	0.6472	0.8153	0.9161	0.9665
$k$	7	8	9	10	11	12	13
$F(k)$	0.9881	0.9962	0.9989	0.9997	0.9999	1	1

<< Anna a tiré au plus 3 balles jaunes >>
<< Anna a tiré 7 balles jaunes >>
<< Anna a tiré au moins 10 balles jaunes >>

Un autre joueur, Anthony, s'entraîne sur le premier trou du parcours.

Il réussit le par sur ce trou s'il rentre la balle dans le trou en exactement 4 coups. Il est au-dessous du par s'il rentre la balle dans le trou en 3 coups maximum et il est au-dessus du par dans les autres cas.
Anthony a constaté que : pour tout entier naturel

n

si lors du n-ème entraînement, il est au-dessous du par, alors lors de l'entraînement suivant, il reste au-dessous du par avec une probabilité de $5/8$ , il réussit le par avec une probabilité de $1/4$ et il est au-dessus du par avec la probabilité de $1/8$ .
si lors du $n$ -ème entraînement, il réussit le par, alors lors de l'entraînement suivant, il est au-dessous du par avec une probabilité de $1/4$ , il réussit le par avec une probabilité de $1/2$ et il est au-dessus du par avec la probabilité de $1/4$ .
si lors du $n$ -ème entraînement, il est au-dessus du par, alors lors de l'entraînement suivant, il est au-dessous du par avec la probabilité de $1/8$ , il réussit le par avec une probabilité de $1/4$ et il reste au-dessus du par avec une probabilité de $5/8$ . On note $A_n, B_n$ et $C_n$ les événements $≪$ Anthony est au-dessous du par lors du $n$ -ème l'entraînement $≫, ≪$ Anthony réussit le par lors du $n$ -ème l'entraînement >> et $≪$ Anthony est au-dessus du par lors du $n$ -ème l'entraînement $≫$ et $a_n, b_n$ et $c_n$ leur probabilité respective.
Lors du dernier échauffement, considéré comme l'entraînement numéro 0, Anthony réussit le par.
On a donc $a_0 = c_0 = 0$ et $b_0 = 1$ .
(a) Donner les valeurs de $a_1, b_1$ et $c_1$ .
(b) Donner les valeurs des probabilités conditionnelles : $P_(A_n)(A_(n + 1)), P_(B_n)(A_(n + 1))$ et $P_(C_n)(A_(n + 1))$ .
Chaque valeur devra être justifiée par une phrase, éventuellement extraite de l'énoncé.
(c) Etablir pour tout entier naturel $n$ que $a_(n + 1) = 5/8a_n + 1/4b_n + 1/8c_n$ .
(d) Exprimer de même $b_(n + 1)$ et $c_(n + 1)$ en fonction de $a_n, b_n$ et $c_n$ . Aucune justification n'est demandée.
Pour tout entier naturel $n$ , on pose $G_n = (a_n; b_n; c_n)$ .
(e) Donner une relation entre $G_(n + 1), G_n$ et la matrice $A$ de la première partie.
(f) Ecrire des commandes Python permettant de calculer et d'afficher la probabilité qu'Anthony réussisse le par lors du 20-ème entraînement.
On supposera, si nécessaire, le module numpy chargé par la commande :
from numpy import *
(g) Donner sans démonstration la relation entre $G_n, G_0, A$ et $n$ .
(h) En déduire les valeurs de $a_n, b_n$ et $c_n$ en fonction de $n$ .
(i) Que valent $lim_(n \to + \infty)a_n, lim_(n \to + \infty)b_n$ et $lim_(n \to + \infty)c_n$ ?

Interpréter le résultat.
5. Un autre jour, Anthony s'entraîne à sortir une balle du bunker (zone remplie de sable). La probabilité qu'il arrive à sortir la balle du premier coup est

p_1 = 1/2

. Puis à cause de la fatigue, la probabilité qu'il arrive à sortir la balle du bunker à la

n

-ème tentative (

n ⩾ 2

), sachant qu'il a échoué aux précédentes est

p_n = 1/(n + 1)

.
Pour tout entier naturel

k

non nul, on note

S_k

l'événement :

≪

la balle sort du bunker à la

k

-ème tentative

≫

et on considère la variable aléatoire

T

égale au numéro de la tentative où la balle sort du bunker et on convient que

T

prend la valeur 0 lorsque l'événement << la balle ne sort jamais du bunker >> est réalisé.
(a) Déterminer deux réels

a

b

tels que pour tout réel

x \in ℝ - {0; - 1}

1/(x(x + 1)) = a/x + b/(x + 1)

(b) Soit

n

un entier naturel non nul. Exprimer l'événement (

T = n

) à l'aide des événements

S_k

pour des valeurs de

k

bien choisies.
(c) En déduire

P(T = n)

pour tout

n ⩾ 2

Cette formule est-elle valable aussi pour

n = 1

?
(d) Chaque tentative pour sortir la balle du bunker prend 3 minutes. Quelle est la probabilité qu'Anthony arrive à sortir la balle du bunker en une heure ou moins?
(e) Calculer

P(T = 0)

.
(f) i. Ecrire la série génératrice

G_T

T

. Déterminer soigneusement son rayon de convergence.
ii. Exprimer

G_T

à l'aide des fonctions usuelles.
(g) La variable aléatoire

T

admet-elle une espérance?

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de mathématiques A Banque PT 2022 ?

Sur la diagonalisation d'une matrice symétrique réelle, l'étude d'un second produit scalaire sur R3, et des probabilités (lois usuelles, chaîne de Markov, fonctions génératrices) autour d'exemples de golf.

Quelle partie du sujet Banque PT maths A 2022 est la plus difficile ?

D'après le rapport, la deuxième partie sur les produits scalaires est plus difficile que les parties I et III, plus proches du cours.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en maths A Banque PT 2022 ?

Des matrices de passage non orthogonales, des confusions entre linéarité et distributivité, des lois de probabilité mal identifiées et une présentation des copies jugée insuffisante.

Le sujet de maths A Banque PT 2022 permet-il de bien se classer ?

Le rapport indique que l'épreuve a parfaitement permis de classer les candidats.

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