Banque PT Mathématiques A PT 2024Sujet et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile

Tirages de bonbons en probabilités et méthode des moindres carrés en algèbre bilinéaire

Le sujet comprend deux problèmes indépendants. Le premier, de probabilités, étudie en trois parties indépendantes différents protocoles de tirage de bonbons par deux enfants, à l'aide de variables aléatoires finies et discrètes, de lois usuelles et de fonctions génératrices. Le second, d'algèbre, construit un produit scalaire sur les polynômes de degré au plus 3 à l'aide des polynômes interpolateurs de Lagrange, puis l'applique à la méthode des moindres carrés pour ajuster une droite à un nuage de points, avec une application industrielle finale.

1Problème I, partie A : tirages simultanés de deux bonbonsÉtude des variables aléatoires liées aux tirages d'Alice et de Cyril, lois, covariance et indépendance.
2Problème I, partie B : tirages successifs et fonctions génératricesReconnaissance de lois géométriques, calcul de fonctions génératrices et utilisation de la formule de Leibniz.
3Problème I, partie C : protocole de tirage alternéCalcul de probabilités d'événements liés à un tirage alterné entre deux enfants selon les proportions de bonbons.
4Problème II : produit scalaire et moindres carrésConstruction d'un produit scalaire sur R3[X] à l'aide des polynômes de Lagrange, orthonormalisation de Gram-Schmidt, puis application à la régression linéaire par moindres carrés et à une application industrielle.

Difficile. Le rapport indique que 6% des candidats n'obtiennent aucun point en probabilités, soit huit fois plus qu'en algèbre, et que l'on a trouvé peu de très bonnes copies, bien que l'épreuve ait bien permis de classer les candidats.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Absence de justification en probabilités · Caractère non dégénéré du produit scalaire mal justifié · Fractions non simplifiées

Le sujet comportait deux problèmes indépendants, de probabilités (60%) et d'algèbre (40%), avec de nombreuses applications directes du cours dont la connaissance a souvent laissé à désirer. Le jury constate que 6% des candidats n'obtiennent aucun point en probabilités contre moins de 1% en algèbre, et que dans les deux cas les deux tiers de ces candidats ont fait l'impasse sur le problème concerné.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Absence de justification en probabilitésA.3
Le jury relève trop d'affirmations sans preuve, notamment en probabilités, et le fait de ne pas citer la formule des probabilités totales avec le système complet d'événements associé.
2
Caractère non dégénéré du produit scalaire mal justifiéII.2.a
Le caractère non dégénéré de phi est peu justifié ou justifié par des arguments faux, comme confondre un polynôme nul avec un polynôme dont la valeur en des points particuliers est nulle sans mentionner le nombre de racines par rapport au degré.
3
Fractions non simplifiées
Le jury a rencontré trop de lois de Bernoulli de paramètre 19/38, de lois géométriques de paramètre 6/16 ou d'espérances égales à 15/3, alors que les fractions doivent être mises sous forme irréductible.
« il a été rencontré trop de lois de Bernoulli de paramètre 19 38 »
4
Procédé de Gram-Schmidt mal maîtriséII.3
Le procédé d'orthogonalisation ou d'orthonormalisation de Gram-Schmidt semble peu connu des candidats et est souvent émaillé d'erreurs de calcul.
« procédé d’orthogonalisation ou d’orthonormalisation de Gram-Schmidtsemble peu connu des candidats »
5
Notations de l'énoncé non respectées
Le jury demande de respecter les notations de l'énoncé, en particulier celle du produit scalaire notée phi et non avec des crochets ou des barres verticales.
« notations de l’énoncé doivent ˆ etre respectées, en particulier celle du produit »

Ce qui a été bien réussi

Les candidats ont généralement bien reconnu la loi de Bernoulli de paramètre 1/2 à la question A.1.a.
La linéarité de l'espérance est bien connue des candidats (question A.8).
La majorité des candidats ont pris soin de détailler les étapes du calcul des polynômes de Lagrange (question II.1.a).
Une grande majorité des candidats savent qu'il faut démontrer que phi est bilinéaire, symétrique et définie positive, et le font correctement pour les trois premiers points (question II.2.a).

Conseils du jury

Justifier tous les résultats et calculs, en particulier en probabilités où les affirmations sans preuve sont trop fréquentes.
Respecter les consignes de l'énoncé : une réponse à une question du type « en déduire » doit utiliser les résultats des questions précédentes.
Simplifier systématiquement les fractions et les racines carrées dans les résultats finaux.
Ne pas faire l'impasse sur un problème entier, car cela conduit souvent à n'obtenir aucun point sur cette partie.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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Epreuve de Mathématiques A

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

À rendre avec la copie 1 feuille de papier millimétré.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les questions non correctement référencées ne seront pas notées. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

CONSIGNES:

Composer lisiblement sur les copies avec un stylo à bille à encre foncée : bleue ou noire.
L'usage de stylo à friction, stylo plume, stylo feutre, liquide de correction et dérouleur de ruban correcteur est interdit.
Remplir sur chaque copie en MAJUSCULES toutes vos informations d'identification : nom, prénom, numéro inscription, date de naissance, le libellé du concours, le libellé de l'épreuve et la session.
Une feuille, dont l'entête n'a pas été intégralement renseigné, ne sera pas prise en compte.
Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance.

Dans cette épreuve, les candidats sont invités à illustrer, s'ils le jugent nécessaire, leurs réponses avec un dessin.

Le sujet est composé de 2 exercices indépendants.

Problème I : Probabilités.

Ce problème est composé de 3 parties indépendantes, chacune d'elle étant l'étude d'un tirage différent dans un paquet de bonbons effectué par deux enfants Alice et Cyril.

Dans l'ensemble du problème :

On dispose d'un paquet de bonbons qui contient uniquement des bonbons à la menthe et des nougats.
On suppose que l'emballage des bonbons les rend indiscernables.
Alice n'aime que les bonbons à la menthe et Cyril que les nougats.

Par ailleurs, on pourra utiliser les notations suivantes : pour tout entier

n ⩾ 1

$M_n$ est l'événement $≪$ le $n$ -ième bonbon tiré est un bonbon à la menthe $≫$ ;
$N_n$ est l'événement << le $n$ -ième bonbon tiré est un nougat >>.

Partie A

Dans cette partie, le paquet de bonbons contient 10 nougats et 10 bonbons à la menthe. Alice tire 1 bonbon dans le paquet et le garde dans sa main puis Cyril fait de même. On note :

$X_A$ la variable aléatoire égale à 1 si Alice tire un bonbon à la menthe et égale à 0 si Alice tire un nougat.
$X_C$ la variable aléatoire égale à 1 si Cyril tire un nougat et égale à 0 si Cyril tire un bonbon à la menthe.

(a) Quelle est la loi de $X_A$ ? On donnera son nom et la valeur du ou des paramètres.
(b) Donner les valeurs de l'espérance et la variance de $X_A$ .
(a) Déterminer $P(X_A = 0, X_C = 0)$ .
(b) Déterminer la loi conjointe du couple $(X_A, X_C)$ .
En déduire la loi de $X_C$ . Une justification est attendue.
(a) Vérifier que la covariance $Cov(X_A, X_C)$ de $X_A$ et $X_C$ vaut $1/(76)$ .
(b) Les variables aléatoires $X_A$ et $X_C$ sont-elles indépendantes?

Lorsqu'un enfant a tiré un bonbon qu'il n'aime pas, il le donne à l'autre enfant.
On note alors :

$Y_A$ la variable aléatoire égale au nombre de bonbons à la menthe détenus par Alice après les dons éventuels;
$Y_C$ la variable aléatoire égale au nombre de nougats détenus par Cyril après les dons éventuels.

Justifier que l'univers image $Y_A(Ω)$ de $Y_A$ est égal à ${0; 1; 2}$ .
(a) Quelle est la loi de $Y = Y_A + Y_C$ ?
(b) En déduire que la covariance $Cov(Y, Y_A)$ de $Y$ et $Y_A$ est nulle.
(c) Démontrer que $Cov(Y, Y_A) = V(Y_A) + Cov(Y_A, Y_C)$ où $Cov(Y_A, Y_C)$ est la covariance de $Y_A$ et $Y_C$ et $V(Y_A)$ la variance de $Y_A$ .
(d) En déduire le signe de $Cov(Y_A, Y_C)$ .
Justifier que $Y_A = 1 + X_A - X_C$ .
En déduire l'espérance de $Y_A$ et démontrer que sa variance vaut $9/(19)$ .
A l'aide des résultats de la question précédente, justifier que la loi de $Y_A$ n'est pas une loi binomiale.

Partie B

Dans cette partie, le paquet de bonbons contient 10 nougats et 6 bonbons à la menthe. Alice tire dans le paquet des bonbons 1 par 1 .
Si c'est un nougat, elle le remet dans le paquet.
Si c'est un bonbon à la menthe, elle le mange.
Les tirages s'arrêtent lorsque Alice a mangé deux bonbons.
On note :

$Z_1$ la variable aléatoire égale au nombre de bonbons tirés au moment où Alice mange son premier bonbon;
$Z_2$ la variable aléatoire égale au nombre de bonbons tirés après qu'Alice a mangé le premier bonbon et au moment où Alice mange son deuxième bonbon.
$G_1$ la fonction génératrice de $Z_1$
$G_2$ la fonction génératrice de $Z_2$ .
$D_1$ le domaine de définition de $G_1$ et $D_2$ celui de $G_2$ .

On admet que les variables aléatoires

Z_1

Z_2

sont indépendantes.

(a) Reconnaitre la loi de $Z_1$ . Une réponse argumentée est attendue.

On précisera son nom, son ou ses paramètres, l'univers image

Z_1(Ω)

et les valeurs des probabilités

P(Z_1 = k)

pour

k

dans

Z_1(Ω)

.
(b) Donner l'espérance et la variance de

Z_1

.
(c) Justifier que

\forallt \in D_1, G_1(t) = 3/5\sum_(k = 1)^(+ \infty)(5/8t)^k

et déterminer

D_1

.
(d) Déterminer pour tout

t \in D_1

, l'expression de

G_1(t)

à l'aide des fonctions usuelles.
(e) Déterminer la valeur de

G_1^((k))(0)

pour tout

k \in ℕ^⋆

. Préciser

G_1(0)

.
2. Donner, sans les justifier, la loi de

Z_2

, son espérance et sa variance,

D_2, G_2(0)

G_2^((k))(0)

pour tout

k \in ℕ^⋆

.
3. On pose

Z = Z_1 + Z_2

et on note

G

la fonction génératrice de

Z

.
(a) Que représente

Z

? Quelle est son espérance?
(b) Donner l'univers image

Z(Ω)

Z

.
(c) Exprimer pour tout

t \in D_1 \cap D_2, G(t)

en fonction de

G_1(t)

G_2(t)

.
(d) A l'aide de la formule de Leibniz, exprimer pour tout entier

n

supérieur ou égal à

2, G^((n))(0)

en fonction de

G_1^((k))(0)

G_2^((k))(0)

pour des valeurs non nulles de

k

bien choisies.
(e) En déduire que pour tout entier

n

supérieur ou égal à

2, G^((n))(0) = 3n!((2/3)^(n - 1) - (5/8)^(n - 1))

(f) En déduire

P(Z = n)

pour tout

n \in Z(Ω)

.
(g) En utilisant la définition de l'espérance, retrouver la valeur de l'espérance de

Z

Partie C

Dans cette partie, la proportion des bonbons à la menthe dans le paquet est notée

a

et celle des nougats est notée

c

avec

(a, c) \in ]0; 1[^2

.
Le tirage des bonbons dans le paquet répond au protocole suivant :

Les enfants tirent à tour de rôle un bonbon dans le paquet.
Lorsqu'un enfant tire un bonbon qu'il aime, il le mange, sinon il le remet dans le paquet.
Les tirages s'arrêtent dès qu'un enfant a mangé un bonbon.
Cyril effectue le premier tirage.

On note

B

la variable aléatoire égale à 1 si c'est Cyril qui a mangé un bonbon, égale à 0 si c'est Alice qui a mangé un bonbon et égale à -1 dans les autres cas.

Justifier que $a + c = 1$ .
Soit $n$ un entier naturel non nul. On note $C_n$ l'événement : $≪$ Cyril a mangé un nougat au $n$ -ème tirage $≫$ .
(a) Pour $p \in ℕ$ , exprimer $C_(2p + 1)$ en fonction d'événements $M_k$ et $N_k$ (définis en introduction) bien choisis.
(b) En déduire $P(C_(2p + 1))$ pour $p \in ℕ$ .
(c) Que peut-on dire de $C_(2p)$ et $P(C_(2p))$ pour $p \in ℕ^⋆$ ?
Etablir à l'aide des questions précédentes que $P(B = 1) = c/(1 - ac)$ .
Démontrer de même que $P(B = 0) = (a^2)/(1 - ac)$ .
En déduire la valeur $P(B = - 1)$ . Interpréter ce résultat.
Est-il possible de posséder un paquet de bonbons tel que Alice et Cyril aient autant de chance l'un que l'autre de manger un bonbon?

Problème II : Algèbre.

Pour tout entier naturel

n

, on note

ℝ_n[X]

l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à

n

.
Soit

φ

l'application définie sur

(ℝ_3[X])^2

par :

\forall(P, Q) \in (ℝ_3[X])^2, φ(P, Q) = \sum_(k = 0)^3 P(k)Q(k)

On considère également les polynômes

L_p(X) = \prod_(k = 0; k \neq p)^3(X - k)/(p - k)

pour

p \in {0; 1; 2; 3}

(a) Vérifier que $L_0(X) = - 1/6(X - 1)(X - 2)(X - 3)$ .
(b) Ecrire de même $L_1(X), L_2(X)$ et $L_3(X)$ .
(c) Déterminer les valeurs de $L_p(k)$ pour tout $(p, k) \in [ [0; 3] ]^2$ .
(a) Démontrer que $φ$ est un produit scalaire sur $ℝ_3[X]$ .

On notera || || la norme associée.
(b) Vérifier que

(L_0, L_1, L_2, L_3)

est une base orthonormée de

ℝ_3[X]

pour ce produit scalaire.
(c) Soit

Q

un polynôme de

ℝ_3[X]

. Exprimer en fonction de

Q

, les coordonnées de

Q

dans la base

(L_0, L_1, L_2, L_3)

.
3. Déterminer une base orthonormée de

ℝ_1[X]

pour le produit scalaire

φ

L'espace affine euclidien

ℝ^2

est muni de sa structure euclidienne usuelle et d'un repère orthonormé

(O; i⃗, j⃗)

.
On considère désormais 6 réels

a, b, y_0, y_1, y_2

y_3

et la droite

D

d'équation

y = ax + b

. Pour tout

p \in [ [0; 3] ]

, on note

M_p

le point de coordonnées (

p, y_p

N_p

le point de

D

dont l'abscisse est

p

d_p

la longueur du segment

[M_p N_p]

.
On pose alors

δ(a, b) = \sum_(p = 0)^3 d_p^2

.
L'objectif est de déterminer les valeurs de

a

b

(si elles existent) pour lesquelles

δ(a, b)

est minimale.
4. Faire, sur la copie, un schéma qui illustre les données précédentes.
5. Vérifier que

δ(a, b) = \sum_(p = 0)^3(y_p - ap - b)^2

.
6. (a) Démontrer qu'il existe un unique polynôme

Q

ℝ_3[X]

dont le graphe passe par les points

M_0, M_1, M_2

M_3

.
On pourra utiliser les polynômes

L_p

pour

p \in [ [0; 3] ]

.
(b) Démontrer que

δ(a, b) = ‖Q - H‖^2

où

H(X) = aX + b

.
(c) En évoquant la distance d'un vecteur à un espace vectoriel bien choisi, en déduire l'existence d'un minimum pour

δ

et que celui-ci est atteint en un unique polynôme

H_0

.
On précisera le lien entre

Q

H_0

Dans la suite du sujet, on pose

Y¯ = \sum_(p = 0)^3 y_p

XY^- = \sum_(p = 0)^3 py_p

.
L'objectif des 2 prochaines questions est d'obtenir l'expression de

H_0

qui a été défini dans la question précédente de 2 façons différentes.
7. Première méthode.
(a) Exprimer

H_0

en fonction de

φ, Q

et les polynômes obtenus dans la question 3.
(b) Déterminer

H_0

en fonction de

Y¯

XY^-

.
8. Deuxière méthode.
(a) Justifier que la fonction

δ

possède un unique point critique à déterminer. On l'exprimera en fonction de

Y¯

XY^-

.
(b) Justifier qu'en ce point, la fonction

δ

atteint un minimum global.

Une application industrielle :

Un processus industriel nécessite que l'on contrôle au cours du temps

t

, exprimé en heures, l'évolution de la concentration

C

d'un produit dans une cuve car le processus doit être interrompu lorsque la concentration du produit devient inférieure à

1/(12)

.
Des études montrent que cette concentration

C

évolue au court du temps en suivant une loi de la forme

C(t) = k/(t + c)

, les valeurs des réels

k

c

étant inconnues.
On souhaite obtenir expérimentalement des valeurs de

k

c

.
Pour cela, on effectue des mesures qui ont donné les résultats suivants :

$t$	0	1	2	3
$C(t)$	1	$4/7$	$2/5$	$1/3$

(a) Placer dans un repère orthogonal les points $M(t)$ de coordonnées $(t, 1/(C(t)))$ pour $t = 0, 1, 2$ et 3 .
On utilisera la feuille de papier millimétré fournie avec le sujet.
(b) Comment ces 4 points devraient-ils être positionnés? Est-ce le cas? Comment peut-on l'expliquer?
(a) Expliquer en quoi les questions 6. à 8. permettent en théorie de déterminer les valeurs de $k$ et $c$ .
(b) Déterminer les valeurs << expérimentales >> que l'on obtient alors pour $k$ et $c$ .
(c) Au bout de combien de temps, l'industriel doit-il interrompre le processus? On arrondira le résultat à l'entier le plus proche.

Questions fréquentes

3 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de Mathématiques A PT 2024 de la banque PT ?

Le problème I porte sur les probabilités : variables aléatoires finies et discrètes, lois usuelles, couples de variables aléatoires et fonctions génératrices. Le problème II porte sur l'algèbre bilinéaire : produit scalaire, base orthonormée par Gram-Schmidt et méthode des moindres carrés.

Le sujet de Mathématiques A PT 2024 est-il difficile ?

Le rapport indique que 6% des candidats n'ont obtenu aucun point en probabilités, huit fois plus qu'en algèbre, et que les très bonnes copies étaient rares, même si l'épreuve a permis de bien classer les candidats.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de Mathématiques A PT 2024 ?

Le jury relève un manque de justification fréquent en probabilités, une mauvaise justification du caractère non dégénéré du produit scalaire, des fractions non simplifiées, et une méconnaissance du procédé d'orthogonalisation de Gram-Schmidt.

Pas de description pour le moment

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