Banque PT Mathématiques B PT 2024Sujet et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Mathématiques B PT : géométrie dans l'espace, courbes paramétrées en polaires, et résolution d'une équation matricielle

Le sujet se compose de trois exercices indépendants. Le premier, très court, porte sur la géométrie dans l'espace. Le deuxième parcourt presque tout le programme sur les courbes paramétrées à travers l'étude de courbes en polaires. Le troisième, en deux parties, porte sur la résolution d'une équation matricielle dans deux situations différentes. La géométrie représente 60% du barème et l'algèbre 40%.

1Exercice 1 : géométrie dans l'espaceDeux questions sur un point et un plan tangent dans l'espace.
2Exercice 2, parties A et B : courbes en polairesÉtude d'un cercle en polaires puis d'une courbe avec calcul de longueur, tangentes et rayon de courbure.
3Exercice 2, parties C et D : étude complète d'une courbe paramétréeÉtude d'un point stationnaire, de branches infinies et de l'intersection de deux droites associées à la courbe.
4Exercice 3, partie A : résolution d'une équation matricielle (cas diagonalisable)Diagonalisation d'une matrice puis résolution de l'équation M^2 = A.
5Exercice 3, partie B : résolution d'une équation matricielle (second cas)Étude d'une nouvelle situation matricielle avec discussion sur les valeurs propres doubles.

Difficulté moyenne. Le rapport indique que la longueur raisonnable du sujet a permis à une grande majorité des candidats d'aborder la totalité des questions, certaines questions plus difficiles permettant seulement aux meilleurs candidats de se démarquer.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Confusion entre x et x(t) · Formules de duplication mal connues · Confusion entre tangentes horizontales et verticales

Le sujet a permis de classer l'ensemble des candidats, le nombre de copies très faibles restant stable par rapport à l'année précédente. Le rapport regrette une nette diminution de la qualité de la rédaction, de l'orthographe et de la graphie, ainsi que de nombreuses confusions entre les symboles =, ⇔ et ∼.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Confusion entre x et x(t)
De nombreuses copies confondent la fonction x, qui est paire, continue ou dérivable, avec sa valeur x(t) qui ne l'est pas.
2
Formules de duplication mal connuesExercice 2, partie A
Ces formules trigonométriques de base sont insuffisamment maîtrisées dans l'étude du cercle en polaires.
3
Confusion entre tangentes horizontales et verticalesExercice 2, partie B
Les candidats arrivent souvent à l'équation attendue mais se perdent ensuite dans les calculs, avec un usage excessif et injustifié du symbole d'équivalence.
4
Polynôme caractéristique scindé confondu avec diagonalisableExercice 3, partie A
L'affirmation selon laquelle un polynôme caractéristique scindé implique automatiquement la diagonalisabilité de la matrice reste une erreur très fréquente.
5
Confusion entre appartenir à un sous-espace propre et être vecteur propreExercice 3, partie A
Cette distinction est mal maîtrisée, notamment quand le vecteur étudié peut être nul.
6
Transformation abusive d'une implication en équivalenceExercice 3, partie B
La grande majorité des candidats transforme à tort un « si... alors » en « si et seulement si » sans justification.

Ce qui a été bien réussi

85% des candidats résolvent correctement les trois équations de la première question de l'exercice 3.
La grande majorité des candidats a réussi à déterminer le polynôme caractéristique demandé à l'exercice 3.
La première question de la partie B de l'exercice 3, proche d'une question déjà posée en partie A, a été plutôt bien réussie.

Conseils du jury

Respecter scrupuleusement les notations de l'énoncé et définir toute notation supplémentaire utilisée.
Justifier systématiquement tous les résultats, y compris ceux donnés par l'énoncé, sans mentionner de calculs faits au brouillon.
Illustrer les réponses de géométrie par un schéma clair.
Bien distinguer les symboles =, ⇔ et ∼, et résoudre les équations par équivalence.
Se munir du matériel de géométrie (règle, compas, équerre) et rendre la feuille de papier millimétré avec la copie.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

Epreuve de Mathématiques B

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

À rendre avec la copie 1 feuille de papier millimétré.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les questions non correctement référencées ne seront pas notées. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

CONSIGNES:

Composer lisiblement sur les copies avec un stylo à bille à encre foncée : bleue ou noire.
L'usage de stylo à friction, stylo plume, stylo feutre, liquide de correction et dérouleur de ruban correcteur est interdit.
Remplir sur chaque copie en MAJUSCULES toutes vos informations d'identification : nom, prénom, numéro inscription, date de naissance, le libellé du concours, le libellé de l'épreuve et la session.
Une feuille, dont l'entête n'a pas été intégralement renseigné, ne sera pas prise en compte.
Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance.

Dans cette épreuve, les candidats sont invités à illustrer, s'ils le jugent nécessaire, leurs réponses avec un dessin.

Le sujet est composé de 3 exercices indépendants.

Premier exercice.

Dans cet exercice, l'espace euclidien

ℝ^3

est muni de sa structure euclidienne usuelle et d'un repère orthonormé direct (

O; i⃗, j⃗, k⃗

On considère la surface

S

de représentation paramétrique

{x = u + 3v; y = uv; z = sin(πu) + cos(πv), (u, v) ∈ ℝ^2

On note

M(u, v)

le point de

S

de paramètres

u

v

Démontrer que $M(- 1, 1)$ est l'unique point de $S$ de coordonnées $(2; - 1; - 1)$ .
Déterminer une équation cartésienne du plan tangent à $S$ en $M(- 1, 1)$ .

Deuxième exercice.

Dans cet exercice, l'espace euclidien

ℝ^2

est muni de sa structure euclidienne usuelle et d'un repère orthonormé direct (

O; i⃗, j⃗

).
On considère les fonctions

$r_0$ définie sur $I_0 = [0; 2π]$ par $\forallt \in I_0, r_0(t) = R$ où $R > 0$ ;
$r_1$ définie sur $I_1 = [ - π/2; π/2]par\forallt \in I_1, r_1(t) = cos(t)$ .
$r_2$ définie sur $I_2 = ℝ$ par $\forallt \in I_2, r_2(t) = e^t$ .
$r_3$ définie sur $I_3 = ] - π/2; π/2[par\forallt \in I_3, r_3(t) = (sin^2(t))/(cos(t))$ .

Enfin

r_4

désigne une fonction de classe

C^1

sur

I_4 = ] - π/2; π/2[

.
Pour tout

n \in [ [0; 4] ]

, on note

$Λ_n$ la courbe de représentation paramétrique ${x_n(t) = r_n(t)cos(t); y_n(t) = r_n(t)sin(t), t ∈ I_n$ ;
$M_n(t)$ le point de $Λ_n$ de paramètre $t$ pour $t \in I_n$ .

Les différentes parties de cet exercice sont indépendantes

Partie A :

Quelle est la nature de $Λ_0$ ? Préciser ses éléments caractéristiques.
Démontrer que $Λ_1$ est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

Partie B :

Calculer la longueur de $Λ_2$ entre les points $M_2(- ln(3))$ et $M_2(3ln(2))$ .
La courbe $Λ_2$ est-elle de longueur finie?
Démontrer que tous les points $M_2(t)$ pour lesquels la tangente à $Λ_2$ est verticale sont alignés. On précisera un point et un vecteur directeur de la droite qui les contient.
Soit $M_2(t)$ un point de $Λ_2$ .

Donner le repère de Frenet puis la courbure de

Λ_2

au point

M_2(t)

.
5. Déterminer une représentation paramétrique de la développée

C_2

Λ_2

.
6. Démontrer que

C_2

est l'image de

Λ_2

par une rotation dont on précisera le centre et l'angle.
On pourra s'intéresser aux affixes complexes des différents points considérés.

Partie C :

Justifier que l'on peut réduire l'intervalle d'étude de $Λ_3$ à $I_3^' = [0; π/2[$ . Préciser comment obtenir la courbe $Λ_3$ en entier.
Déterminer les tableaux de variations des fonctions $x_3$ et $y_3$ sur $I_3^'$ . Préciser les valeurs et/ou les limites au bord.
Quelle est la nature du point $M_3(0)$ ? Préciser la tangente en ce point.
Donner les coordonnées du point $M_3(π/4)$ ainsi que celles d'un vecteur directeur de la tangente à $Λ_3$ en ce point.
Etudier la branche infinie lorsque $t$ tend vers $π/2$ .
Tracer la courbe $Λ_3$ sur la feuille de papier millimétré fournie avec le sujet. On y fera apparaitre les éléments déterminés dans les questions précédentes. Unité : 8 cm

Partie D :

On considère les 2 fonctions

h

k

définies sur

I_4

par

\forallt \in I_4

h(t) = t^2(1 + tan^2(t)); k(t) = tan(t) + t(1 + tan^2(t))

Ainsi que la famille de droites

(D_t)_(t \in I_4)

d'équation cartésienne :

k(t)x - y = h(t)

Démontrer que $\forallt \in I_4$ ,

h^'(t) = 2t(1 + tan^2(t))(1 + ttan(t)); k^'(t) = 2(1 + tan^2(t))(1 + ttan(t)).

Soit $t \in I_4$ . Déterminer l'intersection de la droite $D_t$ avec l'axe des ordonnées ainsi qu'un vecteur directeur de la droite $D_t$ puis en déduire une représentation paramétrique de la droite $D_t$ .
Déterminer une représentation paramétrique de l'enveloppe $C_4$ de la famille de droites $(D_t)_(t \in I_4)$ .
Existe-t-il une fonction $r_4$ telle que $C_4 = Λ_4$ ?

Troisième exercice.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A :

L'objectif de cette partie est de déterminer toutes les matrices

M

M_3(ℝ)

vérifiant

(E_1) : M^2 - 2M = A

où

A = (2, - 2, 3; 3, - 3, 3; 4, - 4, 3)

Résoudre les trois équations d'inconnue $x \in ℝ$ ,

(E_1) : x^2 - 2x = 0 (E_2) : x^2 - 2x = - 1 (E_3) : x^2 - 2x = 3

(a) Déterminer les valeurs propres de la matrice $A$ .
(b) La matrice $A$ est-elle diagonalisable ?
(c) Déterminer une matrice $P$ inversible et une matrice $D$ diagonale telles que $A = PDP^(- 1)$ .
On classera les coefficients de la diagonale de $D$ par ordre croissant.
Soit $M \in M_3(ℝ)$

On pose

Δ = P^(- 1)MP

où

P

est la matrice déterminée dans la question 1 .
(a) Démontrer que

M^2 - 2M = A \Leftrightarrow Δ^2 - 2Δ = D

On suppose désormais que

M

est solution de

(E_1)

.
(b) Démontrer que

MA = AM

.
(c) Soit

X

un vecteur propre de

A

associé à la valeur propre

λ

Démontrer que le vecteur

Y = MX

appartient au sous-espace propre de

A

associé à la valeur propre

λ

et en déduire que

X

est un vecteur propre de

M

.
(d) En déduire que la matrice

Δ

est diagonale.
4. (a) Déterminer toutes les matrices diagonales

Δ

vérifiant

Δ^2 - 2Δ = D

.
(b) En déduire toutes les matrices

M

vérifiant

M^2 - 2M = A

. On exprimera ces matrices

M

à l'aide de

P

et de matrices diagonales à préciser.

Partie B :

Cette partie s'intéresse aux matrices

M

M_2(ℂ)

vérifiant

(E_2) : M^2 - 2M = αI

où

I = (1, 0; 0, 1)

α \in ℂ

Démontrer que si $M \in M_2(ℂ)$ est solution de $(E_2)$ , il en est de même pour toute matrice semblable à $M$ .
Soient $M$ une solution de $(E_2)$ et $λ$ une valeur propre de $M$ .

Etablir que

λ^2 - 2λ = α

.
3. On note

λ_1

λ_2

les deux racines (éventuellement égales) de

λ^2 - 2λ = α

.
(a) Soit

α = - 1

. Démontrer que

M

est solution de

(E_2)

si et seulement si 1 est valeur propre double de

M

.
(b) Soit

α \neq - 1

. Démontrer que si

M

est solution de

(E_2)

alors

M

est diagonalisable. Préciser les matrices diagonales

D

, semblables à

M

, possibles (à l'aide de

λ_1

λ_2

).
(c) Soit

α \neq - 1

. On suppose que

M

est semblable à l'une des matrices

D

données à la question précédente. Démontrer que

M

est solution de

(E_2)

.
(d) Pour

α = 0

, donner une matrice

M

non diagonale solution de (

E_2

). On explicitera ses 4 coefficients.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de Mathématiques B Banque PT 2024 ?

Le sujet comprend un exercice court de géométrie dans l'espace, un exercice de courbes paramétrées en polaires, et un exercice sur la résolution d'une équation matricielle.

Ce sujet de Mathématiques B Banque PT 2024 est-il difficile ?

Le rapport le juge de longueur raisonnable, accessible à la majorité des candidats, avec quelques questions plus difficiles réservées aux meilleurs.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet Banque PT Maths B 2024 ?

Le jury relève de nombreuses confusions entre les symboles =, ⇔ et ∼, ainsi que l'erreur classique consistant à croire qu'un polynôme caractéristique scindé suffit à rendre une matrice diagonalisable.

La géométrie compte-t-elle beaucoup dans le barème de ce sujet Banque PT Maths B 2024 ?

Oui, la géométrie représente 60% du barème contre 40% pour l'algèbre.

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