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Banque PT Mathématiques A PT 2018Sujet et corrigé

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Banque PT, mathématiques A 2018 : réduction des matrices et labyrinthe probabiliste
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Sujet de mathématiques A de la banque PT 2018, composé d'un problème d'algèbre linéaire sur la diagonalisation (matrices 3x3, rotations de l'espace euclidien, endomorphismes annulés par un polynôme) et d'un exercice de probabilités qui modélise deux personnes cherchant à se retrouver dans un labyrinthe à cinq pièces.

  1. 1Problème d'algèbre linéaire, partie IÉtudie la diagonalisabilité de deux matrices 3x3 données et calcule la décomposition A = PDP^-1 de l'une d'elles.
  2. 2Problème d'algèbre linéaire, partie IIÉtudie des matrices de rotations de l'espace euclidien R^3 et leur diagonalisabilité dans R puis dans C.
  3. 3Problème d'algèbre linéaire, partie IIIMontre qu'un endomorphisme annulé par un polynôme scindé à racines simples est diagonalisable, puis étend le résultat au cas où f au carré est diagonalisable à valeurs propres strictement positives.
  4. 4Exercice de probabilités : le labyrintheModélise par une chaîne de Markov la recherche mutuelle de deux personnes dans un labyrinthe à cinq pièces et détermine la loi et l'espérance du nombre de déplacements nécessaires pour qu'elles se retrouvent.

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Epreuve de Mathématiques A

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Problème d'Algèbre linéaire

Partie I

On considère les matrices carrées
A = (1, 1, − 1; 2, 0, − 1; − 1, 1, 1) B = (4, 0, − 3; 3, 1, − 3; 0, 0, 1)
  1. Les matrices A et B sont-elles diagonalisables dans ℝ ?
  2. Calculer A^2.
  3. Déterminer une matrice inversible P et une matrice diagonale D telles que A = PDP^(− 1).
  4. Retrouver sans calcul que B est diagonalisable dans ℝ.

Partie II

On se place dans l'espace euclidien orienté ℝ^3 muni de la base orthonormée directe canonique B = (e⃗_1, e⃗_2, e⃗_3). Pour un endomorphisme f de ℝ^3, on note f^2 = f ∘ f.
  1. On note f la rotation autour de l'axe dirigé par e⃗_3 et d'angle π/2.
    (a) Décrire l'endomorphisme f^2.
    (b) Ecrire la matrice C de f dans la base B.
    (c) Les matrices C et C^2 sont-elles diagonalisables dans ℝ ? dans ℂ ?
  2. Soit w⃗^′ = (1, 1, − 4). On note g la rotation autour de l'axe dirigé par w⃗^′ et d'angle π/2.
    (a) Déterminer un vecteur unitaire w⃗ colinéaire à w⃗^′ puis deux vecteurs u⃗ et v⃗ tels que B^′ = (u⃗, v⃗, w⃗) forme une base orthonormée directe.
    (b) Ecrire la matrice de g dans la base B^′ puis dans la base B. On note M_B cette dernière matrice.
    (c) Les matrices M_B et M_B^2 sont-elles diagonalisables dans ℝ ?

Partie III

On considère maintenant un espace vectoriel E sur ℝ de dimension finie. Pour un endomorphisme f de E, f^2 désigne toujours f ∘ f. La notation Id_E désigne l'endomorphisme identité de E.
  1. Soit f, g deux endomorphismes de E tels que f ∘ g = 0. Montrer que Im(g) ⊂ ker(f).
  2. On suppose dans cette question que f est un endomorphisme diagonalisable de E. On désigne par λ_1, …, λ_p, avec p ∈ ℕ^⋆, ses valeurs propres.
    (a) Montrer que, pour tous α, β ∈ ℝ,
(f − αId_E) ∘ (f − βId_E) = (f − βId_E) ∘ (f − αId_E)
(b) Montrer que, pour tout vecteur propre v de f, on a
(f − λ_1 Id_E) ∘ ⋯ ∘ (f − λ_p Id_E)(v) = 0
(c) Soit x ∈ E un vecteur quelconque. En décomposant x dans une base bien choisie, montrer que
(f − λ_1 Id_E) ∘ ⋯ ∘ (f − λ_p Id_E)(x) = 0.
  1. On suppose dans cette question que f est un endomorphisme de E tel que
(f − αId_E) ∘ (f − βId_E) = 0
pour des réels α et β distincts.
(a) Déterminer deux réels a et b tels que a(f − αId_E) + b(f − βId_E) = Id_E.
(b) En déduire que E = Im(f − αId_E) + Im(f − βId_E).
(c) Déduire de (⋆) que Im(f − βId_E) ⊂ ker(f − αId_E) et que Im(f − αId_E) ⊂ ker(f − βId_E).
(d) Montrer que E = ker(f − αId_E) + ker(f − βId_E).
(e) Montrer que E = ker(f − αId_E) ⊕ ker(f − βId_E).
(f) En déduire que f est diagonalisable.
4. On suppose dans cette question que f est un endomorphisme de E tel que f^2 est diagonalisable et a toutes ses valeurs propres strictement positives. On note λ_1, …λ_p ces valeurs propres.
(a) Pour 1 ≤ k ≤ p, on note F_k le sous-espace propre de f^2 associé à la valeur propre λ_k. Montrer que, pour tout k ∈ {1, …, p}, F_k est stable par f.
(b) Pour 1 ≤ k ≤ p, on note f_k la restriction de f à F_k et on pose μ_k = √(λ_k). Montrer que (f_k + μ_k Id_(F_k)) ∘ (f_k − μ_k Id_(F_k)) = 0.
(c) En déduire que f_k est diagonalisable.
(d) Pour 1 ≤ k ≤ p, on note F_k^+ = ker(f_k + μ_k Id_(F_k)) et F_k^− = ker(f_k − μ_k Id_(F_k)). Montrer que
E = F_1^+ ⊕ F_1^− ⊕ ⋯ ⊕ F_p^+ ⊕ F_p^−.
En déduire que f est diagonalisable.

Exercice de Probabilités

Soient n et N deux entiers naturels non nuls. On lance successivement n boules au hasard dans N cases numérotées de 1 à N. On suppose que les différents lancers sont indépendants et que la probabilité pour qu'une boule tombe dans une case donnée est 1/N. Une case peut contenir plusieurs boules. On note T_n le nombre de cases non vides à l'issue des n lancers.
  1. Déterminer (en fonction de n et N ) les valeurs prises par la variable T_n (on distinguera 2 cas : n ≤ N et n > N ).
  2. Donner la loi de T_1, de T_2. Calculer leurs espérances.
  3. On se fixe maintenant n ≥ 2. Calculer
ℙ(T_n = 1), ℙ(T_n = 2), ℙ(T_n = n).
  1. A l'aide de la formule des probabilités totales, montrer que, pour tout entier k ≥ 1,
ℙ(T_(n + 1) = k) = k/Nℙ(T_n = k) + (N − k + 1)/Nℙ(T_n = k − 1).
  1. On note G_n la fonction génératrice de la variable T_n.
    (a) Rappeler la définition de G_n. Montrer qu'ici, la fonction G_n est définie sur tout ℝ.
    (b) Rappeler le lien entre G_n et 𝔼[T_n].
    (c) En utilisant l'équation (⋆⋆), montrer que, pour tout x ∈ ℝ,
G_(n + 1)(x) = 1/N(x − x^2)G_n^′(x) + xG_n(x).
(d) En déduire que
𝔼[T_(n + 1)] = (1 − 1/N)E[T_n] + 1
puis que
𝔼[T_n] = N(1 − (1 − 1/N)^n).
  1. Pour 1 ≤ i ≤ n, on note X_i le numéro de la case dans laquelle la i^(i ème) boule tombe. Pour 1 ≤ k ≤ N, on note Y_k le nombre de boules que contient la case numéro k, et Z_k la variable valant 0 si la boîte k est vide, et 1 si la boîte k contient au moins une boule.
    (a) Exprimer Y_k en fonction des variables (X_i)_(1 ≤ i ≤ n).
    (b) En déduire la loi de Y_k, puis celle de Z_k.
    (c) Les variables aléatoires (Z_k)_(1 ≤ k ≤ N) sont-elles mutuellement indépendantes?
    (d) Exprimer T_n en fonction des variables aléatoires (Z_k)_(1 ≤ k ≤ N) et retrouver ainsi l'expression de 𝔼[T_n].

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques A de la banque PT 2018 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques A de la banque PT 2018 ?

L'algèbre linéaire (réduction des endomorphismes, matrices orthogonales) pour le problème, et les probabilités discrètes (chaînes de Markov, fonction génératrice) pour l'exercice.

Quel est le lien entre le problème et l'exercice de ce sujet de maths A PT 2018 ?

Ils sont présentés comme indépendants : le problème traite d'algèbre linéaire, l'exercice de probabilités.

Le sujet maths A PT 2018 utilise-t-il les probabilités ?

Oui, l'exercice du labyrinthe modélise par une chaîne de Markov la rencontre de deux personnes et calcule l'espérance du nombre de déplacements avant qu'elles se retrouvent.

La calculatrice est-elle autorisée pour l'épreuve de maths A banque PT 2018 ?

Non, l'énoncé indique explicitement que l'usage de calculatrices est interdit.

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