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Minimisation d'une fonctionnelle quadratique par vecteurs conjugués, et probabilités : lancers de pièce
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Le problème d'algèbre linéaire étudie une matrice symétrique 3x3, la fonctionnelle quadratique associée et son minimum, avant de généraliser à une matrice symétrique définie positive d'ordre n en construisant des matrices à partir d'une famille de vecteurs A-conjugués, ce qui préfigure la méthode du gradient conjugué. L'exercice de probabilités indépendant étudie le nombre de piles obtenus lors d'une seconde série de lancers dont le nombre dépend du premier temps d'attente d'un pile.

  1. 1Partie IDiagonalisation en base orthonormée d'une matrice symétrique 3x3 et construction d'un produit scalaire associé à cette matrice.
  2. 2Partie IIÉtude de la fonctionnelle quadratique J_b associée à la matrice A, calcul de son gradient et de sa hessienne, et démonstration de l'existence et de la localisation de son minimum global.
  3. 3Partie IIIGénéralisation à une matrice symétrique définie positive d'ordre n, notion de vecteurs A-conjugués et construction de matrices permettant, à partir d'une base A-conjuguée, de retrouver l'inverse de A.
  4. 4Exercice de probabilitésÉtude du couple (N, X) où N est le nombre de lancers nécessaires pour obtenir un premier pile et X le nombre de piles obtenus lors de N lancers supplémentaires, avec lien vers un produit de variables de Bernoulli et géométrique.

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Epreuve de Mathématiques A

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Problème d'Algèbre linéaire

Nous noterons B = (e_1, …, e_n) la base canonique de ℝ^n, n ∈ ℕ^⋆.
Dans tout le problème, nous identifierons un vecteur de l'espace vectoriel ℝ^n,avec la matrice colonne de ses coordonnées dans la base canonique B
Pour une matrice A de taille m × n quelconque, (m, n) ∈ ℕ^⋆ × ℕ^⋆, on désigne par A^T sa transposée.
On note ⟨ ⋅, ⋅ ⟩ le produit scalaire usuel de ℝ^n et on rappelle que si u et v sont deux vecteurs de ℝ^n, leur produit scalaire s'écrit matriciellement ⟨u, v⟩ = u^T v. On note ‖ ⋅ ‖ la norme euclidienne associée.

Partie I

On considère la matrice
A = (2, − 1, 0; − 1, 2, − 1; 0, − 1, 2)
  1. Pourquoi peut-on trouver une base orthonormée formée de vecteurs propres de A ?
  2. Déterminer les valeurs propres de A ainsi qu'une base orthonormée B^′ de vecteurs propres.
  3. La matrice A est-elle inversible?
  4. Soit u un vecteur de ℝ^3 de coordonnées ( x, y, z ) dans la base B. Exprimer ses coordonnées ( x^′, y^′, z^′ ) dans la base B^′.
  5. Calculer ⟨Au, u⟩ en fonction de ( x, y, z ), puis en fonction de ( x^′, y^′, z^′ ).
  6. Soit λ la plus petite valeur propre de A. Déduire de ce qui précède que, pour tout u ∈ ℝ^3, ⟨Au, u⟩ ≥ λ‖u‖^2.
  7. Pour tous vecteurs u, v de ℝ^3, on pose (u, v)_A = ⟨Au, v⟩. Montrer que l'on définit ainsi un produit scalaire sur ℝ^3.

Partie II

On considère toujours la matrice A de la partie précédente et on fixe b ∈ ℝ^3. Pour tout vecteur u de ℝ^3, on pose
J_b(u) = 1/2⟨Au, u⟩ − ⟨u, b⟩
  1. Quels sont les ensembles de départ et d'arrivée de la fonction J_b ? Que vaut J_b(0) ?
  2. Calculer le gradient de la fonction J_b, puis sa matrice Hessienne.
  3. En utilisant le résultat de la question 6 de la partie I, montrer que
J_b(u) ≥ 1/2λ‖u‖^2 − ‖b‖‖u‖
où λ désigne la plus petite valeur propre de A.
4. En déduire que la fonction J_b est minorée et non majorée (on pourra étudier la fonction qui, à tout réel t, associe λ/2t^2 − αt, pour une valeur de α bien choisie).
5. Montrer que : inf_(u ∈ ℝ^3)J_b(u) ≤ 0.
6. Montrer que, si ‖u‖ > (2‖b‖)/λ, alors : J_b(u) ≥ 0.
7. En déduire que : inf_(u ∈ ℝ^3)J_b(u) = inf_(u ∈ B¯(0, r))J_b(u), où B¯(0, r) désigne la boule fermée de centre l'origine et de rayon r = (2‖b‖)/λ.
8. Montrer que la fonction J_b admet un minimum global sur ℝ^3.
9. Montrer que cette fonction atteint son minimum global au point u = A^(− 1)b.

Partie III

Soit A une matrice carrée d'ordre n ∈ ℕ^⋆, symétrique, et dont toutes les valeurs propres sont strictement positives. Deux vecteurs non nuls u et v de ℝ^n sont dits A conjugués si ⟨Au, v⟩ = 0.
  1. On note λ_1, …, λ_n les valeurs propres (comptées avec leur ordre de multiplicité) de la matrice A, rangées dans l'ordre croissant : 0 < λ_1 ≤ λ_2 ≤ ⋯ ≤ λ_n.
    (a) Justifier l'existence d'une base orthonormée (e_1, …, e_n) telle que, pour tout i ≤ n, Ae_i = λ_i e_i.
    (b) Soit u un vecteur de ℝ^n dont la décomposition dans la base précédente s'écrit
u = ∑_(i = 1)^n α_i e_i
Exprimer en fonction des α_i les quantités ‖u‖^2 et ⟨Au, u⟩.
(c) Montrer que pour tout vecteur u de ℝ^n, ⟨Au, u⟩ ≥ λ_1‖u‖^2.
(d) En déduire que pour tout vecteur u non nul, on a ⟨Au, u⟩ ≠ 0.
2. Soit (v_0, v_1, …, v_(n − 1)) une famille de vecteurs non nuls A-conjugués deux à deux. Montrer que cette famille forme une base de ℝ^n.
3. Rappeler (sans justification) l'expression de (αM + βN)^T et (MN)^T en fonction de M^T et N^T, où M, N sont des matrices de taille quelconque (mais telles que les opérations sont bien définies) et α, β sont des nombres réels.
4. Si v est un vecteur de ℝ^n (que l'on identifie avec une matrice colonne), préciser la taille des matrices v^T v et vv^T (on identifiera les matrices carrées de taille 1 et les nombres réels).
5. Montrer que pour tous vecteurs u, v de ℝ^n et toute matrice carrée B d'ordre n, on a ⟨Bu, v⟩ = ⟨u, B^T v⟩.
6. On définit pour tout k ∈ {1, 2, …, n} les matrices suivantes :
C_k = ∑_(i = 0)^(k − 1)(v_i v_i^T)/(⟨Av_i, v_i⟩), D_k = I_n − C_k A
où I_n désigne la matrice identité d'ordre n.
(a) Montrer que les matrices C_k sont symétriques pour 1 ≤ k ≤ n.
(b) Montrer que, pour tout vecteur w de ℝ^n, on a, pour 1 ≤ k ≤ n,
C_k Aw = ∑_(i = 0)^(k − 1)(⟨Av_i, w⟩)/(⟨Av_i, v_i⟩)v_i
(c) En déduire que pour 0 ≤ j ≤ k − 1, on a : C_k Av_j = v_j. (On rappelle que les v_i sont A-conjugués 2 à 2 ).
(d) En déduire que pour 0 ≤ j ≤ k − 1 ≤ n : D_k v_j = 0 et D_k^T Av_j = 0.
(e) On a donc, pour tout 0 ≤ j ≤ n − 1, D_n v_j = 0. Pourquoi peut-on en déduire que D_n = 0 ? Que vaut alors C_n ?

Exercice de Probabilités

Un individu joue avec une pièce non nécessairement symétrique. On note p la probabilité d'obtenir pile et on suppose seulement p ∈ ]0, 1[.
Dans un premier temps, il lance la pièce jusqu'à obtenir pour la première fois pile. On note N le nombre de lancers nécessaires.
Dans un deuxième temps, il lance N fois cette même pièce et on note X le nombre de piles obtenus au cours de cette seconde série de lancers.
  1. Préciser la loi de N, et la loi conditionnelle de X sachant N = n.
  2. Déterminer la loi du couple (N, X).
  3. On considère la fonction f définie sur ] − 1, 1[par : ∀x ∈ ] − 1, 1[ : f(x) = 1/(1 − x). Donner l'expression de la dérivée k^(ième) de f pour tout k ≥ 0.
    En déduire le développement en série entière de la fonction x ↦ 1/(1 − x)^(k + 1) au voisinage de 0 pour k entier positif.
  4. En déduire que la loi de X est donnée par
∀k ≥ 1, ℙ(X = k) = ((1 − p)^(k − 1))/((2 − p)^(k + 1)) et ℙ(X = 0) = ((1 − p))/((2 − p))
  1. Soit λ ∈ ]0, 1[, U une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre λ et V une variable aléatoire géométrique de paramètre λ indépendante de U. On note Y = UV.
    (a) Sans calculer sa loi, calculer l'espérance de Y.
    (b) Pour k ∈ ℕ, calculer ℙ(Y = k) (on pourra traiter séparément le cas k = 0 ).
    (c) Calculer la variance de Y.
  2. En déduire que X a même loi qu'un produit de deux variables aléatoires indépendantes, l'une étant une variable de Bernoulli et l'autre une variable géométrique de même paramètre.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths A banque PT 2016 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths A banque PT 2016 ?

Le problème d'algèbre linéaire porte sur la réduction des matrices symétriques, les produits scalaires et l'optimisation de fonctionnelles quadratiques, tandis que l'exercice indépendant porte sur les variables aléatoires discrètes et les séries entières.

Le problème et l'exercice du sujet banque PT maths A 2016 sont-ils indépendants ?

Oui, le problème d'algèbre linéaire en trois parties et l'exercice de probabilités qui le suit sont entièrement indépendants.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour traiter ce sujet ?

Il faut maîtriser la diagonalisation des matrices symétriques en base orthonormée, le calcul différentiel de fonctions de plusieurs variables, ainsi que les lois géométrique et de Bernoulli en probabilités.

Ce sujet introduit-il la méthode du gradient conjugué ?

Oui, la partie III construit, à partir d'une famille de vecteurs A-conjugués, les objets qui interviennent dans la méthode du gradient conjugué pour résoudre un système linéaire, sans toutefois nommer explicitement cette méthode.

Pas de description pour le moment