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Epreuve de Mathématiques A

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
À rendre en fin d'épreuve avec la copie une feuille de papier millimétré

Partie I : Etude d'une projection orthogonale

Dans cette partie, on travaille dans l'espace euclidien orienté ℝ^3, muni du produit scalaire usuel, noté ⟨, ⟩.Ondésignepar(ı⃗, ȷ⃗, k⃗ ) la base orthonormée directe canonique de ℝ^3. On considère le vecteur
n⃗ = 1/(√2)(ı⃗ + k⃗)
On désigne par D la droite vectorielle engendrée par n⃗ et F le plan vectoriel orthogonal à D.
  1. On note p_D la projection orthogonale sur D et A sa matrice dans la base canonique.
    (a) Que vaut A^2 ?
    (b) Que vaut, pour tout u⃗ ∈ ℝ^3, ⟨u⃗ − p_D(u⃗), n⃗⟩ ?
    (c) En déduire que, pour tout u⃗ ∈ ℝ^3, p_D(u⃗) = ⟨u⃗, n⃗⟩n⃗.
    (d) Calculer p_D(n⃗).
    (e) Rappeler la définition d'un vecteur propre.
    (f) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de p_D.
    (g) L'endomorphisme p_D est-il diagonalisable ?
    (h) Vérifier que
A = (1/2, 0, 1/2; 0, 0, 0; 1/2, 0, 1/2)
  1. Reprendre les mêmes questions pour p_F, projection orthogonale sur F, et déterminer sa matrice B dans la base canonique (on pourra dans un premier temps exprimer p_F en fonction de p_D ).

Partie II : Une formule de changement de base

On considère toujours l'espace euclidien orienté ℝ^3, rapporté au repère orthonormé direct (ı⃗, ȷ⃗, k⃗), et on reprend les notations de la partie I. Soit n⃗ = 1/(√2)(ı⃗ + k⃗), on note D la droite engendrée par n⃗ et F le plan orthogonal à D, et on note p_D (resp. p_F ) la projection orthogonale sur D (resp. sur F ).
  1. On pose I⃗ = (p_F(k⃗))/(‖p_F(k⃗)‖), et on définit le vecteur J⃗ de sorte que ( I⃗, J⃗, n⃗ ) soit une base orthonormée indirecte de ℝ^3. Sans calculer les coordonnées de I⃗ et J⃗, montrer que
J⃗ ∈ F ∩ Vect(ı⃗, ȷ⃗).
  1. On note P la matrice de passage de la base (ı⃗, ȷ⃗, k⃗) vers la base (I⃗, J⃗, n⃗). Après avoir rappelé ce que représentent les colonnes de P, donner l'expression de P.
  2. En déduire les expression de ı⃗, ȷ⃗, k⃗ en fonction de I⃗, J⃗ et n⃗, puis celles de p_F(ı⃗), p_F(ȷ⃗), p_F(k⃗) en fonction de I⃗ et J⃗.
  3. Soit u⃗ un vecteur de coordonnées ( x, y, z ) dans la base ( ı⃗, ȷ⃗, k⃗ ). Son image par p_F a pour coordonnées ( X, Y ) dans la base ( I⃗, J⃗ ) de F. Donner l'expression de X et Y en fonction de x, y et z.

Partie III : Projections orthogonales de l'hélice

On se place désormais dans l'espace affine euclidien orienté ℝ^3, rapporté au repère orthonormé direct ( O; ı⃗, ȷ⃗, k⃗ ). On considère dans cet espace l'hélice circulaire ( H ), dont une représentation paramétrique est
{x(t), = √2cost; y(t), = √2sint, t ∈ ℝ; z(t), = 2√2t
On reprend les notations de la partie précédente : n⃗ = 1/(√2)(ı⃗ + k⃗); on désigne par p la projection affine orthogonale sur le plan passant par l'origine et de vecteur normal n⃗. On note ( C ) l'image de (H) par la projection p.
  1. On rappelle que D est la droite vectorielle engendrée par n⃗, F est le plan vectoriel orthogonal à D, et p_D et p_F sont les projections orthogonales sur D et F respectivement. On définit les vecteurs I⃗ et J⃗ comme dans la partie précédente.
    (a) Montrer qu'une représentation paramétrique de la courbe (C) dans le repère ( O; I⃗, J⃗ ) est donnée par
{X(t) = 2t − cos(t); Y(t) = √2sin(t), t ∈ ℝ
(b) Montrer que tous les points de la courbe ( C ) sont réguliers.
(c) Montrer que l'on peut réduire l'intervalle d'étude à [ − π/2, π/2].
Comment se déduit alors le reste de la courbe à partir de cette restriction ?
(d) Etudier les variations de X et de Y pour t ∈ [ − π/2, π/2].
(e) Tracer sur le document-réponse joint la courbe ( C ) pour t ∈ [ − π/2, π/2 + 3π]. La courbe devra être tracée à l'échelle 1 .

Partie IV : Caractérisations des projecteurs orthogonaux

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On travaille maintenant dans l'espace euclidien ℝ^n muni du produit scalaire usuel, noté toujours ⟨, ⟩.Ondésignepar‖‖ la norme euclidienne de ℝ^n. On note ( e⃗_1, …, e⃗_n ) la base canonique de ℝ^n. On appelle projecteur un endomorphisme p de ℝ^n vérifiant p ∘ p = p.
  1. Soit p un projecteur orthogonal. En écrivant, pour tout vecteur u⃗ de ℝ^n, u⃗ = p(u⃗) + (u⃗ − p(u⃗)), montrer que
∀u⃗ ∈ ℝ^n, ‖p(u⃗)‖ ≤ ‖u⃗‖
  1. Soit p un projecteur de ℝ^n.
    (a) Montrer que
ℝ^n = Imp ⊕ Kerp
(b) Montrer que p est la projection sur Imp parallèlement à Kerp.
3. Soit p un projecteur de ℝ^n vérifiant
∀u⃗ ∈ ℝ^n, ‖p(u⃗)‖ ≤ ‖u⃗‖
(a) Soit x⃗ ∈ Imp et y⃗ ∈ Kerp. En considérant le vecteur u⃗ = x⃗ + λy⃗, λ ∈ ℝ, montrer que
∀λ ∈ ℝ, λ^2‖y⃗‖^2 + 2λ⟨x⃗, y⃗⟩ ≥ 0
En déduire que ⟨x⃗, y⃗⟩ = 0.
(b) Montrer que p est un projecteur orthogonal.
4. Soit f un endomorphisme de ℝ^n. On définit l'application f^∗ par
∀x⃗ ∈ ℝ^n, f^∗(x⃗) = ∑_(i = 1)^n⟨f(e⃗_i), x⃗⟩e⃗_i
(a) Vérifier que f^∗ est un endomorphisme de ℝ^n.
(b) En exprimant x⃗ dans la base (e⃗_1, …, e⃗_n), montrer que, pour tout (x⃗, y⃗) ∈ ℝ^n × ℝ^n,
⟨f(x⃗), y⃗⟩ = ⟨x⃗, f^∗(y⃗)⟩.
(c) Soit g un endomorphisme de ℝ^n vérifiant
∀(x⃗, y⃗) ∈ ℝ^n × ℝ^n, ⟨f(x⃗), y⃗⟩ = ⟨x⃗, g(y⃗)⟩
Montrer que g = f^∗.
5. Soit p un projecteur orthogonal.
(a) Montrer que, pour tous (x⃗, y⃗) ∈ ℝ^n × ℝ^n, ⟨p(x⃗), y⃗⟩ = ⟨p(x⃗), p(y⃗)⟩.
(b) En déduire que p = p^∗.
6. Soit p un projecteur.
(a) Montrer que Imp^∗ ⊂ (Kerp)^⊥.
(b) Soit y⃗ ∈ (Kerp)^⊥. Montrer que, pour tout x⃗ ∈ ℝ^n, ⟨x⃗ − p(x⃗), y⃗⟩ = 0.
En déduire que y⃗ = p^∗(y⃗) puis que (Kerp)^⊥ ⊂ Imp^∗.
(c) Montrer que si p = p^∗, alors p est un projecteur orthogonal.

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