Banque PT Mathématiques A PT 2012Sujet et corrigé
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Endomorphismes qui commutent, stabilité des sous-espaces propres et diagonalisation simultanéeAfficher ou masquer la section
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Endomorphismes qui commutent, stabilité des sous-espaces propres et diagonalisation simultanée
Le problème étudie les endomorphismes qui commutent entre eux, en lien avec la stabilité des sous-espaces propres. Une question préliminaire établit que le sous-espace propre d'un endomorphisme est stable par tout endomorphisme qui commute avec lui. La première partie applique ce résultat à un exemple explicite en dimension 3 pour construire une base de trigonalisation simultanée.
- 1Question préliminaire : stabilité des sous-espaces propresMontrer que si deux endomorphismes commutent, tout sous-espace propre de l'un est stable par l'autre.
- 2Partie I : exemple de trigonalisation simultanée en dimension 3Étudier deux endomorphismes explicites de R^3 qui commutent, déterminer leurs éléments propres, et construire une base commune dans laquelle leurs matrices sont triangulaires supérieures.
- 3Partie II : cas d'un endomorphisme à valeurs propres distinctesMontrer que tout endomorphisme qui commute avec un endomorphisme à n valeurs propres distinctes s'écrit comme un polynôme en cet endomorphisme, et appliquer ce résultat à la détermination des matrices racines carrées d'une matrice symétrique donnée.
- 4Partie III : rotations et réflexions de l'espace euclidienÉtudier l'action d'une rotation sur un vecteur quelconque de l'espace, puis la composée de deux réflexions et la condition de commutation entre elles, à travers des exemples explicites.
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Épreuve de Mathématiques A
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
L'usage de calculatrices est interdit.
AVERTISSEMENT
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non encadrés et non justifiés ne seront pas pris en compte.
Question préliminaire
Soit
E un espace vectoriel sur
ℝ , et
f et
g deux endomorphismes de
E tels que
Soit
λ une valeur propre de
f, E_λ(f) le sous-espace propre associé. Montrer que le sous-espace
E_λ(f) est stable par
g c'est à dire
Partie I
Soient
f et
g les endomorphismes de
ℝ^3 dont les matrices dans la base canonique sont respectivement
- Montrer que
f etg commutent. - Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de
f etg . Les matricesA etB sont-elles diagonalisables ? trigonalisables ? - On note
e_1 un vecteur propre deg associé à la valeur propre 2 . En utilisant la question préliminaire, déterminer un vecteure_2 non colinéaire àe_1 tel que le sousespaceV ect(e_1, e_2) soit stable parf et parg .
En déduire qu'il existe une base deE dans laquelle les matrices def etg sont triangulaires supérieures.
Partie II
Soit
E un espace vectoriel sur
ℂ de dimension
n, n ∈ ℕ^∗ , et soit
f un endomorphisme de
E admettant
n valeurs propres distinctes
λ_1, …, λ_n .
- Montrer qu'il existe une base
(e_1, …, e_n) deE constituée de vecteurs propres def . - Soit
(a_0, …, a_d) ∈ ℂ^(d + 1) . On considère le polynômeP défini par
Soit
u l'endomorphisme de
E défini par
avec
f^0 = Id l'application identité de
E , et pour
k ≥ 1, f^k = f ∘ ⋯ ∘ f est la
k -ième composée de
f .
(a) Montrer quef et
u commutent.
(b) Exprimer les valeurs propres deu en fonction de celles de
f et montrer que
u est diagonalisable dans la même base que
f .
3. On suppose dans cette question uniquement queE = ℂ^5 . On note
I_5 la matrice identité d'ordre 5. Soit
(a) Montrer que
(b) Exprimer les valeurs propres de
3. On suppose dans cette question uniquement que
(a) Déterminer les valeurs propres (éventuellement complexes) de
A .
(b) Trouver 5 nombres réelsa_0, a_1, a_2, a_3, a_4 tels que
(b) Trouver 5 nombres réels
(c) En déduire les valeurs propres (éventuellement complexes) de
B .
4. On revient à un espaceE général. Soit
g un endomorphisme de
E qui commute avec
f .
(a) Quelle est la dimension deE_(λ_i) , sous-espace propre de
f associé à la valeur propre
λ_i ?
(b) En déduire, en se servant également de la question préliminaire que pour touti ∈ {1, …, n}, e_i est également un vecteur propre de
g . On notera
μ_i la valeur propre associée.
(c)g est-il diagonalisable ?
(d) On noteℂ_(n − 1)[X] l'ensemble des polynômes à coefficients complexes de degré strictement inférieur à
n et on considère l'application
4. On revient à un espace
(a) Quelle est la dimension de
(b) En déduire, en se servant également de la question préliminaire que pour tout
(c)
(d) On note
i. Vérifier que l'application
φ est linéaire.
ii. Vérifier que son noyau est réduit au polynôme nul.
iii. Montrer qu'il existe un unique polynômeP de degré strictement inférieur à
n tel que
ii. Vérifier que son noyau est réduit au polynôme nul.
iii. Montrer qu'il existe un unique polynôme
(e) Déduire des questions précédentes qu'il existe un polynôme
P de degré strictement inférieur à
n tel que
g = P(f) .
5. On considère la matrice
5. On considère la matrice
(a) Déterminer une matrice orthogonale
Q telle que
Q^(− 1)MQ soit diagonale.
(b) On cherche une matriceN telle que
N^2 = M . Montrer en utilisant les résultats de la question 4 que si une telle matrice
N existe, alors,
(b) On cherche une matrice
-
Q^(− 1)NQ est diagonale. - Il existe deux réels
α etβ tels que
où
I_2 désigne la matrice identité d'ordre 2 .
(c) Déterminer toutes les matricesN vérifiant
N^2 = M .
(c) Déterminer toutes les matrices
Partie III
On considère l'espace euclidien
ℝ^3 orienté muni d'un repère orthonormé direct
(i, j, k) . On note
⟨u, v⟩ le produit scalaire usuel dans
ℝ^3 des vecteurs
u et
v .
- On considère la rotation
r d'axe dirigé par le vecteur unitairea et d'angleθ .
(a) Rappeler l'expression générale de l'imager(u) d'un vecteuru deℝ^3 orthogonal àa .
(b) Montrer que tout vecteurv deℝ^3 s'écrit de manière unique
avec
a et
u orthogonaux.
(c) En déduire l'expression générale de l'imager(v) d'un vecteur
v quelconque de
ℝ^3 .
2. On considèref la réflexion par rapport au plan d'équation
x + y = 0 et
g la réflexion par rapport au plan d'équation
y + z = 0 .
(a) Quelle est la nature def ∘ g ? Préciser ses éléments caractéristiques.
(b) Donner la matrice def ∘ g dans la base canonique.
(c) Les endomorphismesf et
g commutent-ils ?
(d) Déterminer les valeurs propres (complexes) def ∘ g et de
g ∘ f .
3. On considère l'endomorphisme deℝ^3 dont la matrice dans la base canonique est
(c) En déduire l'expression générale de l'image
2. On considère
(a) Quelle est la nature de
(b) Donner la matrice de
(c) Les endomorphismes
(d) Déterminer les valeurs propres (complexes) de
3. On considère l'endomorphisme de
Montrer que cet endomorphisme est une rotation dont on précisera les éléments caractéristiques.
4. Soita un vecteur non nul de
ℝ^3 et
λ un réel strictement positif. On considère l'application
φ de
ℝ^3 dans
ℝ^3 définie par
4. Soit
(a) Vérifier que
φ est un endomorphisme.
(b) Pour quelle(s) valeur(s) deλ l'application
φ est-elle une isométrie?
(c) Reconnaître alorsφ .
(b) Pour quelle(s) valeur(s) de
(c) Reconnaître alors
Questions fréquentes
4 questionsSur quels chapitres porte ce sujet de maths A banque PT 2012 ?Afficher ou masquer la section
Questions fréquentes
4 questionsSur quels chapitres porte ce sujet de maths A banque PT 2012 ?
Sur quels chapitres porte ce sujet de maths A banque PT 2012 ?
Il porte sur la réduction des endomorphismes, en particulier la stabilité des sous-espaces propres pour des endomorphismes qui commutent, la trigonalisation simultanée et les isométries de l'espace euclidien.
Ce sujet demande-t-il de connaître les rotations et réflexions de l'espace ?
Oui, la troisième partie étudie l'action des rotations et des réflexions de l'espace euclidien de dimension 3, ainsi que la condition pour que deux telles applications commutent.
Les parties de ce sujet sont-elles indépendantes ?
La question préliminaire est utilisée dans les parties I et II ; la partie III, consacrée aux isométries de l'espace, est plus indépendante du reste du problème.
Ce sujet permet-il de déterminer les racines carrées d'une matrice ?
Oui, la partie II utilise la commutation avec un endomorphisme diagonalisable à valeurs propres distinctes pour déterminer toutes les matrices N vérifiant N² égale une matrice symétrique donnée.
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