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Matrices entières inversibles, matrices d'ordre fini dans SL2(Z) et polynômes orthogonaux de Legendre
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La partie A étudie l'inversibilité des matrices 2x2 à coefficients entiers et le groupe des matrices de déterminant 1. La partie B étudie les matrices entières d'ordre fini (dont une puissance vaut l'identité), montre que leurs valeurs propres sont de module 1, en déduit les valeurs possibles de leur trace et de leur polynôme caractéristique, puis détermine un exposant universel annulant toutes ces matrices. La partie C, indépendante, construit les polynômes orthogonaux de Legendre sur [-1,1] et les utilise pour majorer uniformément un polynôme de norme donnée.

  1. 1Partie A : matrices entières inversiblesOn établit la condition d'inversibilité d'une matrice 2x2 à coefficients entiers avec inverse également à coefficients entiers, en lien avec son déterminant, et on étudie le groupe SL2(Z) des matrices de déterminant 1.
  2. 2Partie B : matrices entières d'ordre finiOn étudie les matrices A de M2(Z) telles qu'une puissance de A soit l'identité, on montre que leurs valeurs propres sont de module 1, on en déduit les traces et polynômes caractéristiques possibles, et on détermine un exposant p2 universel tel que A^p2 = I2 pour toute telle matrice.
  3. 3Partie C : polynômes orthogonaux de Legendre et majoration uniformeOn construit par le procédé de Gram-Schmidt une base orthonormée de polynômes de degré au plus 3 pour le produit scalaire intégral sur [-1,1], puis on utilise l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour majorer uniformément tout polynôme de norme 1 sur cet intervalle.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Epreuve de Mathématiques A

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
Les parties A et B sont très largement indépendantes. La partie C l'est totalement.
On désigne par n un entier naturel strictement supérieur à 1 et H l'un des ensembles de nombres ℤ ou ℝ. On note M_n(H) l'anneau des matrices carrées de dimension n, à coefficients dans H et on désigne par I_n la matrice identité de M_n(H).

PARTIE A

  1. A quelle condition nécessaire et suffisante portant sur son déterminant, une matrice A de M_2(ℝ) est-elle inversible? Exprimer alors det(A^(− 1)) en fonction det(A).
  2. Déterminer les inverses des matrices suivantes :
A_1 = (2, 3; 1, 2); A_2 = (4, 7; 3, 5); A_3 = (4, 6; 3, 5).
  1. Soit A = (a, c; b, d) ∈ M_2(ℤ); (a, b, c, d) ∈ ℤ^4.
Montrer que A admet une matrice inverse A^(− 1) et que A^(− 1) est, elle aussi, un élément de M_2(ℤ) si, et seulement si, det(A) ∈ { − 1, 1}. Donner alors l'expression de A^(− 1) en fonction de a, b, c, d.
On notera désormais SL_2(ℤ) le sous-ensemble de M_2(ℤ), constitué des matrices M telles que det(M) = 1.
4. Déterminer les couples (b, c) ∈ ℤ^2 tels que A_4 = (5, c; b, 1) ∈ SL_2(ℤ).

PARTIE B

On désignera par C_2(ℤ) l'ensemble des matrices A de M_2(ℤ) telles qu'il existe un entier naturel p, non nul, vérifiant A^p = I_2.
Pour chaque matrice A de C_2(ℤ), on admet qu'il existe un plus petit entier naturel q non nul tel que A^q = I_2, on le note h(A); il est appelé ordre de la matrice A.
Soit A = (a, c; b, d) une matrice de C_2(ℤ), d'ordre h(A) = p.
  1. Montrer que A admet une matrice inverse A^(− 1) appartenant à M_2(ℤ).
En déduire les valeurs possibles de det(A).
2. Vérifier que A^(− 1) ∈ C_2(ℤ). Comparer h(A) et h(A^(− 1)).
3. On notera λ_1 et λ_2 les valeurs propres complexes, éventuellement confondues, de A. Montrer que λ_1 et λ_2 sont de module 1.
4. Exprimer en fonction de λ_1 et λ_2 la trace, Tr(A), de la matrice A.
5. En déduire que Tr(A) ∈ { − 2, − 1, 0, 1, 2}.
6. Montrer que les matrices C = (2, − 3; 1, − 2) et D = (0, − 1; 1, − 1) appartiennent à C_2(ℤ) et déterminer leurs ordres. La matrice produit CD appartient-elle à C_2(ℤ) ?
On note χ_A(X) = det(XI_2 − A) le polynôme caractéristique de la matrice A.
7. Exprimer χ_A(X) en fonction de det(A) et deTr(A).
8. Vérifier alors qu'il y a 10 polynômes caractéristiques possibles; déterminer dans chacun des cas les valeurs propres de A. En utilisant alors B.3, vous excluerez 4 de ces cas.
9. Dans les six cas restants, montrer que A est diagonalisable dans ℂ et déterminer l'ordre de A.
10. En déduire l'existence et la valeur du plus petit entier naturel non nul p_2 tel que :
∀A ∈ C_2(ℤ) A^(p_2) = I_2.

PARTIE C

Dans cette partie, les candidats veilleront à respecter scrupuleusement l'ordre des questions.
On désigne par E l'espace vectoriel ℝ_3[X] des polynômes à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à 3 . On considère l'application φ définie par :
∀(P, Q) ∈ E × E φ(P, Q) = ∫_(− 1)^1 P(t)Q(t)dt
  1. Montrer que φ est un produit scalaire sur E.
  2. Montrer qu'il existe une base orthonormale ( π_0, π_1, π_2, π_3 ) de E et une seule telle que :
∀i ∈ {0, 1, 2, 3} Vect(π_0, ⋯, π_i) = Vect(1, X, ⋯, X^i) et φ(π_i, X^i) > 0
puis déterminer les quatres polynômes π_0, π_1, π_2, π_3.
3. Soit P ∈ E tel que ∫_(− 1)^1[P(t)]^2 dt = 1.
(a) Montrer qu'il existe (α_0, α_1, α_2, α_3) ∈ ℝ^4 tels que P = ∑_(i = 0)^3 α_i π_i.
(b) Sans déterminer les réels α_i, déterminer ∑_(i = 0)^3 α_i^2.
(c) i. Soient (a, b, c, d) et (a^′, b^′, c^′, d^′) deux quadruplets de réels. Montrer que :
|aa^′ + bb^′ + cc^′ + dd^′| ≤ √(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)√(a^(′2) + b^(′2) + c^(′2) + d^(′2))
ii. En déduire que :
∀x ∈ ℝ |P(x)| ≤ √(∑_(i = 0)^3[π_i(x)]^2⎷).
(d) En étudiant, pour tout k de {0, 1, 2, 3}, Sup{π_k(x), − 1 ≤ x ≤ 1}, montrer :
Sup{|P(x)|, |x| ≤ 1} ≤ 2√2

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte ce sujet de maths A banque PT 2011 ?
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Sur quels chapitres porte ce sujet de maths A banque PT 2011 ?

Il porte sur l'algèbre linéaire des matrices 2x2 (déterminant, valeurs propres, polynôme caractéristique) et sur les espaces euclidiens (produit scalaire, orthonormalisation, inégalité de Cauchy-Schwarz).

Quelles parties sont indépendantes dans ce sujet ?

L'énoncé précise que les parties A et B sont très largement indépendantes, tandis que la partie C est totalement indépendante des deux premières.

Qu'est-ce qu'une matrice d'ordre fini étudiée dans la partie B ?

C'est une matrice A à coefficients entiers telle qu'il existe un entier p non nul vérifiant A^p égale la matrice identité ; le sujet montre que ses valeurs propres sont de module 1 et détermine un exposant universel valable pour toutes ces matrices.

Que sont les polynômes de Legendre construits dans la partie C ?

Ce sont les polynômes obtenus par orthonormalisation de la base canonique (1, X, X², X³) pour le produit scalaire intégral sur [-1,1], utilisés ici pour établir une inégalité de majoration uniforme sur les polynômes de norme 1.

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