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Mathématiques A, banque PT 2007 : polynômes de Tchebychev, normes sur les polynômes et endomorphisme différentiel
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Le sujet étudie la suite des polynômes de Tchebychev T_k, définis par récurrence, et démontre leurs propriétés (degré, parité, racines, lien avec cos(n theta)). La partie B compare deux normes sur les polynômes, la norme uniforme sur [-1,1] et la norme sur les coefficients, et les relie à l'aide d'un produit scalaire construit à partir des polynômes de Tchebychev. La partie C étudie un endomorphisme différentiel sur les polynômes de degré au plus n, dont les polynômes de Tchebychev sont précisément les vecteurs propres.

  1. 1Partie A : polynômes de TchebychevOn étudie le degré, la parité, les valeurs particulières et les racines des polynômes T_n définis par récurrence et caractérisés par T_n(cos theta) = cos(n theta).
  2. 2Partie B : normes sur les polynômes et produit scalaireOn compare la norme uniforme sur [-1,1] et la norme sur les coefficients des polynômes, à l'aide d'inégalités faisant intervenir les polynômes de Tchebychev, et on construit un produit scalaire pour lequel ces polynômes sont orthogonaux.
  3. 3Partie C : un endomorphisme différentielOn étudie l'endomorphisme Phi(P) = (X^2-1)P'' + XP' sur les polynômes de degré au plus n, sa matrice, sa trace, ses valeurs propres et ses sous-espaces propres.

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* Banque filière PT **

Epreuve de Mathématiques A

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
On désigne par ℝ[X] l'ensemble des polynômes à coefficients dans ℝ.
On note ℝ_n[X], n ∈ ℕ, l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n. On identifiera un polynôme P de ℝ[X] à la fonction polynomiale associée sur ℝ. Enfin, P^′ et P^(′′) désigneront respectivement les polynômes dérivés de P et P^′.
Soit (T_k)_(k ∈ ℕ) la suite de polynômes définie par :
T_0 = 1; T_1 = X; ∀k ∈ ℕ^⋆ T_(k + 1) = 2XT_k − T_(k − 1).
Dans tout le problème et sauf avis contraire, n désigne un entier naturel.

PARTIE A

  1. Déterminer les polynômes T_2, T_3 et T_4.
  2. Quel est le degré de T_n et son coefficient dominant?
  3. Étudier la parité de T_n.
  4. Calculer T_n(1), T_n(− 1) et T_n(0).
  5. Montrer que T_n est le seul polynôme qui vérifie :
∀θ ∈ ℝ T_n(cosθ) = cos(nθ).
  1. Dans cette question uniquement, on suppose que l'entier n est non nul.
    (a) Pour quelles valeurs de θ a-t-on : T_n(cosθ) = 0 ?
    (b) Montrer alors que T_n possède n racines réelles distinctes dans [ − 1, 1]. Conclure.
  2. Déterminer les racines de T_n^′.

PARTIE B

On définit les applications L et N de ℝ[X] vers ℝ_+par :
∀P ∈ ℝ[X], P(x) = ∑_(k = 0)^n a_k x^k, L(P) = sup_(t ∈ [ − 1, 1])|P(t)|; N(P) = max_(0 ≤ k ≤ n)|a_k|.
On considère enfin l'application φ de ℝ[X]^2 vers ℝ définie par :
∀(P, Q) ∈ ℝ[X]^2 φ(P, Q) = ∫_0^π P(cosθ)Q(cosθ)dθ
  1. Soient P et Q deux polynômes et λ ∈ ℝ; montrer les propriétés suivantes :
L(P) = 0 ⟺ P = 0, et, N(P) = 0 ⟺ P = 0;; L(λP) = |λ|L(P), et, N(λP) = |λ|N(P);; L(P + Q) ≤ L(P) + L(Q), et, N(P + Q) ≤ N(P) + N(Q).
  1. Montrer que γ_n = n + 1 vérifie :
∀P ∈ ℝ_n[X] L(P) ≤ γ_n N(P)
  1. Donner un exemple de polynôme Q ∈ ℝ_n[X] tel que :
L(Q) = γ_n N(Q)
Que peut-on en déduire?
4. Calculer L(T_n).
5. Montrer que φ est un produit scalaire sur ℝ[X].
6. Soit n et m deux entiers naturels distincts. Calculer φ(T_n, T_n) et φ(T_n, T_m).
7. Soit P ∈ ℝ_n[X], montrer qu'il existe un unique (n + 1)-uplet (α_0, ⋯, α_n) ∈ ℝ^(n + 1) tel que
P = ∑_(k = 0)^n α_k T_k
Vérifier alors que pour tout entier k ∈ {0, 1, ⋯, n} on a :
|α_k| ≤ 2L(P)
  1. Dans cette question uniquement, l'entier n est strictement positif. Montrer que :
N(T_(n + 1)) ≤ 2N(T_n) + N(T_(n − 1)).
  1. On pose q = 1 + √2. Montrer que :
∀n ∈ ℕ N(T_n) ≤ q^n.
  1. En déduire que l'on a :
∀P ∈ ℝ_n[X] N(P) ≤ q^(n + 1)√2L(P).

PARTIE C

On définit l'application Φ de ℝ_n[X] dans lui-même par :
∀P ∈ ℝ_n[X] Φ(P) = (X^2 − 1)P^(′′) + XP^′.
  1. Montrer que Φ est un endomorphisme de ℝ_n[X].
  2. Pour tout entier k ∈ {0, 1, ⋯, n}, déterminer Φ(X^k).
  3. En déduire ker(Φ).
  4. Déterminer la matrice de Φ dans la base canonique ( 1, X, X^2, ⋯, X^n ) de ℝ_n[X].
  5. Calculer la trace de Φ.
  6. Quelles sont les valeurs propres de Φ ? L'endomorphisme Φ est-il diagonalisable?
  7. Déterminer les sous-espaces propres de Φ.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte ce sujet de mathématiques A banque PT 2007 ?
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Sur quels chapitres porte ce sujet de mathématiques A banque PT 2007 ?

Il porte sur les suites de polynômes définies par récurrence, les normes sur un espace vectoriel, le produit scalaire et la réduction des endomorphismes.

Les trois parties sont-elles indépendantes ?

Non, la partie B et la partie C utilisent toutes deux les polynômes de Tchebychev T_n définis et étudiés dans la partie A.

Que sont les polynômes de Tchebychev étudiés dans ce sujet ?

Ce sont les polynômes T_n définis par la récurrence T_{k+1} = 2X T_k - T_{k-1}, caractérisés par l'identité T_n(cos theta) = cos(n theta) pour tout réel theta.

Quel est le lien entre les parties B et C ?

La partie C montre que les polynômes de Tchebychev sont les vecteurs propres de l'endomorphisme Phi, ce qui éclaire les inégalités de normes établies en partie B à l'aide de ces mêmes polynômes.

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