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* Banque filière PT *

Epreuve de Mathématiques A

Durée 4 h

L'usage de calculatrices est interdit

Si , au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Dans tout le problème, on se place dans le plan euclidien ℝ^2 orienté. On considère une courbe plane paramétrée t ⟼ c(t), t ∈ I ( I intervalle de ℝ ), de classe C^1, régulière (^′(t) ≠ 0→ en tout point de la courbe). On note τ⃗(t) le vecteur tangent unitaire de c au point de paramètre t et n⃗(t) le vecteur obtenu après rotation d'angle π/2 du vecteur τ⃗(t).
On note ‖ ⋅ ‖ la norme euclidienne sur ℝ^2. On note B(x, r) la boule ouverte de centre x et de rayon r associée à la norme euclidienne. On note u⃗ ⋅ v⃗ le produit scalaire usuel des vecteurs u⃗ et v⃗ du plan. Enfin, si A est un point du plan et si u⃗ est un vecteur du plan, on note B = A + u⃗ l'unique point B tel que AB^(→−) = u⃗; autrement dit, B est l'image de A par la translation de vecteur u⃗.

PARTIE I
Courbes équidistantes

On fixe un réel ε et l'on pose, pour tout t ∈ I,
c_ε(t) = c(t) + εn⃗(t).
La courbe c_ε est appelée courbe équidistante à la courbe c.
  1. On suppose que c est une parabole d'équation cartésienne y = x^2.
    (a) Donner une représentation paramétrique de c de la forme (x(t), y(t)), de sorte que lim_(t → + ∞)x(t) = + ∞.
    (b) Calculer c_(1/2) et c_1.
    (c) Calculer la développée c~ de c.
    (d) Dessiner les quatre courbes c, c~, c_(1/2) et c_1 sur le même graphique. On étudiera en particulier les branches infinies et les tangentes aux points singuliers des différentes courbes.
  2. On suppose que c est de classe C^2, paramétrée par son abscisse curviligne s et de longueur λ(c) finie. On note γ(s) la courbure de c au point d'abscisse s.
    (a) Rappeler dans ce cas le lien entre τ⃗, n⃗ et γ.
    (b) Montrer qu'il existe une fonction κ (que l'on déterminera) telle que
(dOc_ε^(→−))/(ds) = (1 − εκ(s))τ⃗(s).
(c) On pose f(ε) = λ(c_ε).
Donner une expression de f(ε) en fonction de γ(s).
(d) On suppose que la courbure γ est bornée. Montrer que f est dérivable au voisinage de 0 et que
f^′(0) = − ∫_0^(λ(c))γ(s)ds

PARTIE II

Boule centrée sur une courbe

On suppose ici I = [a, b] avec a < b. On considère un réel ε > 0 fixé. On se fixe t ∈ [a, b] et p un point de la boule B(c(t), ε).
  1. On considère la fonction f : u ⟼ ‖c(u) − p‖^2. Montrer que f est de classe C^1 sur [a, b] et calculer f^′(u).
  2. Montrer que f est minorée et atteint son minimum en au moins un point t_0 ∈ [a, b].
  3. On suppose dans cette question que t_0 ≠ a et t_0 ≠ b.
    (a) Que peut-on dire de f^′(t_0) ?
    (b) Montrer que c(t_0) − p est orthogonal à τ⃗(t_0).
    (c) Montrer qu'il existe un réel r tel que
p = c(t_0) + rn⃗(t_0)
avec |r| < ε.
4. Vérifier rapidement que le résultat précédent reste encore vrai si t_0 = a et f^′(a) = 0 ou bien si t_0 = b et f^′(b) = 0.
5. On suppose dans cette question que t_0 = a et f^′(a) ≠ 0.
(a) Que peut-on dire de f^′(a) ?
(b) Montrer que l'on a nécessairement p ≠ c(a).
(c) On pose w⃗_a = (c(a)p^(→−))/(‖c(a)p^(→−)‖). Montrer que w⃗_a ⋅ τ⃗(a) < 0.
(d) Montrer qu'il existe un vecteur unitaire u⃗ et un réel r tels que
u⃗ ⋅ τ⃗(a) < 0 0 < r < ε p = c(a) + ru⃗
  1. On suppose dans cette question que t_0 = b et f^′(b) ≠ 0.
Montrer qu'il existe un vecteur unitaire u⃗ et un réel r tels que
u⃗ ⋅ τ⃗(b) > 0 0 < r < ε p = c(b) + ru⃗

PARTIE III

Voisinage tubulaire d'une courbe

On suppose toujours I = [a, b]. On se fixe un réel ε > 0.
On dit que la suite (p_k)_(k ∈ ℕ) de points du plan vérifie l'hypothèse (H1) si, pour tout k ∈ ℕ, il existe un réel t_k ∈ [a, b] et un réel r_k ∈ ] − ε, ε[ tels que
p_k = c(t_k) + r_k n⃗(t_k)
vérifie l'hypothèse ( H2 ) si pour tout k ∈ ℕ, il existe un réel r_k ∈ ]0, ε[ et un vecteur unitaire u⃗_k tels que
u⃗_k ⋅ τ⃗(a) < 0 p_k = c(a) + r_k u⃗_k
vérifie l'hypothèse ( H3 ) si pour tout k ∈ ℕ, il existe un réel r_k ∈ ]0, ε[ et un vecteur unitaire u⃗_k tels que
u⃗_k ⋅ τ⃗(b) > 0 p_k = c(b) + r_k u⃗_k
On définit le voisinage tubulaire U_ε(c) de rayon ε de la courbe c par la relation :
U_ε(c) = ⋃_(t ∈ [a, b])B(c(t), ε)
On dit qu'un point p appartient au bord de U_ε(c) s'il vérifie les deux conditions :
  • p ∉ U_ε(c),
    -- il existe une suite (p_k)_(k ∈ ℕ) de points de U_ε(c) qui converge vers p.
  1. (a) Si la courbe c est le cercle de centre O et de rayon R, décrire l'ensemble U_ε(c) et son bord. (Il pourra être utile d'étudier plusieurs cas selon la position de ε par rapport à R )
    (b) Même question si c est le segment [0, 1] de l'axe des abscisses.
  2. Montrer que x ∈ U_ε(c) ⟺ ∃t ∈ [a, b], ‖x − c(t)‖ < ε.
  3. Dans toute la suite de cette partie, on considère un point p du bord de U_ε(c) et une suite (p_k)_(k ∈ ℕ) de points de U_ε(c) qui converge vers p. En utilisant les résultats de la partie II, montrer que l'on peut extraire de la suite (p_k)_(k ∈ ℕ) une suite (p_(φ(k)))_(k ∈ ℕ) qui vérifie l'une des conditions (H1), (H2) ou (H3). La suite (p_(φ(k)))_(k ∈ ℕ) converge-t-elle?
  4. On suppose dans cette question que la suite (p_k)_(k ∈ ℕ) vérifie l'hypothèse (H1).
    (a) On admet le résultat suivant : Si (x_k)_(k ∈ ℕ) est une suite réelle bornée, alors il existe une suite extraite qui converge.
    Montrer qu'il existe une application φ de ℕ dans ℕ strictement croissante telle que les deux suites (t_(φ(k)))_(k ∈ ℕ) et (r_(φ(k)))_(k ∈ ℕ) convergent.
    (b) Montrer qu'il existe un réel t ∈ [a, b] et un réel r ∈ [ − ε, ε] tels que
p = c(t) + rn⃗(t)
(c) En raisonnant par l'absurde, montrer qu'en fait |r| = ε.
5. On suppose dans cette question que la suite (p_k)_(k ∈ ℕ) vérifie l'hypothèse (H2). Montrer qu'il existe un vecteur unitaire u⃗ tel que u⃗ ⋅ τ⃗(a) ≤ 0 et p = c(a) + εu⃗.
6. On suppose dans cette question que la suite (p_k)_(k ∈ ℕ) vérifie l'hypothèse ( H3 ). Montrer qu'il existe un vecteur unitaire u⃗ tel que u⃗ ⋅ τ⃗(b) ≥ 0 et p = c(b) + εu⃗.
7. Montrer avec soin que le bord de U_ε(r) est inclus dans la réunion
  • des deux courbes équidistantes c_ε et c_(− ε), et
  • des deux demi-cercles de rayon ε et de centres c(a) et c(b), opposés respectivement à τ⃗(a) et − τ⃗(b).
  1. Dessiner une courbe pour laquelle l'inclusion précédente est stricte.

PARTIE IV
Condition nécessaire d'usinabilité

On se fixe toujours un réel ε > 0 et on considère maintenant une courbe paramétrée s ↦ C(s), paramétrée par son abscisse curviligne s ∈ [0, L], de classe C^2, régulière, "fermée, sans point multiple", c'est à dire
− C(0) = C(L),
  • Pour tous s_1, s_2 ∈ ]0, L[, s_1 ≠ s_2 ⟹ C(s_1) ≠ C(s_2).
On suppose que le paramétrage est choisi de sorte que la normale à la courbe soit dirigée vers l'extérieur.
  1. Dessiner une telle courbe en précisant le sens du paramétrage.
  2. Soit m_0 un point d'abscisse s_0 ∈ ]0, L[ tel que C^(′′)(s_0) ≠ 0→, τ⃗_0 le vecteur tangent en ce point, n⃗_0 le vecteur normal en ce point et R_0 le rayon de courbure de la courbe en m_0. Soit m le point de la courbe d'abscisse curviligne s_0 + h. On note (ξ(h), η(h)) les coordonnées du point m dans le repère ( m_0, τ⃗_0, n⃗_0 ).
    (a) Ecrire le développement limité de h ↦ C(s_0 + h) au voisinage de 0 à l'ordre 2 .
    (b) En déduire le développement limité de ξ et η à l'ordre 2 au voisinage de 0 .
    (c) Soit a > 0 et C_a le cercle passant par m_0, de rayon a et de centre Ω = m_0 + an⃗_0. Ecrire l'équation cartésienne de ce cercle dans le repère ( m_0, τ⃗_0, n⃗_0 ) sous la forme
g_a(x, y) = 0.
(d) On pose φ(h) = g_a(ξ(h), η(h)). Ecrire le développement limité à l'ordre 2 de φ au voisinage de 0 .
(e) Montrer que si a ≠ R_0, alors tous les points de C_a restent du même côté de la courbe au voisinage de m_0.
3. Montrer qu'une condition nécessaire pour que la courbe C soit le bord d'un voisinage tubulaire U_ε(c) est que
∀s ∈ I, γ(s) ≥ − 1/ε,
où γ(s) désigne la courbure de la courbe C au point d'absisse curviligne s.
4. Dessiner une courbe C pour laquelle cette condition est vérifiée et qui n'est pas le bord d'un voisinage tubulaire de rayon ε.
Ce problème est issu du problème de l'usinage d'une plaque (de bois ou de métal) avec une fraise de rayon ε. La partie III étudie la forme usinée si le centre de la fraise se déplace le long de la courbe c. La partie IV étudie le problème inverse : étant donnée une forme à usiner, l'usinage est-il possible à l'aide d'une fraise de rayon ε ?

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