Banque PT Mathématiques 2A PT 2004Sujet et corrigé

On note B_0 = {ı_0→, ȷ_0→} la base orthonormée canonique de ℝ^2.
On considère les deux formes quadratiques définies dans la base B_0 par les relations:

où l'on a posé U⃗ = x_0 ı_0→ + y_0 ȷ_0→.
I. 1 Quelles sont respectivement dans la base B_0 les matrices A_1 et A_2 des formes quadratiques q_1 et q_2 ?
I. 2 Calculer A_1 A_2 − A_2 A_1.

On désigne respectivement par u_1 et u_2 les endomorphismes de ℝ^2 définis dans la base B_0 par les matrices A_1 et A_2.

Existe-t-il une base de ℝ^2 dans laquelle les matrices de u_1 et u_2 sont toutes deux diagonales?
I. 3 On note R_0 le repère (O; B_0) de ℝ^2 considéré comme plan euclidien orienté.

Soit a un réel strictement positif.
Soient C_1 et C_2 les coniques dont les équations dans le repère R_0 sont respectivement q_1(U⃗) = 8a^2 et q_2(U⃗) = a^2.

Déterminer la nature, les éléments de symétrie et les asymptotes éventuelles des coniques C_1 et C_2.

Existe-t-il une rotation de ℝ^2 qui amène simultanément les axes de R_0 sur les axes de symétrie de C_1 et C_2 ?
I. 4 Déterminer l'unique angle θ de [0, π/2] tel que la rotation de centre O et d'angle θ transforme le repère R_0 en un repère ( O; {ı_1→, ȷ_1→} ) noté R_1 dont les axes soient les axes de symétrie de C_1.

Quelles sont les équations de C_1 et de C_2 dans ce nouveau repère R_1 ?
I. 5 On note ı_2→ = 2ı_1→, ȷ_2→ = ȷ_1→ puis R_2 le repère ( O; {ı_2→, ȷ_2→} ).

Quelles sont les équations de C_1 et de C_2 dans ce repère R_2 ?
Existe-t-il une base de ℝ^2 dans laquelle les matrices des formes quadratiques q_1 et q_2 soient toutes deux diagonales ?

Les deux parties A et B de cet exercice sont indépendantes.

II.A. 1 Quel est le domaine de définition de la fonction f de la variable réelle définie par

II.A. 2 Quel est le domaine de définition de la fonction g de la variable réelle définie par

II.A. 3 Etudier la dérivabilité de la fonction f sur son domaine de définition (on énoncera avec précision le théorème utilisé).
II.A. 4 Calculer xf^′(x) + f(x) + 1/x sur son domaine de définition.

En déduire la valeur de f(x) en fonction de f(1).
II.A. 5 Pour A supérieur ou égal à 1 , étudier le signe de

Pour t strictement positif et inférieur ou égal à 1 , donner le signe de 2/(√t) + lnt.
Pour ε strictement positif et inférieur ou égal à 1 , a-t-on l'inégalité

On désigne par a, b, α et β quatre constantes réelles vérifiant a < b et α < β.
Soit φ une fonction définie sur [a, b], à valeurs réelles, continue et croissante au sens large.
II.B. 1 Pour n entier strictement positif, on pose h = (b − a)/n.

Démontrer les inégalités :

II.B. 2 Quelles inégalités auraient pu être obtenues si φ avait été décroissante au sens large?
II.B. 3 En déduire en fonction de a, b, n, φ(a) et φ(b) une majoration de la valeur absolue de la différence entre l'intégrale ∫_a^b φ(t)dt et chacune des deux sommes finies intervenant dans les inégalités de la question II.B.1.
II.B. 4 On suppose désormais que φ admet une dérivée seconde sur [a, b] et qu'il existe deux constantes réelles α et β telles que, pour tout t de [a, b], on a

Etudier le signe de la dérivée seconde de la fonction θ définie sur [a, b] par la relation

II.B. 5 En déduire les inégalités

II.B. 6 Avec les notations précédentes, on pose

Donner en fonction éventuellement de a, b, n, α et β, une majoration de

Soit p une constante réelle strictement positive.
III. 1 Représenter la courbe P d'équation polaire

après en avoir étudié les éventuelles branches infinies.
III. 2 Donner une équation cartésienne de P : il pourra être commode d'utiliser l'angle θ/2.
III. 3 Pour θ décrivant l'intervalle ] − π, π[, on associe au point P(θ) de la courbe P le point Q(θ) défini par la relation

et on note L la courbe décrite par le point Q(θ).
Représenter la courbe L.
Comparer la direction de la tangente en P(θ) à P et la direction de la tangente en Q(θ) à L.
III. 4 Au point Q(θ) de L on associe le point R(θ) défini par la relation

Quelle est la nature de la courbe décrite par R(θ) ?
III. 5 On désigne désormais par L la courbe fermée du plan paramétrée par θ obtenue en complétant la courbe L, définie en III.3, par les deux relations Q(− π) = Q(π) = O.

Calculer l'aire de la surface de ℝ^2 intérieure à L.
Déterminer le centre d'inertie de cette surface intérieure, supposée homogène.
III. 6 A l'aide du repère canonique de ℝ^2 on définit le champ de vecteurs V⃗ par ses deux composantes

Ce champ de vecteurs V⃗ dérive-t-il d'un potentiel scalaire?
Calculer la circulation de V⃗ sur la courbe L orientée dans le sens trigonométrique.