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* Banque filière PT **

Epreuve de Mathématiques II-B

Durée 4 h

L'usage de calculatrices est interdit

L'objet de ce problème est de déterminer la forme générale sur 10, + ∞[ des solutions de l'équation différentielle:
x^2 y^(′′) + xy^′ + (x^2 − λ^2)y = 0 (∅)
où λ est un réel positif non entier.

I. Etude de la fonction Bêta

u et v étant des réels strictement positifs, on pose:
B(u, v) = ∫_0^(+ ∞)(t^(u − 1))/((1 + t)^(u + v))dt
  1. Pour tout entier n > 1, on considère la fonction f_n définie par:
f_n(x) = (1 − x/n)^n si x ∈ [0, n],; f_n(x) = 0 si x ∉ [0, n],
On désigne par f la fonction définie par : f(x) = e^(− x).
a. Pour tout réel x strictement positif, déterminer la limite lorsque n tend vers + ∞ de (1 − x/n)^n.
b. n étant un entier strictement supérieur à 1 , on introduit la fonction définie par :
φ_n(x) = f(x) − f_n(x) si x ∈ [0, n], φ_n(x) = 0 si x ∉ [0, n].
Etudier les variations de φ_n ( Pour déterminer le signe de φ_n^′, on pourra étudier la fonction ψ_n, définie sur [0, n[par : ψ_n(x) = (n − 1)ln(1 − x/n) + x).
c. Montrer qu'il existe un unique réel α_n dans ]1, n[ tel que φ_n soit maximale en α_n.
d. Montrer que φ_n(α_n) = (α_n)/ne^(− α_n).
e. Montrer que : 0 ≤ φ_n(α_n) ≤ 1/(ne) ( on pourra par exemple étudier la fonction x ↦ xe^(− x) ).
f. Tracer le graphe de φ_n sur [0, n].
2. a. Montrer que l'on peut écrire : B(u, v) = ∫_0^1(1 − t)^(v − 1)t^(u − 1)dt.
b. Montrer que : B(u, v) = B(v, u).
c. Démontrer l'égalité suivante : B(u + 1, v) = u/(u + v)B(u, v).
3. Pour tout entier n strictement supérieur à 1 , et tout réel x > 0, on pose : I_n(x) = ∫_0^n(1 − t/n)^n t^(x − 1)dt.
a. Par un changement de variable judicieux, montrer que : I_n(x) = n^x B(n + 1, x).
b. En déduire la valeur de I_n(x).

II. Etude de la fonction Gamma

Soit Γ la fonction définie par : Γ(x) = ∫_0^∞e^(− t)t^(x − 1)dt pour x > 0.
  1. Vérifier la convergence de l'intégrale définissant Γ.
  2. Pour tout entier n > 1, on considère la fonction Γ_n définie sur ℝ_+^∗ par : Γ_n(x) = ∫_(1/n)^n e^(− t)t^(x − 1)dt.
    a. Les fonctions Γ_n sont-elles continues ?
    b. Pour tout réel x strictement positif, montrer que Γ_n(x) converge vers Γ(x) lorsque n tend vers + ∞.
    c. Que vaut Γ (1) ?
    d. Calculer, pour tout entier strictement positif n, la valeur de Γ(n).
  3. Pour tout réel x > 1, déterminer une relation entre Γ(x) et Γ(x − 1).
Montrer que cette formule permet alors de prolonger Γ à ] − 1, 0[.
En déduire que l'on peut prolonger Γ à ] − ∞, 0[∖ℤ^−.
4. Soit x un réel strictement positif.
a. Soit ε un réel strictement positif. Montrer qu'il existe un réel A strictement positif tel que :
∫_A^(+ ∞)e^(− t)t^(x − 1)dt ≤ ε
b. Montrer qu'il existe un entier n_0 tel que, pour n ≥ n_0 :
|∫_0^A e^(− t)t^(x − 1)dt − ∫_0^A t^(x − 1)f_n(t)dt| ≤ φ_n(α_n)∫_0^A t^(x − 1)dt
c. En déduire l'existence d'un entier n_1 tel que, pour n ≥ n_1 :
|∫_0^A e^(− t)t^(x − 1)dt − ∫_0^A t^(x − 1)f_n(t)dt| ≤ ε
d. Quelle est la limite de I_n(x) lorsque n tend vers + ∞ ?
e. En déduire : Γ(x) = lim_(n → + ∞)n^x(n!)/((x + n)(x + n − 1)…x).

III. Equation de Bessel

On utilisera, dans cette partie, le prolongement de la fonction Γ à ] − ∞, 0[∖ℤ^−introduit dans la partie II.
  1. a. λ étant le réel positif non entier intervenant dans ( ℰ ), soit a(x) = ∑_(n = 0)^∞a_n(λ)x^n une série entière à coefficients réels, de rayon de convergence R > 0, dépendant du réel λ.
    Pour x dans ]0, R[, on pose :
y(x) = x^λ a(x)
On suppose que la fonction y est solution de ( 𝒞 ) sur ]0, R [, et n'est pas identiquement nulle. Montrer que, pour n ≥ 2 :
a_n(λ) = (− a_(n − 2)(λ))/(n^2 + 2nλ)
b. Donner la valeur du coefficient a_1(λ).
c. Quelles valeurs peut prendre a_0(λ) ? Que peut-on déduire des valeurs de a_0(λ) et a_1(λ) pour la somme de la série (∑a_n(λ)x^n) ?
d. Montrer que R est infini, et que la fonction y est solution de ( 𝒞 ) sur ]0, + ∞[.
e. On suppose, dans ce qui suit, que : a_0(λ) = 1/(2^λ Γ(λ + 1)).
Montrer que, pour tout entier p : a_(2p)(λ) = ((− 1)^p)/(2^(2p + λ)p!Γ(λ + p + 1)).
f. On pose, pour tout réel strictement positif x : J_λ(x) = x^λ∑_(n = 0)^∞a_n(λ)x^n.
Montrer que J_(− λ) est aussi solution de ( 𝒞 ) sur ]0, + ∞[.
g. Montrer que :
J_λ(x) = (x/2)^λ∑_(n = 0)^∞(− 1)^n((x/2)^(2n))/(n!Γ(λ + n + 1))
h. On suppose que (J_(− λ), J_λ) est une base de l'espace des solutions de (𝒞) sur ]0, + ∞[. Donner la forme générale des solutions de ( ℰ ) sur ]0, + ∞[.
2. Soit y une solution non identiquement nulle de l'équation de Bessel ( 𝒞 ) sur ]0, + ∞[, pour une valeur de λ fixée. On considère la fonction u définie pour tout réel strictement positif x par :
u(x) = x^(1/2)y(x)
a. Déterminer un nombre σ tel que, pour x > 0 :
u^(′′)(x) + (1 + σ/(x^2))u(x) = 0
b. On suppose que λ = 1/2. Déterminer y et tracer son graphe.
L'équation de Bessel régit en particulier les vibrations des membranes circulaires, comme celles d'instruments musicaux tels que le tambour, ou la grosse caisse.

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