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Banque PT Mathématiques 2B PT 2000Sujet et corrigé

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Le problème porte sur l'étude des équations qui régissent le mouvement d'une particule d'une fibre dans un fluide luimême en mouvement.
Dans tout ce problème, ℝ^3 est muni de sa structure euclidienne canonique, sa base canonique B_0 est notée {e_i→}_(1 ⩽ i ⩽ 3) et le repère associé est (O, B_0).
Le produit scalaire de deux éléments u⃗ et v⃗ est noté u⃗ ⋅ v⃗ et la norme d'un élément u⃗ est notée ‖u⃗‖.

Première partie

Soit f⃗ : t ↦ F⃗(t) une fonction de classe C^1 de ℝ dans ℝ^3 et a un endomorphisme de ℝ^3.
  1. On considère le système différentiel suivant :
(dF⃗)/(dt) = a(F⃗)
(a) Que peut-on dire de l'ensemble des solutions de ( E ) vérifiant une condition du type F⃗(t_0) = F⃗_0 où t_0 et F⃗_0 sont fixés?
(b) Soit F⃗ une solution de ( E ). Montrer alors que s'il existe un réel t_0 tel que F⃗(t_0) = 0→, F⃗ est la fonction nulle.

Dans la suite, on supposera toujours que F→ ne s'annule pas.

  1. On définit alors les fonctions ν : t ↦ ‖F⃗(t)‖ et f⃗ : t ↦ 1/(ν(t))F⃗(t)
    (a) Montrer que ν et f⃗ sont des fonctions dérivables.
    (b) Vérifier alors que f(t)^(→−) et f^′(t)^(→−) sont deux vecteurs orthogonaux pour tout réel t.
    (c) Calculer la dérivée de ν.
  2. Montrer que si F⃗ vérifie le système ( E ), la fonction vectorielle f⃗ vérifie le système différentiel :
(df⃗)/(dt) = a(f⃗) − (a(f⃗) ⋅ f⃗)f⃗

Deuxième partie

Soient deux réels λ ∈ ] − 1, 1[ et G > 0. On pose r = √((1 + λ)/(1 − λ)).
Dans la suite du problème, a est l'endomorphisme de ℝ^3 dont la matrice dans la base B_0 est
A = (0, G ⋅ (λ − 1), 0; G ⋅ (λ + 1), 0, 0; 0, 0, 0)
On cherche F⃗ la solution de ( E ) vérifiant la condition initiale F⃗(0) = x_0 e_1^(→−) + y_0 e_2^(→−) + z_0 e_3^(→−).
On pose F⃗(t) = x(t)e_1^(→−) + y(t)e_2^(→−) + z(t)e_3^(→−).
  1. (a) Donner l'expression de z(t).
    (b) Intégrer (E) lorsque x_0 = y_0 = 0.
  2. Montrer que r^2 x(t)x^′(t) + y(t)y^′(t) = 0 pour tout réel t. Que peut-on en déduire pour les courbes intégrales de (E) ?
  3. On pose ω = G. √(1 − λ^2).
    (a) Vérifier que x et y sont solutions de l'équation différentielle
(d^2 u)/(dt^2) + ω^2 u = 0
(b) Intégrer alors ( E ) lorsque x_0^2 + y_0^2 ≠ 0.
(c) On suppose dans cette question que x_0 ≠ 0. Vérifier qu'il existe une constante t_0 (à définir en fonction de x_0, y_0, r et ω ) telle que :
(y(t))/(x(t)) = rtanω(t − t_0)
lorsque t est au voisinage de 0 .
m00dt4e.tex - page 1

Troisième partie

Soit F⃗ une solution de ( E ) ne s'annulant pas et f⃗ la fonction vectorielle unitaire associée, c'est-à-dire f⃗ = (F⃗)/(‖F⃗‖).
On pose f(t)^(→−) = sinθ(t)cosφ(t)e_1^(→−) + sinθ(t)sinφ(t)e_2^(→−) + cosθ(t)e_3^(→−) où θ et φ sont des fonctions dérivables de ℝ dans lui-même.
Les valeurs de f⃗, θ et φ en 0 seront notées f_0, θ_0 et φ_0.
  1. (a) Illustrer par une figure la définition de θ(t) et φ(t).
    (b) Prouver que s'il existe t_0 tel que sinθ(t_0) = 0, alors sinθ est la fonction identiquement nulle.
    (c) Prouver que s'il existe t_0 tel que cosθ(t_0) = 0, alors cosθ est la fonction identiquement nulle.
    (d) Démontrer que s'il existe t_0 tel que sin2θ(t_0) = 0, θ est une fonction constante.
  2. Soient u(t)^(→−) = cosφ(t)e_1^(→−) + sinφ(t)e_2^(→−) et v(t)^(→−) ) le vecteur tel que B_φ(t) = (u(t)^(→−), v(t)^(→−), e_3^(→−)) soit une base orthonormale directe.
    (a) Écrire f^′(t)^(→−) dans la base B_φ(t) en fonction de θ(t), φ(t), θ^′(t) et φ^′(t).
    (b) Donner la matrice A_φ(t) de a dans la base B_φ(t).
    (c) Calculer a(f(t)^(→−)) ⋅ ff(t)^(→−)
  3. (a) Écrire la système différentiel ( S ) vérifié par θ et φ équivalent à ( e ).
    (b) Prouver que si f_0^(→−) et e_3^(→−) ne sont pas colinéaires, le système ( S ) équivaut à :
(dφ)/(dt), = 2Gλcos^2 φ + G(1 − λ); (dθ)/(dt), = 2Gλsinφcosφsinθcosθ
  1. Intégrer (S) lorsque λ = 0 et donner la trajectoire du point m défini par Om(t)^(→−) = fft^(→−)).
  2. On suppose maintenant que λ est non nul.
    (a) Prouver que toute solution φ de (1) est strictement monotone et réalise une bijection de ℝ sur ℝ.
    (b) Montrer que θ reste constant le long d'une courbe intégrale si et seulement si sin2θ_0 = 0.
    (c) Lorsque sin2θ_0 ≠ 0, montrer que (2) s'intègre à l'aide de (1) en :
tanθ = C/(√(sin^2 φ + r^2 cos^2 φ))
où C est une constante.
6. On désigne par C_λ l'ensemble des courbes intégrales de (1) et par φ_1 une solution de (1).
(a) Soit un réel t_1. Montrer que φ_2 : t ↦ φ_1(t − t_1) est aussi solution de (1). En déduire une propriété géométrique de l'ensemble C_λ.
(b) Montrer que φ_3 : t ↦ − φ_1(− t) est aussi solution de (1). En déduire une propriété géométrique de l’ensemble C_λ.
(c) Montrer que φ_4 : t ↦ π/2 − φ_1(− t) est solution de l'équation (1) associée au paramètre λ. Comment déduit-on C_(− λ) de C_λ ?
7. On définit, pour tout entier relatif k, le réel t_k par φ(t_k) = kπ + π/2
(a) Pour intégrer (1) sur ]t_k, t_(k + 1)[, effectuer le changement de variables u = tanφ et t = τ(u).
(b) Montrer que la nouvelle équation obtenue s'intègre en :
τ(u) = 1/(Gr(1 − λ))arctanu/r + τ_k
où τ_k est une constante que l'on déterminera.
(c) Retrouver alors sans utiliser la deuxième partie que f⃗ est une fonction périodique de période T = π/G(r + 1/r) = (2π)/ω

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