WikiPrépaLivrets

Banque PT Mathématiques 2A PT 2000Sujet et corrigé

Pas encore noté
Logo concours Banque PT

Explorer les annales

BanqueBanque PTAnnée2000FilièrePTMatièreMathématiques
Annales Banque PT PT MathématiquesBanque PT PT 2000PT MathématiquesMathématiques 2000

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Corrigé 2
Lire en ligneLaTeXWord
  • Rapport du jury : non disponible

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF

L’usage des machines à calculer est interdit

Exercice n^∘1

Soient f et g les endomorphismes de ℝ^3 respectivement représentés dans la base canonique B de ℝ^3 par les matrices A et B suivantes :
A = (5, 2, 4; 12, 3, 8; − 12, − 4, − 9), B = (− 1, − 2, − 2; 0, − 3, − 2; 0, 4, 3)
1^∘ ) Former les polynômes caractéristiques de f et g.
En déduire les valeurs propres de f et g.
2^∘ ) Déterminer, par leurs équations, les sous-espaces vectoriels propres de f et g.
3^∘ ) Construire une base B^′ de ℝ^3 dont les vecteurs sont à la fois vecteurs propres de f et vecteurs propres de g; La première composante non nulle de chacun de ces vecteurs sera obligatoirement prise égale à 1 .
4^∘ ) Donner les matrices de passage directe et inverse de la base B à la base B^′, ainsi que les matrices A^′ et B^′ qui représentent respectivement f et g dans B^′.

Exercice n^∘2

Soit (a_n)_(n ∈ ℕ) la suite de nombres réels définie par :
a_0 = a_1 = 1, et; (1) a_(n + 1) = a_+2/(n + 1)a_(n − 1), pour tout n ∈ ℕ, n ⩾ 1
1^∘ ) Montrer que, pour tout n ⩾ 1, on a 1 ⩽ a_n ⩽ n^2.
En déduire le rayon de convergence de la série entière ∑a_n x^n.
2^∘ ) Soit S(x) = ∑_(n = 1)^∞a_n x^n la somme de cette série.
Montrer que, dans un intervalle ouvert de convergence, S est solution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre que l'on établira (on pourra, par exemple, multiplier les deux membres de (1) par x^n et sommer pour n variant de 1 à l'infini. On notera ( E ) cette équation.
3^∘ ) En intégrant ( E ), expliciter la fonction S à l'aide de fonctions usuelles.
4^∘ ) Existe-t-il des solutions de ( E ) sur ℝ ?

Exercice n^∘3

Le plan euclidien ℝ^2 est rapporté au repère othonormal ( O, ı⃗, ȷ⃗ ). On désigne par p une constante réelle strictement positive donnée et par P la courbe de représentation paramétrique :
t ∈ ℝ ↦ M(t) défini par OM^(→−)(t) = (t^2)/(2p)ı⃗ + tȷ⃗
1^∘ ) Reconnaître et représenter graphiquement P.
2^∘ ) Former une équation cartésienne de la normale en M(t) à P.
3^∘ ) Discuter, suivant les valeurs du nombre réel θ, l'existence et le nombre de points M(t) de P différents de M(θ) tels que la normale en M(t) à P passe par M(θ).
4^∘ ) Montrer que les droites coupant P en deux points distincts tels que les normales à P en ces points se coupent sur P, passent par un point fixe à déterminer.

Exercice n^∘4

L'espace euclidien ℝ^3 est rapporté au repère orthonormal ( O; ı⃗, ȷ⃗, k⃗ ). On désigne par a une constante réelle strictement positive donnée, et par C et S respectivement la courbe et la surface de représentations paramétriques :
  • t ∈ ℝ ↦ M(t) où OM^(→−)(t) = costı⃗ + sintȷ⃗ + atk⃗ pour C
  • (t, u) ∈ ℝ^2 ↦ M(t, u) où OM^(→−)(t, u) = (acost − usint)ı⃗ + (asint + ucost)ȷ⃗ + (at + u)k⃗ pour S
    1^∘ ) Préciser les points réguliers de S.
    Donner une équation du plan tangent à S en un point régulier.
    2^∘ ) S est-elle une surface réglée ?
    S est-elle une surface développable ?
    3^∘ ) S est-elle engendrée par les tangentes à C ?
    4^∘ ) Pour u ≠ 0, comparer le plan osculateur à C au point de paramètre t et le plan tangent à S au point de paramètres (t, u).

Pas de description pour le moment