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Courbe paramétrée à point double, formule d'Al-Kashi et endomorphismes vérifiant f³=Id
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Le sujet comporte trois parties indépendantes. La première étudie une famille de courbes paramétrées cubiques dépendant d'un point A, avec point double, branche infinie, aire d'une boucle et lieu des points de paramètre stationnaire. La deuxième établit, par des considérations de géométrie plane et vectorielle, la loi des sinus puis la formule d'Al-Kashi dans un triangle. La troisième étudie, en algèbre linéaire, les endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie vérifiant f au cube égal à l'identité.

  1. 1Partie IÉtudier une courbe paramétrée cubique dans un cas particulier (symétrie, variations, point double, branche infinie, tracé), calculer l'aire de sa boucle, puis déterminer pour quels points A la courbe associée possède un point stationnaire et identifier la conique obtenue.
  2. 2Partie IIÉtablir, à l'aide de l'aire d'un triangle et du produit vectoriel, la loi des sinus puis la formule d'Al-Kashi reliant les côtés d'un triangle au cosinus d'un angle.
  3. 3Partie IIIÉtudier les relations entre image et noyau des itérées d'un endomorphisme, puis caractériser les endomorphismes vérifiant f au cube égal à l'identité, en étudiant leur diagonalisabilité en dimension 3.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Epreuve de Mathématiques B

Durée 4 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

À rendre en fin d'épreuve avec la copie une feuille de papier millimétré

Les trois parties de ce problème peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.

Partie I

Dans le plan euclidien rapporté à un repère orthonormé direct ( O; i⃗, j⃗ ), on considère le point A de coordonnées (a, b), où (a, b) ∈ ℝ^2.
À chaque point A du plan, on associe la courbe Γ_A ayant pour représentation paramétrique :
{x(t) = t^3 + 3t^2 − at; y(t) = t^3 − 3t^2 − bt, t ∈ ℝ
  1. Étude de Γ_A dans le cas où a = b = 9.
    (a) Montrer que Γ_A possède un axe de symétrie que l'on précisera. On étudiera donc x et y sur ℝ_+.
    (b) Étudier les variations de x et de y; on consignera les résultats dans un tableau de variations en précisant les tangentes verticales, horizontales et la tangente au point de paramètre 0 .
    (c) Montrer que Γ_A possède un point double que l'on précisera. Déterminer l'angle formé par les deux tangentes à Γ_A au point double.
    (d) Etudier la branche infinie de la restriction de Γ_A à ℝ^+.
    (e) Tracer Γ_A.
  2. Calculer l'aire de la boucle formée par Γ_A.
  3. On revient au cas général.
    (a) Montrer que la courbe Γ_A possède un point stationnaire si et seulement si A appartient à une courbe P dont on donnera une équation.
    (b) Montrer que P est une conique dont on précisera les éléments caractéristiques. Tracer P.

Partie II

Soit P un plan affine de ℝ^3, et A, B, C trois points non alignés de ce plan. On suppose que le triangle ABC est direct, et n'a que des angles aigus. On note :
a = BC, b = AC, c = AB
On désigne par H le projeté orthogonal de A sur la droite ( BC ), et on note h = AH. Aˆ désigne l'angle géométrique BACˆ, Bˆ l'angle géométrique CBAˆ, et Cˆ l'angle géométrique ACBˆ.

Pour cet exercice, le tracé d'un dessin sur la copie sera apprécié. _–

  1. Donner la relation entre sinCˆ, h et b.
  2. Rappeler la formule donnant l'aire A du triangle ABC en fonction de a et h.
  3. Exprimer A en fonction de a, b et sinCˆ.
  4. Montrer que : (sinCˆ)/c = (sinBˆ)/b = (sinAˆ)/a.
  5. Comparer ‖BC^(→−) ∧ AC^(→−)‖, ‖BC^(→−) ∧ AH^(→−)‖ et det(BC^(→−), AC^(→−)). Donner une interprétation en termes d'aires du résultat obtenu.
  6. Exprimer AB^2 en fonction de a, b et cosCˆ.
  7. Retrouver le résultat de la question 6. à l'aide du théorème de Pythagore.

Partie III

Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie, et f un endomorphisme de E. Id_E désigne l'application identité de E.
  1. (a) Montrer que dimImf − dimImf^2 = dimkerf ∩ Imf.
    (on pourra considérer la restriction de f à Imf : Imf → E, x ↦ f(x) ).
    (b) Montrer que dimkerf^2 − dimkerf = dimImf − dimImf^2.
    (c) En déduire que Imf^2 = Imf si et seulement si kerf^2 = kerf.
    (d) Montrer que Imf^2 = Imf si et seulement si E = kerf ⊕ Imf.
  2. On suppose désormais que f^3 = Id_E.
    (a) Montrer que Im(f − Id_E) ⊂ ker(f^2 + f + Id_E).
    (b) Montrer que Im(f − Id_E) ∩ ker(f − Id_E) = {0}.
    (c) Montrer que E = ker(f^2 + f + Id_E) ⊕ ker(f − Id_E).
    (d) On suppose qu'il existe un vecteur non nul x dans Im(f − Id_E). Montrer que f(x) appartient à Im(f − Id_E) et que la famille ( x, f(x) ) est libre.
  3. On suppose que dimE = 3, f ≠ Id_E, et f^3 = Id_E.
    (a) Démontrer que dimker(f − Id_E) = 1.
    (b) f est-elle diagonalisable?
    (c) Donner un exemple de tel endomorphisme f (on pourra donner sa matrice dans la base canonique).
La partie II mêle de la géométrie élémentaire du plan et de la géométrie vectorielle. Les dernières questions permettent d'obtenir le théorème d'Al-Kashi, ou « loi des cosinus >>, qui relie, dans un triangle la longueur d'un côté à celles des deux autres et au cosinus de l'angle formé par ces deux côtés, et généralise le théorème de Pythagore aux triangles non rectangles.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques B banque PT 2014 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques B banque PT 2014 ?

Il porte sur l'étude des courbes paramétrées et des coniques, la géométrie plane et vectorielle, et l'algèbre linéaire (image, noyau et réduction des endomorphismes).

Les trois parties du sujet sont-elles indépendantes ?

Oui, l'énoncé précise explicitement que les trois parties peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour ce sujet ?

L'étude des courbes paramétrées, les coniques, le produit vectoriel et les aires en géométrie, ainsi que l'image, le noyau et la diagonalisation des endomorphismes.

Ce sujet permet-il de retrouver un théorème classique de géométrie ?

Oui, la partie II conduit à la démonstration du théorème d'Al-Kashi, qui généralise le théorème de Pythagore aux triangles non rectangles.

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