Banque PT Physique B PT 2014Sujet

La mesure de l'intensité d'un courant électrique peut nécessiter des méthodes très éloignées de celle utilisée dans un multimètre d'usage courant. Ce sujet envisage trois méthodes différentes, particulièrement adaptées à la mesure de courants d'intensité élevée. Dans ce problème, les courants mesurés ont des intensités de l'ordre du kA.

Les valeurs numériques demandées seront exprimées avec un seul chiffre significatif.

perméabilité magnétique du vide : μ_0 = 4π ⋅ 10^(− 7)H ⋅ m^(− 1);
constante d'Avogadro: N_A = 6 ⋅ 10^(23) mol^(− 1);
charge de l'électron : − e = − 1, 6 ⋅ 10^(− 19)C;
masse de l'électron : m = 9 ⋅ 10^(− 31) kg;
ln(1, 1) − ln(0, 9) = 0, 2 + 7 ⋅ 10^(− 4); √2/2 ≃ 0, 7; π^2 ≃ 10.

L'ouverture de la pince ampèremétrique permet d'insérer dans sa boucle le fil parcouru par le courant dont l'intensité est à mesurer. Lorsque la pince est fermée, ses deux mâchoires constituent une bobine. Le phénomène d'induction magnétique permet d'obtenir aux bornes de cette bobine une tension directement liée à l'intensité à mesurer.

Le courant dont l'intensité variable i_1(t) est à mesurer parcourt un fil rectiligne (1), confondu avec l'axe Oz , dont les bornes A_1 et A_2 sont supposées, dans un premier temps, infiniment éloignées l'une de l'autre. Il s'agit de déterminer le champ magnétique B⃗_1 créé par le fil (1) en tout point M de l'espace en dehors du fil. Le point M est repéré par ses coordonnées cylindriques ( r, θ, z ), cf. Figure 1.
A.1.a. Par des arguments précis, indiquer la direction du

champ magnétique B⃗_1 créé en M.
A.1.b. Représenter l'allure des lignes de champ B⃗_1 dans un plan perpendiculaire au fil : pour la figure, le sens du courant i_1 dans le fil est choisi dans le sens de e⃗_z.
A.1.c. Etablir l'expression du champ magnétique B⃗_1(M, t).

La pince ampèremétrique est modélisée par une bobine (2) constituée d'un fil enroulé sur un tore d'axe Oz, de rayon moyen r_0 = 5 cm et de section carrée de côté a = 1 cm. Le tore est supposé être constitué d'un matériau non magnétique, c'est-à-dire dont les propriétés magnétiques sont celles du vide. L'enroulement comporte N = 1000 spires jointives et régulièrement réparties, cf. Figures 2 et 3 . Ses extrémités sont reliées à un oscilloscope.

A.1.d. Exprimer le flux φ du champ B⃗_1(M, t) à travers une spire de la bobine (2) orientée par sa normale e⃗_θ. En déduire le flux Φ de B⃗_1(M, t) à travers la bobine (2).
A.1.e. Exprimer le flux du champ B⃗_1(M_0, t) = B⃗_1(r_0, θ, 0, t) à travers une spire de la bobine, en supposant le champ magnétique uniforme sur la surface de la spire et égal à sa valeur en M_0. Donner la nouvelle expression du flux Φ_(21) du champ magnétique créé par le fil (1) à travers la bobine (2).
A.1.f. Quelle est l'erreur relative commise en remplaçant Φ par Φ_(21) ? Pour la suite du problème, seule l'expression approchée Φ_(21) du flux sera utilisée.
A.1.g. Donner alors, au signe près, l'expression de la tension u_2(t) obtenue aux bornes de la bobine (2). Quelle est sa valeur lorsque l'intensité du courant i_1(t) dans le fil (1) est constante ? Commenter.

Le courant dans le fil (1) est sinusoïdal d'intensité i_1(t) = I_m cos(ωt). La bobine (2) étant reliée à un oscilloscope, l'oscillogramme obtenu est représenté cicontre, cf. Figure 4 ; échelles: 1 carreau pour 5 ms et 1 carreau pour 500 mV .
A.2.a. Etablir l'expression de la tension u_2(t) à l'aide des paramètres μ_0, N, a, r_0, ω et l_m.
A.2.b. Quelle est la valeur numérique de la fréquence f du courant i_1(t) ?

A.2.c. Quelle est la valeur numérique de l'intensité efficace I_1 du courant i_1(t) ?

A.3.a. Définir, à partir de Φ_(21), le coefficient d'induction mutuelle M_(21) entre les circuits (1) et (2) et donner son expression.
A.3.b. La bobine (2) est maintenant parcourue par un courant d'intensité i_2(t) dont l'orientation est précisée Figure 5. Déterminer soigneusement la direction du champ magnétique B⃗_2(M, t) qu'elle crée en tout point M repéré par ses coordonnées cylindriques (r, θ, z).
A.3.c. Déterminer l'expression de ce champ en tout point de l'espace. Pour la suite, comme en A.1.e., le champ magnétique B⃗_2 est supposé uniforme sur la surface d'une spire et égal à sa valeur en M_0.
A.3.d. Les bornes A_1 et A_2 du fil (1) sont maintenant reliées entre elles pour former un circuit fermé ; ce circuit est supposé plan, contenu dans un plan méridien du tore. Donner l'expression du flux Φ_(12) du champ B⃗_2 créé par la bobine (2) à travers le circuit (1) ainsi réalisé. En déduire l'expression du coefficient d'induction mutuelle M_(12) défini à partir de Φ_(12) et commenter.
A.3.e. La figure 5 suggère une situation où la pince n'est pas centrée sur le fil (1), lui-même n'étant pas confondu avec l'axe de la pince.

Déduire de la question précédente que le résultat de la mesure faite en A.2. n'est pas modifié.
A.3.f. Quels sont les avantages de la mesure du courant au moyen de cette pince par rapport à l'utilisation d'un ampèremètre ?

Une sonde de Hall est un instrument dont le principe de fonctionnement repose sur une propriété découverte par Hall en 1879 : dans un barreau conducteur (ou semiconducteur) traversé par un courant d'intensité I et soumis à un champ magnétique B⃗ perpendiculaire à la direction du courant, il apparaît entre les faces latérales du barreau une tension : c'est la «tension de Hall», proportionnelle au champ magnétique B et au courant I.

Une telle sonde peut être utilisée pour mesurer un champ magnétique B ou une intensité I.

Un conducteur contient n porteurs de charge mobiles (électrons de masse m et de charge -e) par unité de volume. Il est placé dans un champ électrique permanent et uniforme E⃗_0. Lors de son mouvement dans le référentiel du conducteur, supposé galiléen, un électron de vitesse v⃗ subit de la part du réseau cristallin une force f⃗ = − m/τv⃗.
B.1.a. Expliquer quel phénomène physique est à l'origine de la force f⃗. Que représente le paramètre τ ?
B.1.b. Etablir l'équation différentielle vérifiée par la vitesse v⃗ (le poids de l'électron est négligeable devant les autres forces).
B.1.c. En déduire l'expression de la vitesse v⃗(t) en fonction de la vitesse v⃗_0 = v⃗(t = 0) et des données du problème.
B.1.d. En déduire l'expression de la vitesse limite atteinte par les électrons. Cette valeur est très rapidement atteinte, elle sera prise comme valeur v⃗ de la vitesse des électrons dans toute la suite du problème.
B.1.e. Donner l'expression du vecteur densité de courant j⃗ en fonction de n, e et v⃗.
B.1.f. Définir et exprimer la conductivité γ du conducteur.
B.1.g. Le conducteur est en cuivre, de masse molaire M_(Cu) = 60 g ⋅ mol^(− 1) et de masse volumique μ_(Cu) = 9000 kg ⋅ m^(− 3). Exprimer puis calculer la densité volumique n des porteurs de charge mobiles sachant qu'il y a un électron libre par atome.
B.1.h. La conductivité du cuivre est γ = 6.10^7 S ⋅ m^(− 1). Calculer τ et commenter la valeur trouvée.

Une plaquette parallélépipédique de matériau conducteur, de largeur l et de hauteur h (cf. Figure 6) est parcourue par un courant de densité j⃗ = je⃗_x sous l'effet d'un champ électrique permanent et uniforme E⃗_0 = E_0 e⃗_x (voir partie 1 ci-dessus). Elle est placée dans un champ magnétique permanent et uniforme B⃗ = Be⃗_z.

B.2.a. En régime permanent, il apparaît dans la plaquette un champ électrique supplémentaire E⃗_H, appelé champ de Hall. Ecrire, en régime permanent, la relation fondamentale de la dynamique appliquée à un électron.
B.2.b. En déduire l'expression du champ de Hall E⃗_H en fonction de v⃗ et B⃗ puis de j⃗, B⃗ et de la constante de Hall R_H = 1/(− ne).
B.2.c. Exprimer E⃗_H en fonction de l'intensité du courant I parcourant la plaquette, B, l, h, R_H et du vecteur unitaire convenable.
B.2.d. Quelle est l'expression du champ électrique total E⃗ dans le conducteur? En déduire l'expre sion de la tension U_(PN) = V_P − V_N entre le point P ( x_P, I, z_P ) et le point N(x_N, 0, z_N), cf. Figure 6.
B.2.e. A quelle condition la tension U_(PN) est-elle proportionnelle à B ? Cette condition sera supposée vérifiée pour la suite du problème et la tension U_(PN) sera notée U_H 。
B.2.f. Calculer la constante de Hall R_H dans le cas du cuivre. Dans la pratique le matériau utilisé est un semi-conducteur dont la densité volumique des porteurs (toujours des électrons) est n = 10^(19) m^(− 3). Quelle est alors la valeur de R_H ?
B.2.g. Application numérique: la plaquette de semi-conducteur d'épaisseur h = 1 mm est parcourue par un courant d'intensité I = 10 mA. Montrer que le champ magnétique B (en T) est relié à la tension de Hall U_H (en V ) par la relation B = kU_H, k étant une constante. Calculer la constante k puis la valeur de B sachant que la tension mesurée est U_H = 6 V.

B.3.a. Une spire circulaire, de centre O , d'axe Oz et de rayon R = 10 cm est parcourue par un courant permanent d'intensité I_0 (Figure 7). Montrer que le champ magnétique créé par la spire en tout point M(0, 0, z) de son axe s'écrit B⃗(z) = B⃗_0 ⋅ f(z/R) en explicitant le champ magnétique B⃗_0 au centre O de la spire et la fonction f(z/R).

B.3.b. La plaquette de semi-conducteur précédente (cf. question B.2.f.) est placée au centre de la spire, dans son plan : l'axe Oz est commun à la spire et à la plaquette. La tension de Hall est mesurée avec un voltmètre : U_H = 20mV. En admettant que le champ est uniforme dans toute la plaquette, égal à B⃗_0, quelle est la valeur de I_0 ?
B.3.c. Il s'agit maintenant d'évaluer la pertinence de l'hypothèse de l'uniformité du champ magnétique dans la plaquette. Calculer la variation relative (ΔB)/(B_0) du champ magnétique entre le point de l'axe Oz de cote h/2 et le point O . Commenter cette valeur.
B.3.d. Justifier que, en dehors de l'axe Oz, le champ magnétique créé par la spire peut s'écrire : B⃗ = B_r(r, z)e⃗_r + B_z(r, z)e⃗_z.
B.3.e. Quelle est la propriété du flux du champ magnétique ? Ecrire l'équation de Maxwell exprimant cette propriété.
B.3.f. Au voisinage de l'axe, la composante axiale varie très peu avec r : B_z(r, z) = B_z(0, z) = B_z(z), valeur du champ sur l'axe Oz. En calculant le flux du champ B→ à travers un cylindre d'axe Oz, de rayon r, compris entre les côtes z et z + dz, montrer que B_r = − r/2(dB_z)/(dz).
B.3.g. En déduire l'expression de (B_r)/(B_0) en tout point du plan de cote h/2 au voisinage de l'axe, en faisant les approximations qui s'imposent.
B.3.h. A quelle distance de l'axe la condition (B_r)/(B_0) ≤ 0, 1% est-elle remplie? Conclure quant aux dimensions transversales de la plaquette.
B.3.i. La composante radiale du champ magnétique B⃗ a-t-elle une influence sur la valeur de la tension de Hall ?

Un matériau diélectrique transparent soumis à un champ magnétique acquiert un pouvoir rotatoire, c'est-à-dire qu'il produit une rotation de la direction de polarisation d'une onde électromagnétique polarisée se propageant dans ce matériau. Ce phénomène découvert par Faraday en 1845 est appelé «effet Faraday». La valeur de l'angle de rotation est directement liée à la valeur du champ magnétique, donc à l'intensité du courant qui le crée.

Cette propriété est à la base de la méthode étudiée dans cette partie.

Une onde électromagnétique plane progressive harmonique (r) de pulsation ω se propage dans la direction Oz, de vecteur unitaire e⃗_z, à la vitesse c dans une substance homogène. Le champ électrique de cette onde (r), de polarisation rectiligne, est E⃗(M, t) = E_0 cos(ωt − kz)e⃗_x.
C.1.a. Quelle est la direction de polarisation de cette onde ?
C.1.b. Donner l'expression de son vecteur d'onde k⃗.
C.1.c. Quelle est l'expression du champ électrique E_–→ = E_–_x en notation complexe, avec i^2 = − 1 ?
C.1.d. Déterminer l'expression du champ magnétique B⃗_– de l'onde et représenter les vecteurs E⃗(M, t), B⃗(M, t), e⃗_z ( t et M étant fixés) sur un schéma faisant clairement apparaître les orientations de ces trois vecteurs.
C.1.e. Deux nouvelles ondes électromagnétiques progressives sont définies à partir de l'onde précédente: l'onde (cg) définie par le champ électrique complexe E_–→_g = 1/2(E_–_–_x − iE_–_–e⃗_y) et l'onde (cd) définie par champ électrique complexe E_–→_d = 1/2(E_–_–_x + iE_–_–e⃗_y). Donner les expressions réelles des champs électrique E⃗_g et E⃗_d.
C.1.f. Représenter les champs électriques E⃗_g et E⃗_d dans le plan xOy, au point O à un instant t fixé quelconque, en précisant clairement sur le schéma l'angle que fait chacun des deux vecteurs avec l'axe Ox. En déduire l'état de polarisation des ondes (cg) et (cd).
C.1.g. Déduire des questions précédentes qu'une onde polarisée rectilignement d'amplitude E_0, peut être considérée comme la superposition de deux ondes polarisées circulairement, l'une à gauche et l'autre à droite, de même amplitude. Donner la valeur de cette amplitude en fonction de E_0.

L’onde électromagnétique polarisée rectilignement ( r ) définie en C.1. se propage dans une substance soumise à un champ magnétique uniforme et permanent B⃗_F = B_F e⃗_z, colinéaire à la direction de propagation de l'onde. Ce champ magnétique modifie la vitesse de propagation des ondes polarisées circulairement se propageant dans la direction e⃗_z : l'onde (cg) se propage à la vitesse c_g = c(1 + B_F/B) et l'onde (cd) à la vitesse c_d = c(1 − B_F/B), où B est une constante caractéristique du milieu telle que |B_F/B|≪1.

L'onde (r) arrive en O dans la substance étudiée qu'elle traverse sur une longueur L (cf. Figure 8). L'étude de la propagation dans la substance est faite en décomposant l'onde (r) en ondes (cg) et (cd) : E⃗(z, t) = E⃗_g(z, t) + E⃗_d(z, t) pour z ∈ [0; L].
C.2.a. Exprimer, en notation complexe, E⃗_–_g(z, t) et E_–→_d(z, t). On introduira les grandeurs k_g = ω/(c_g) et k_d = ω/(c_d).
C.2.b. Donner les expressions de E_–→_g(z = 0, t) et E⃗_–_d(z = 0, t), puis celles de E⃗_–_g(z = L, t) et E⃗_–_d(z = L, t). On posera φ_g = k_g L et φ_d = k_d L.

C.2.c. En déduire l'expression de l'onde résultante E⃗_–(z = L, t) à la sortie. La simplifier en exprimant φ_g et φ_d en fonction des angles α = (φ_d + φ_g)/2 et θ = (φ_d − φ_g)/2.
C.2.d. Donner les expressions réelles du champ électrique de l'onde (r) : E⃗_0(t) à l'entrée de la substance et E⃗_L(t) à la sortie. Représenter les directions de E⃗_0 et E⃗_L dans le plan (e⃗_x, e⃗_y). Que dire de la direction de polarisation de l'onde lors de la traversée de la substance?
C.2.e. La constante de Verdet V est définie par θ = VLB_F. Exprimer cette constante en fonction de ω, c et B. Justifier cette assertion: «la constante de Verdet dépend de la longueur d'onde de l'onde se propageant dans la substance >.

Le courant permanent dont l'intensité I est à mesurer circule dans un conducteur cylindrique d'axe Oz_1, de rayon a = 10 cm et de longueur L_C = 1 m. La densité de courant j⃗ est supposée uniforme et stationnaire dans le volume de ce conducteur.

Une fibre optique de diamètre d = 2 mm est enroulée une seule fois sur toute la longueur de ce conducteur de manière à former des spires jointives (cf. Figure 9). La constante de Verdet de la fibre pour la longueur d'onde utilisée est V = 25^∘ ⋅ T^(− 1) m^(− 1).

C.3.c. La direction de B⃗_F est-elle cohérente avec la direction de propagation d'une onde électromagnétique dans la fibre pour produire l'effet Faraday?
C.3.d. L'onde parcourant la fibre optique est polarisée. La direction de polarisation tourne d'un angle θ = 75^∘ entre l'entrée et la sortie de la fibre. Calculer l'intensité du courant I dans le conducteur. Cette méthode permet-elle de déterminer I de manière unique ?
C.3.e. La mesure de θ est effectuée à partir de la direction du champ E⃗_0 à l'entrée de la fibre optique. Proposer une méthode très simple pour obtenir cette direction à la sortie de la fibre.

La puissance thermique libérée par effet Joule dans un conducteur parcouru par un courant intense peut provoquer une élévation importante de la température à l'intérieur du conducteur. Il s'agit ici d'évaluer, dans le cadre d'un modèle très simple, la température d'un conducteur cylindrique.

La tension constante U = V_A − V_B, positive, est appliquée aux bornes A et B du conducteur cylindrique d'axe Oz, de très grande longueur L_c, de rayon a = 1 cm et de conductivité électrique γ = 6.10^7 S ⋅ m^(− 1) (cf. Figure 10). L'étude est faite, en régime permanent, dans l'hypothèse simplificatrice où le champ électrique qui en résulte dans le conducteur ne dépend pas de la coordonnée radiale: E⃗(M) = E(θ, Z)e⃗_z.

D.1.a. Justifier que le champ électrique E⃗(M) ne dépend pas de θ.
D.1.b. Déduire de l'une des équations de Maxwell que le champ électrique dans le conducteur ne dépend pas non plus de z.
D.1.c. Exprimer alors le champ électrique E⃗ en fonction de U et L_c.
D.1.d. En déduire l'expression du vecteur densité de courant j⃗, puis celle de l'intensité du courant I dans le conducteur.
D.1.e. Quelle est l'expression de la puissance volumique P_V dissipée par effet Joule ? Exprimer cette dernière en fonction de I, γ et a.
D.1.f. Calculer la résistance R_L par unité de longueur du conducteur.
D.1.g. En déduire la puissance P_L dissipée par effet Joule par unité de longueur du conducteur lorsque I = 1kA.

L'étude est faite, en régime permanent, sur l'unité de longueur du conducteur, à une distance suffisante des extrémités A et B pour pouvoir négliger les effets de bord ; ainsi la température dans le conducteur ne dépend que de la variable radiale r : T(M, t) = T(r).
D.2.a. Rappeler la loi de Fourier. Définir le vecteur densité de courant d'énergie thermique j⃗_(th) et indiquer la dimension de j_(th) et celle de la conductivité thermique λ.
D.2.b. Préciser la direction du vecteur j⃗_(th) dans le conducteur et représenter quelques lignes de courant sur un schéma dans un plan perpendiculaire à Oz, en justifiant leur sens.
D.2.c. Par un bilan de puissance sur un volume de longueur unité, compris entre les cylindres de rayon r et de rayon r + dr, déterminer l'équation différentielle vérifiée par T(r).
D.2.d. Par intégration, déterminer T(r) en fonction des données et de la température T_0 = T(r = 0). Il sera admis que le «gradient» de température (dT)/(dr) reste borné dans le conducteur, en particulier en r = 0.
D.2.e. En déduire l'expression de j⃗_(th)(r) ainsi que celle du flux thermique Φ_(th)(r) à travers un cylindre d'axe Oz, de longueur unité et de rayon r, r ∈ [0; a]. Comparer la valeur de Φ_(th)(a) à celle de P_L. Commenter.
D.2.f. Le flux thermique transféré par le conducteur à l'atmosphère, à la température T_(atm) = 25^∘C, est donné par la loi de Newton : Φ_(th) = hS(T(a) − T_(atm)); S est la surface de contact entre les deux milieux et h un coefficient d'échange. Etablir l'expression de T_0.
D.2.g. Pour le cuivre λ = 400 W ⋅ m^(− 1) ⋅ K^(− 1) et h = 8 W ⋅ m^(− 2) ⋅ K^(− 1). Calculer T_0 puis T_0 − T(a). Commenter.
D.2.h. Un capteur de température est collé sur la surface du conducteur cylindrique. Quelle est l'intensité l ' du courant dans le conducteur lorsque le capteur indique T^′(a) = 235^∘C ?