Banque PT Mathématiques B PT 2018Sujet et corrigé

Q: Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques B banque PT 2018 ?

Il porte sur les endomorphismes du plan liés aux nombres complexes et leur diagonalisation, la géométrie d'une quadrique réglée dans l'espace, et l'étude d'une courbe paramétrée, la spirale d'Archimède.

Q: Quelles parties du sujet de mathématiques B banque PT 2018 sont indépendantes ?

Les trois parties, consacrées respectivement aux endomorphismes du plan complexe, à la quadrique x²+y²-z²=1 et à la spirale d'Archimède, sont indépendantes les unes des autres.

Q: Quels résultats de cours faut-il connaître pour traiter ce sujet ?

Il faut maîtriser les nombres complexes et les isométries du plan, la réduction des endomorphismes et matrices, l'étude d'une surface par ses sections planes, ainsi que l'étude des tangentes d'une courbe paramétrée et le calcul d'aire.

Q: Ce sujet de mathématiques B banque PT 2018 est-il faisable en première année ?

Une partie du programme, comme les nombres complexes et les courbes paramétrées, relève de la première année, mais la réduction des endomorphismes et l'étude des quadriques de l'espace relèvent du programme de deuxième année.

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Présentation du sujet

Endomorphismes du plan complexe, hyperboloïde réglé et spirale d'Archimède

Ce sujet de mathématiques rassemble trois problèmes indépendants. Le premier étudie les endomorphismes du plan associés aux fonctions z pour az+b z barre, leur nature géométrique et leur diagonalisation. Le deuxième étudie la quadrique d'équation x²+y²-z²=1, ses symétries, son caractère de surface de révolution réglée et les droites qu'elle contient. Le troisième étudie la spirale d'Archimède : ses points singuliers, son tracé, l'aire qu'elle délimite et des constructions à la règle et au compas, dont la trisection de l'angle.

1Première partie : endomorphismes associés à z pour az+b z barreÉtudie l'ensemble des endomorphismes de R² de la forme g_{a,b}, identifie leur nature géométrique (rotation, symétrie, projection) et discute leur diagonalisabilité selon les valeurs de a et b.
2Deuxième partie : la quadrique x²+y²-z²=1Détermine l'allure et les symétries de cette surface, montre qu'elle est une surface de révolution réglée, puis détermine l'ensemble des droites qu'elle contient à l'aide des matrices orthogonales.
3Troisième partie : la spirale d'ArchimèdeÉtudie les points réguliers et les tangentes de la spirale d'Archimède, calcule par encadrement l'aire qu'elle délimite, puis utilise la courbe pour construire à la règle et au compas un segment de longueur donnée et un angle divisé par trois.

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Epreuve de Mathématiques B

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Dans cette épreuve, les candidats sont invités à illustrer, s'ils le jugent nécessaire, leurs réponses avec un dessin.

Les 3 parties du sujet sont indépendantes.

À rendre en fin d'épreuve avec la copie une feuille de papier millimétré

Première Partie.

Dans cette partie, l'espace vectoriel

ℝ^2

est muni de sa structure euclidienne usuelle. Sa base canonique sera notée

(e_1, e_2)

.
Pour tout nombre complexe

z

, on note

Re(z)

z_r

sa partie réelle,

Im(z)

z_i

sa partie imaginaire,

|z|

son module et

z¯

son conjugué. On désigne par

i

le nombre complexe de module 1 et dont un argument est

π/2

.
Soient

a

b

deux nombres complexes. On considère la fonction

f_(a, b)

définie sur

ℂ

par :

\forallz \in ℂ, f_(a, b)(z) = az + bz¯

ainsi que la fonction

g_(a, b)

qui à tout vecteur

u

ℝ^2

d'affixe complexe

Aff(u) = z

associe le vecteur

v

ℝ^2

d'affixe complexe

f_(a, b)(z)

Soient $u_1$ et $u_2$ deux vecteurs de $ℝ^2$ d'affixes complexes respectives $z_1$ et $z_2$ . Dans chacun des cas suivants, dire si la famille $(u_1, u_2)$ est une base de $ℝ^2$ . Justifier la réponse.
(a) $(z_1, z_2) = (- 4i, 0)$ .
(b) $(z_1, z_2) = (3 - i, i(3 - i))$ .
(c) $(z_1, z_2) = (3 + i, i - 3)$ .
(d) $(z_1, z_2) = (1/(1 + i), - 3e^(- iπ/4))$ .
Démontrer que $g_(a, b)$ est un endomorphisme de $ℝ^2$ .
On note $G = {g_(a, b); (a, b) ∈ ℂ^2}$ .
(a) Démontrer que $G$ est un $ℝ$ -espace vectoriel.
(b) Démontrer que $G = L(ℝ^2)$ où $L(ℝ^2)$ est l'ensemble des endomorphismes de $ℝ^2$ . On pourra s'intéresser à la famille ( $g_(1, 0), g_(i, 0), g_(0, 1), g_(0, i)$ ).
(a) Reconnaître (on ne demande pas de justification) $g_(a, b)$ lorsque
(i) $a \in ℝ^⋆$ et $b = 0$ .
(ii) $a = e^(iθ)$ et $b = 0$ où $θ \in ℝ$ .
(iii) $(a, b) = (0, 1)$ .
(b) En déduire que pour $(a, b) = (e^(iθ), 0)$ et $(a^', b^') = (0, 1), g_(a, b) \circ g_(a^', b^')$ est une isométrie vectorielle de $ℝ^2$ . Est-elle positive (ou directe) ? Donner sa nature et ses éléments caractéristiques.
(a) Soient $E$ un $ℝ$ -espace vectoriel, $E_1$ et $E_2$ deux espaces vectoriels supplémentaires dans $E, s$ la symétrie par rapport à $E_1$ parallèlement à $E_2$ et $p$ la projection sur $E_1$ parallèlement à $E_2$ . Rappeler quelle est la relation entre $s, p$ et l'application identité notée $id$ .
(b) En déduire un couple de complexes $(a, b)$ pour lequel $g_(a, b)$ est la projection orthogonale sur le sous-espace vectoriel engendré par le vecteur $u_α$ d'affixe complexe $e^(iα)$ où $α \in ℝ$ .
Ecrire la matrice $G_(a, b)$ de $g_(a, b)$ dans la base canonique de $ℝ^2$ .
On suppose dans cette question uniquement que $a \in ℝ$ . La matrice $G_(a, b)$ est-elle diagonalisable dans $M_2(ℝ)$ ? Que dire de plus sur ses sous-espaces propres?
(a) Déterminer le polynôme caractéristique de $G_(a, b)$ .
(b) On suppose que $|b|^2 \neq (Im(a))^2$ . La matrice $G_(a, b)$ est-elle diagonalisable dans $M_2(ℂ)$ ? Est-elle diagonalisable dans $M_2(ℝ)$ ? Discuter en fonction de $a$ et $b$ .
(c) On suppose que $|b|^2 = (Im(a))^2$ . Démontrer que $G_(a, b)$ est diagonalisable dans $M_2(ℝ)$ si et seulement si $a \in ℝ$ et $b = 0$ .
(d) A quelle(s) condition(s), $g_(a, b)$ est-elle diagonalisable?

Deuxième partie.

Dans cette partie, l'espace

ℝ^3

est muni de sa structure euclidienne usuelle et d'un repère orthonormé direct (

O; i⃗, j⃗, k⃗

).
On considère la surface

S

d'équation cartésienne

x^2 + y^2 - z^2 = 1

Allure de $S$ .
(a) Déterminer la nature de l'intersection de $S$ avec le plan d'équation $x = 0$ .
(b) Déterminer la nature de l'intersection de $S$ avec un plan d'équation $z = a$ où $a \in ℝ$ . Que peut-on en déduire pour $S$ ?
(c) Utiliser les informations précédentes pour tracer sur la copie l'allure de $S$ . On n'oubliera pas de placer les axes du repère.
Quelques symétries de $S$ .
(a) Justifier que le plan d'équation $z = 0$ est un plan de symétrie de $S$ . On admettra qu'il en est de même des plans d'équation $x = 0$ et $y = 0$ .
(b) Donner un autre plan de symétrie de $S$ (distinct des trois plans précédents). Justifier la réponse.
(c) Justifier que la droite d'équations cartésiennes ${x = 0; z = 0$ est un axe de symétrie de $S$ .
Soit $Σ$ la surface de révolution obtenue en faisant tourner la droite $Δ$ d'équations ${x = 1; y = z$ autour de l'axe (Oz).
(a) En déterminant une équation cartésienne de $Σ$ , démontrer que $Σ = S$ .
(b) En déduire que $S$ est une surface réglée. En donner une famille de génératrices.
L'objectif de cette question est de déterminer toutes les droites qui sont incluses dans $S$ . On dit qu'une droite est horizontale si elle est incluse dans un plan parallèle au plan d'équation $z = 0$ .
On note $O(2)$ l'ensemble des matrices orthogonales de $M_2(ℝ)$ .
(a) Vérifier que $S$ ne contient aucune droite horizontale.
(b) Soit $D$ une droite non horizontale. Justifier qu'il existe 4 réels $a, b, α$ et $β$ tels que ${x = a + αt; y = b + βt; z = t, t \in ℝ$ soit une représentation paramétrique de $D$ .
(c) Démontrer que : $D \subset S \Leftrightarrow (a, α; b, β) \in O(2)$ .
(d) Donner la forme des matrices appartenant à $O(2)$ . Pour chacune d'elles, préciser quel est l'endomorphisme canoniquement associé.
(e) En déduire toutes les droites incluses dans $S$ .

Troisième partie.

Dans cette partie, l'espace

ℝ^2

est muni de sa structure euclidienne usuelle et d'un repère orthonormé direct

(O; i⃗, j⃗)

. On considère alors la courbe

Γ

de représentation paramétrique :

{x(θ) = θcos(θ); y(θ) = θsin(θ), θ \in [0; 2π]

Pour

θ \in [0; 2π]

, on note

M(θ)

le point de

Γ

de paramètre

θ

(a) Donner la forme trigonométrique (ou exponentielle) de l'affixe complexe $z(θ)$ de $M(θ)$ .
(b) Calculer la dérivée sur $[0; 2π]$ de la fonction $θ \mapsto z(θ)$ .
(c) En déduire la valeur de $‖(dOM^(\to-))/(dθ)(θ)‖$ pour $θ \in [0; 2π]$ et préciser quels sont les points réguliers de $Γ$ .
On considère la fonction $f$ définie sur $D = [0; 2π] - {π/2; (3π)/2}$ , par $f(θ) = tan(θ) + θ$ .
(a) Dresser le tableau de variations de $f$ .
(b) Démontrer que $f$ s'annule exactement 3 fois sur $D$ en $θ_0, θ_2$ et $θ_4$ vérifiant $θ_0 < θ_2 < θ_4$ .
(c) En déduire les points de $Γ$ admettant une tangente horizontale.

On admet qu'il existe uniquement 2 points

M(θ_1)

M(θ_3)

Γ

admettant une tangente verticale.
3. Tracé de

Γ

On donne θ_1, \approx 0, 86 et cos(θ_1), \approx 0, 65,; θ_3, \approx 3, 43 et cos(θ_3) \approx - 0, 96,, θ_4 \approx 4, 91 et cos(θ_2) \approx - 0, 44,; cos(θ_4), \approx 0, 20.

(a) En utilisant les données ci-dessus, proposer une construction du point

M(θ_4)

sachant que l'on dispose uniquement d'une règle graduée, d'un compas et d'une équerre.
(b) Sur la feuille de papier millimétré fournie avec le sujet, placer avec précision les points

M(θ)

pour

θ = θ_0, θ_1, θ_2, θ_3, θ_4, π/2

avec leur tangente ainsi que les points

M(θ)

pour

θ = π, (3π)/2

2π

.
Il est conseillé de prendre une unité de 2 cm .
(c) Finir le tracé de

Γ

et placer le point

M((4π)/3)

.
4. On note

Δ

la partie du plan délimitée par la courbe

Γ

et le segment

[M(0)M(2π)]

. L'objectif de cette question est d'en calculer l'aire

A

.
Pour tout

θ \in [0; 2π]

, on note

u⃗(θ) = cos(θ)i⃗ + sin(θ)j⃗

D(R)

le disque de centre

O

et de rayon

R ⩾ 0

.
Soit

n

un entier naturel non nul. Pour tout

k \in {0, 1, \dots, n}

, on note

t_k = (2kπ)/n

.
(a) Justifier que l'aire

A_k(R)

de la partie

D_k(R)

D(R)

comprise entre les deux demi-droites d'origine

O

et dirigées par les vecteurs

u⃗(t_k)

u⃗(t_(k + 1))

vaut:

π/nR^2

.
(b) En déduire que l'aire

A_k

de la partie

Δ_k

Δ

comprise entre les deux mêmes demi-droites vérifie :

(4π^3)/(n^3)k^2 ⩽ A_k ⩽ (4π^3)/(n^3)(k + 1)^2

.
On pourra remarquer que

D_k(R_1) \subset Δ_k \subset D_k(R_2)

pour deux valeurs de

R_1

R_2

bien choisies.
(c) Démontrer que pour tout entier naturel

N, \sum_(p = 0)^N p^2 = (N(N + 1)(2N + 1))/6

.
(d) En déduire que

(2π^3)/(3n^2)(n - 1)(2n - 1) ⩽ A ⩽ (2π^3)/(3n^2)(n + 1)(2n + 1)

puis la valeur de

A

.
5. L'objectif de cette question est d'utiliser la courbe

Γ

pour construire un segment ayant pour longueur le périmètre du cercle de centre

O

et passant par le point

M(π/2)

.
(a) La tangente à

Γ

M(π/2)

coupe l'axe des abscisses en un point

N

. Calculer la longueur du segment

[ON]

.
(b) Indiquer comment construire un point

N_1

tel que le segment

[ON_1]

réponde au problème.
6. L'objectif de cette question est d'utiliser la courbe

Γ

pour construire un angle dont la mesure est

θ/3

où

θ \in [0, 2π]

est fixé, en utilisant uniquement une règle (non graduée) et un compas.
On admet que ces deux instruments permettent de tracer des droites et des cercles, de reporter des longueurs, de tracer une droite passant par un point fixé et parallèle ou perpendiculaire à une droite donnée.
(a) Soit

A

B

deux points du plan. A l'aide du théorème de Thalès, indiquer une construction à la règle et au compas, d'un point

C

appartenant au segment

[AB]

vérifiant

AC = 1/3AB

.
(b) Utiliser cette construction (les parallèles et perpendiculaires pouvant ici être tracées avec une équerre) pour placer sur le dessin de la question 3, le point

M((4π)/9)

et l'angle

(4π)/9

. On pourra commencer par construire le point

P

de la demi-droite d'origine

O

et passant par

M((4π)/3)

tel que

OP^(\to-) = 1/3OM^(\to-)((4π)/3)

La courbe

Γ

de la partie III, est une spirale d'Archimède. Cette courbe est utilisée pour modéliser un rouleau de tissu ou comme profil de la came d'un organe mécanique (un engrenage ou un moteur par exemple).
Le résultat sur l'aire de

Δ

a été démontré par Archimède à l'aide de la méthode d'exhaustion (il ne possédait pas la notion de limite). Cette méthode lui a également permis de calculer le volume intérieur (d'une portion) de la surface de la partie II.
La courbe

Γ

a aussi permis à Archimède de résoudre deux des problèmes de l'antiquité : la quadrature du cercle et la trisection de l'angle, mais en utilisant en plus de la règle et du compas, un processus cinématique. Ce n'est qu'au xix

^e

siècle, que

P

. Wantzel et

F

. Von Lindemann ont démontré que ces deux problèmes étaient impossibles avec uniquement la règle et le compas.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques B banque PT 2018 ?

Il porte sur les endomorphismes du plan liés aux nombres complexes et leur diagonalisation, la géométrie d'une quadrique réglée dans l'espace, et l'étude d'une courbe paramétrée, la spirale d'Archimède.

Quelles parties du sujet de mathématiques B banque PT 2018 sont indépendantes ?

Les trois parties, consacrées respectivement aux endomorphismes du plan complexe, à la quadrique x²+y²-z²=1 et à la spirale d'Archimède, sont indépendantes les unes des autres.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour traiter ce sujet ?

Il faut maîtriser les nombres complexes et les isométries du plan, la réduction des endomorphismes et matrices, l'étude d'une surface par ses sections planes, ainsi que l'étude des tangentes d'une courbe paramétrée et le calcul d'aire.

Ce sujet de mathématiques B banque PT 2018 est-il faisable en première année ?

Une partie du programme, comme les nombres complexes et les courbes paramétrées, relève de la première année, mais la réduction des endomorphismes et l'étude des quadriques de l'espace relèvent du programme de deuxième année.

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