Banque PT Mathématiques B PT 2019Sujet

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Géométrie différentielle des courbes planes : repère de Frénet, courbure, développée et développante
Déterminants, comatrice et inversion des matrices carrées
Géométrie différentielle des surfaces : paramétrage, plan tangent, enveloppe de plans

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BanqueBanque PT Année2019 FilièrePT MatièreMathématiques

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Présentation du sujet

Enveloppes de droites et de plans, développée d'une courbe et inversion de matrices par la comatrice

Le sujet étudie en première partie l'enveloppe d'une famille de droites, la développée d'un cercle et les développantes associées, à l'aide du repère de Frénet. La deuxième partie, indépendante, établit la formule d'inversion d'une matrice à partir de sa comatrice et l'applique à des exemples numériques et paramétrés. La troisième partie réutilise ces deux outils pour déterminer une surface dont les plans tangents forment une famille de plans donnée.

1Première partieÉtude de l'enveloppe d'une famille de droites paramétrées, identification de cette enveloppe à un cercle, puis étude de la développée et des développantes de ce cercle à l'aide du repère de Frénet.
2Deuxième partieCalcul d'inverses de matrices sur des exemples, puis démonstration générale de la formule reliant l'inverse d'une matrice à sa comatrice et aux déterminants des mineurs, avec une application à une matrice dépendant de deux paramètres.
3Troisième partieDétermination, à partir d'une famille de plans dépendant de deux paramètres, d'un paramétrage de la surface dont ces plans sont les plans tangents, en résolvant un système linéaire à l'aide des résultats de la partie II.

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Epreuve de Mathématiques B

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Dans cette épreuve, les candidats sont invités à illustrer, s'ils le jugent nécessaire, leurs réponses avec un dessin.

La première partie est indépendante du reste du sujet.

Première Partie.

Dans cette partie, l'espace

ℝ^2

est muni de sa structure euclidienne usuelle et d'un repère orthonormé direct (

O; i⃗, j⃗

).
On considère la famille de droites

(D_t)_(t \in ℝ)

d'équation cartésienne

(t^2 - 1)x - 2ty = 2t(t - 1)

Question préliminaire. Soit $(a, b, c) \in ℝ^3$ tel que $(a, b) \neq (0, 0)$ . On considère alors la droite $D$ d'équation cartésienne $ax + by + c = 0$ ainsi que le point $M_0$ de coordonnées $(x_0, y_0) \in ℝ^2$ .
(a) Démontrer que les coordonnées du projeté orthogonal $H_0$ de $M_0$ sur la droite $D$ sont :

(x_0 - a(ax_0 + by_0 + c)/(a^2 + b^2), y_0 - b(ax_0 + by_0 + c)/(a^2 + b^2)).

(b) En déduire la distance

d(M_0, D)

du point

M_0

à la droite

D

.
2. (a) Déterminer l'ensemble des points du plan équidistants des droites

D_(- 1), D_0

D_1

.
(b) En déduire qu'il existe un unique point, dont on précisera les coordonnées, équidistant de toutes les droites

D_t, t \in ℝ

.
3. (a) Soit

t

un réel fixé. Donner un point, un vecteur directeur puis une représentation paramétrique de la droite

D_t

.
(b) Démontrer qu'une représentation paramétrique de l'enveloppe

Γ

de la famille de droites

(D_t)_(t \in ℝ)

est :

{x = (2t^2)/(1 + t^2); y = ((1 − t)^2)/(1 + t^2), t ∈ ℝ

On considère maintenant la courbe $Γ^'$ de représentation paramétrique

{x = 1 + cos(θ); y = 1 + sin(θ), θ \in [0, 2π]

On note

M(θ)

le point de

Γ^'

de paramètre

θ, (T(θ)^(\to-), N(θ)^(\to-))

γ(θ)

la base de Frénet et la courbure de

Γ^'

au point

M(θ)

. Enfin,

s

désigne l'abscisse curviligne de

Γ^'

qui s'annule en 0 .
(a) Reconnaître la courbe

Γ^'

. On sera le plus précis possible.
(b) Démontrer que

Γ \subset Γ^'

. Sont-elles égales?
(c) Les deux courbes sont-elles parcourues dans le même sens?
5. Des questions de cours... pour préparer la suite
(a) Donner les deux définitions (ou caractérisations) de la développée d'une courbe régulière.
(b) Donner la définition (pas la méthode de calcul) de l'enveloppe d'une famille de droites

(D_t)_(t \in ℝ)

.
(c) Donner les deux formules de Frénet.
6. On considère un réel

k

et pour tout

θ \in [0, 2π]

, on note

P_k(θ)

le point défini par

M(θ)P_k(θ)^(\to-) = (k - s(θ))T⃗(θ)

Λ_k

l'ensemble des points

P_k(θ)

pour

θ \in [0, 2π]

.
(a) Calculer les vecteurs

T⃗(θ)

N⃗(θ)

, ainsi que

s(θ)

pour

θ \in [0, 2π]

. Quelle est l'origine du repère de Frénet?
(b) Déterminer une représentation paramétrique de

Λ_k

.
(c) Déterminer les points non réguliers de

Λ_k

. Où sont-ils situés?
(d) Déterminer la développée de

Λ_k

éventuellement privée de ses points non réguliers.
7. Dans la suite de cette partie, nous allons vérifier que toute courbe

Λ

dont la developpée est incluse dans

Γ^'

est une courbe

Λ_k

.
Soit

θ \mapsto P(θ), θ \in [0, 2π]

un paramétrage de

Λ

. On suppose que ce paramétrage est de classe

C^2

sur l'intervalle [

0, 2π

] et que la courbe

Λ

est birégulière.
On note

(T_P^(\to-)(θ), N_P^(\to-)(θ)), s_P(θ)

γ_P(θ)

la base de Frénet, une abscisse curviligne et la courbure de

Λ

au point

P(θ)

. Enfin, on considère que

M(θ)

est le centre de courbure de

Λ

au point

P(θ)

.
(a) Sur la copie, faire une figure illustrant la situation : placer les points

M(θ)

P(θ)

, les vecteurs

T⃗(θ), N⃗(θ), T_P^(\to-)(θ), N_P^(\to-)(θ)

ainsi qu'une allure possible pour les courbes

Γ^'

Λ

au voisinage des points

M(θ)

P(θ)

.
(b) Justifier qu'il existe une fonction

λ

, dont on admettra qu'elle est de classe

C^1

sur

[0, 2π]

telle que :

\forallθ \in [0, 2π], M(θ)P(θ)^(\to-) = λ(θ)T⃗(θ)

.
(c) En déduire que :

(dOP^(\to-))/(dθ) = (dOM^(\to-))/(dθ) + (dλ)/(dθ)T⃗ + λ(dT⃗)/(dθ)

puis que :

(ds_P)/(dθ)T_P^(\to-) = (ds)/(dθ)T⃗ + (dλ)/(dθ)T⃗ + λγ(ds)/(dθ)N⃗

.
(d) Justifier que

(ds)/(dθ) + (dλ)/(dθ) = 0

et en déduire

λ

.
(e) Conclure

Deuxième partie.

Soit

n

un entier naturel plus grand ou égal à 2 . On note

M_n(ℝ)

l'ensemble des matrices carrées à

n

lignes et

n

colonnes et à coefficients dans

ℝ

.
Le détail de tous les calculs effectués devra figurer sur la copie.

Un exemple. Calculer l'inverse de la matrice $M = (1, - 1, 1; - 1, 2, 1; 1, 1, 2)$ .
Un deuxième exemple. On considère la matrice $N = (0, 1, - 1, 1; - 1, 2, - 1, 1; 0, 0, 1, 0; - 1, 1, - 1, 2)$ .
(a) Calculer $N^2 - 3N + 2I$ où $I$ est la matrice identité de $M_4(ℝ)$ .
(b) En déduire que $N$ est inversible et donner l'expression de $N^(- 1)$ en fonction de $I$ et $N$ .
Cas général. On considère une matrice $A = (a_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n)$ appartenant à $M_n(ℝ)$ . Pour tout $(i, j) ∈ {1, 2, …, n}^2$ , on note $A_(i, j)$ la matrice obtenue à partir de la matrice $A$ dans laquelle on a supprimé la $è i^(ème)$ ligne et le $è j^(ème)$ colonne.
Ainsi, si $A = (1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9), A_(1, 3) = (4, 5; 7, 8)$ et $A_(3, 2) = (1, 3; 4, 6)$ .
(a) i. Rappeler la formule permettant de calculer le déterminant de la matrice $A$ en le développant par rapport à sa $è j^(ème)$ colonne.
ii. Soit $(j, j^′) ∈ {1, 2, …, n}^2$ tel que $j \neq j^'$ . En considérant la matrice $B$ qui a les mêmes colonnes que $A$ sauf la $è j^(ème)$ colonne de $B$ qui est égale à la $è j^(lème)$ de $A$ , justifier que :

\sum_(i = 1)^n(- 1)^(i + j)a_(i, j^')det(A_(i, j)) = 0.

(b) Soient

A = (a_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n)

B = (b_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n)

deux matrices de

M_n(ℝ)

. On note

BA = C = (c_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n)

.
i. Rappeler l'expression de

c_(i, j)

en fonction des coefficients des matrices

A

B

.
ii. On choisit

∀(i, j) ∈ {1, 2, …, n}^2, b_(i, j) = (− 1)^(i + j)det(A_(j, i))

Démontrer que

BA = det(A)I_n

où

I_n

est la matrice identité de

M_n(ℝ)

.
iii. En déduire, lorsque

A

est inversible, l'inverse de

A

en fonction de

B

.
4. Application. Soit

(u, v) \in ℝ^2

. On considère la matrice

A(u, v) = (uv - u, uv, u^2 - v; v - 1, v, 2u; u, u, - 1)

.
(a) Déterminer et représenter sur la copie, le domaine

D

(le plus grand possible) pour que la matrice

A(u, v)

soit inversible pour tout

(u, v) \in D

.
On admettra que

D

est un ouvert.
(b) Calculer

A(u, v)^(- 1)

pour tout

(u, v)

D

Troisième partie.

Dans cette partie, l'espace

ℝ^3

est muni de sa structure euclidienne usuelle et d'un repère orthonormé direct (

O; i⃗, j⃗, k⃗

On considère la surface $S$ paramétrée par ${x = u^2; y = uv; z = u^2 + v, (u, v) ∈ ℝ^2$ .
(a) Déterminer l'ensemble des points non réguliers de $S$ .
(b) Donner une équation cartésienne du plan tangent à $S$ en tout point régulier de $S$ .

Dans la suite de cette partie,

U

un ouvert de

ℝ^2

a, b, c

d

quatre fonctions de classe

C^1

sur

U

. On considère la famille de plans

(P_(u, v))_((u, v) \in U)

d'équation cartésienne :

a(u, v)x + b(u, v)y + c(u, v)z = d(u, v).

L'objectif est de déterminer une surface

Σ

dont l'ensemble des plans tangents est la famille

(P_(u, v))_((u, v) \in U)

.
Pour cela, on considère un paramétrage régulier

(u, v) \in U \mapsto M(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

de la surface

Σ

tel que pour tout

(u, v) \in U

, le plan tangent à

Σ

au point

M(u, v)

est le plan

P_(u, v)

.
2. Cas général.
(a) Démontrer que la surface

Σ

convient si et seulement si :

∀(u, v) ∈ U, {a(u, v)x(u, v) + b(u, v)y(u, v) + c(u, v)z(u, v) = d(u, v) (Eq_1); a(u, v)(∂x)/(∂u)(u, v) + b(u, v)(∂y)/(∂u)(u, v) + c(u, v)(∂z)/(∂u)(u, v) = 0 (Eq_2); a(u, v)(∂x)/(∂v)(u, v) + b(u, v)(∂y)/(∂v)(u, v) + c(u, v)(∂z)/(∂v)(u, v) = 0

On note (

S_1

) ce système.
(b) Démontrer soigneusement que le système (

S_1

) est équivalent au système (

S_2

) :

∀(u, v) ∈ U, {a(u, v)x(u, v) + b(u, v)y(u, v) + c(u, v)z(u, v) = d(u, v); (∂a)/(∂u)(u, v)x(u, v) + (∂b)/(∂u)(u, v)y(u, v) + (∂c)/(∂u)(u, v)z(u, v) = (∂d)/(∂u)(u, v); (∂a)/(∂v)(Eq_1); (Eq_4)x)x(u, v) + (∂b)/(∂v)(u, v)y(u, v) + (∂c)/(∂v)(u, v)z(u, v) = (∂d)/(∂v)(u, v)

On note alors

(S_3)

le système

{a(u, v)X + b(u, v)Y + c(u, v)Z = d(u, v); (\partiala)/(\partialu)(u, v)X + (\partialb)/(\partialu)(u, v)Y + (\partialc)/(\partialu)(u, v)Z = (\partiald)/(\partialu)(u, v); (\partiala)/(\partialv)(u, v)X + (\partialb)/(\partialv)(u, v)Y + (\partialc)/(\partialv)(u, v)Z = (\partiald)/(\partialv)(u, v)

.
3. Une première application. Dans cette question,

U = ℝ^2

a, b, c

d

sont les fonctions :

a : (u, v), \mapsto 2u^2 + v,, b : (u, v) \mapsto 1 - (2u^2 + v),; c : (u, v), et d : (u, v) \mapsto uv + u^3.

(a) Vérifier que le système

(S_3)

est inversible pour tout

(u, v) \in ℝ^2

.
(b) Résoudre

(S_3)

.
(c) Vérifier que le paramétrage ainsi trouvé est régulier.
4. Une deuxième application. Dans cette question,

a, b, c

d

sont les fonctions :

a : (u, v) \mapsto uv - u,, b : (u, v) \mapsto uv,; c : (u, v) \mapsto u^2 - v, et d : (u, v) \mapsto v.

A l'aide de la partie II., donner un paramétrage de la surface

Σ

qui convient.

Les courbes

Λ_k

de la partie 1 sont les développantes de

Γ^'

. Les développantes de cercle sont utilisées pour la réalisation du profil de certains engrenages.

FIN DE L'ÉPREUVE

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de maths B banque PT 2019 ?

Il porte sur la géométrie différentielle des courbes planes (enveloppe de droites, développée, repère de Frénet), l'algèbre linéaire (inversion de matrices par la comatrice) et la géométrie différentielle des surfaces (plan tangent, enveloppe de plans).

Les parties du sujet banque PT maths B 2019 sont-elles indépendantes ?

L'énoncé précise que la première partie est indépendante du reste du sujet, tandis que la troisième partie réutilise explicitement les résultats de la deuxième partie sur l'inversion des matrices.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour traiter ce sujet ?

Il faut maîtriser le repère de Frénet et les formules de courbure pour les courbes planes, le développement d'un déterminant par rapport à une colonne, ainsi que la notion de plan tangent à une surface paramétrée.

Ce sujet relie-t-il géométrie des courbes et algèbre linéaire ?

Oui, la troisième partie combine la notion d'enveloppe, vue sur des droites en partie I, à la résolution de systèmes linéaires par inversion de matrices établie en partie II, pour construire une surface à partir d'une famille de plans tangents.

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