Banque PT Mathématiques B PT 2021Sujet et rapport du jury

Pas encore noté

Courbes paramétrées de l'espace, vecteur vitesse et accélération
Isométries vectorielles, matrices orthogonales, changement de repère
Nombres complexes, rotations et homothéties planes
Étude complète d'une courbe paramétrée plane : tangentes, points singuliers, longueur
Développée d'une courbe, centre de courbure

Explorer les annales

BanqueBanque PT Année2021 FilièrePT MatièreMathématiques

Annales Banque PT PT Mathématiques Banque PT PT 2021 PT Mathématiques Mathématiques 2021

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Rapport du jury Lire en ligne LaTeX Word

Corrigé : pas encore disponible

Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Modélisation de deux manèges : géométrie dans l'espace et géométrie plane

Le sujet comporte deux parties indépendantes construites sur la modélisation de deux manèges pour enfant. La première étudie la trajectoire d'un cheval de bois dans l'espace (courbe paramétrée, vitesse, accélération), une isométrie liée à un toit incliné et la nature de la section obtenue. La seconde étudie, à l'aide des nombres complexes, une plateforme tournante et mène une étude complète de la courbe décrite ainsi que de sa développée.

1Première partie : manège de chevaux de boisétude d'une courbe paramétrée de l'espace, de sa tangente, du vecteur vitesse et accélération, puis d'une isométrie et d'un changement de repère pour déterminer la nature du bord d'un toit incliné.
2Deuxième partie : manège à plateforme tournanteutilisation des nombres complexes pour paramétrer une courbe plane, étude complète de cette courbe (variations, tangentes, points singuliers, longueur) puis calcul de sa développée.

Difficulté moyenne. le rapport décrit un sujet très proche du cours avec de nombreuses applications directes, mais les taux de réussite varient beaucoup selon les questions, par exemple 55% sur une question de cours contre 71% sur une autre.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Régularité de la courbe confondue avec celle des coordonnées · Extremum conclu à partir de la seule nullité de la dérivée · Axe de rotation confondu avec un vecteur

Le sujet, en deux parties indépendantes, s'appuyait sur la modélisation de deux manèges et restait très proche du cours. L'épreuve a bien permis de classer les candidats, mais la présentation des copies s'est nettement dégradée cette année : seul un peu plus d'un candidat sur cinq a obtenu les points de présentation prévus au barème.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Régularité de la courbe confondue avec celle des coordonnéesQ1.a
de nombreux candidats se contentent d'affirmer que le vecteur vitesse est non nul sans justification, en confondant régularité de la courbe et régularité de ses fonctions coordonnées.
2
Extremum conclu à partir de la seule nullité de la dérivéeQ2.b
certains candidats concluent qu'une valeur est un extremum, même local, dès que la dérivée s'annule, sans étude complète du signe.
3
Axe de rotation confondu avec un vecteurQ4.c.ii
l'axe de la rotation est une droite et non un vecteur ; de nombreuses erreurs de signe apparaissent aussi dans le calcul du cosinus de l'angle de rotation.
4
Détail des calculs absent quand le résultat est donné
lorsqu'un résultat est fourni par l'énoncé, le détail des calculs doit figurer sur la copie pour convaincre le correcteur ; ce n'est souvent pas le cas.
5
Signes des dérivées non justifiés2.f
les signes des dérivées x' et y' sont rarement justifiés dans l'étude des variations, la seule recherche des valeurs d'annulation ne suffisant pas.
6
Consignes de tracé non respectées2.j
le tracé de la courbe ne respecte pas toujours les consignes de l'énoncé : couleurs différentes, légende et unité doivent apparaître clairement.

Ce qui a été bien réussi

la question 1.c a été réussie par un candidat sur deux malgré de nombreuses erreurs de calcul
les formules de linéarisation de la question 2.a sont bien connues par 70% des candidats
la nature de la courbe BT (question 4.e.iii) a été trouvée par 71% des candidats
la parité de la courbe étudiée en partie II est plutôt bien traitée

Conseils du jury

illustrer les réponses par un schéma dans un sujet de géométrie
respecter scrupuleusement les notations et les consignes de l'énoncé
justifier tous les résultats, y compris ceux donnés par l'énoncé, en détaillant les calculs
annoncer l'objectif d'une question puis conclure en encadrant le résultat obtenu
écrire les vecteurs avec une flèche
en fin d'épreuve, traiter une seule question proprement plutôt que d'en commencer plusieurs sans rien écrire de concret

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Pas encore de corrigé pour ce sujet : voici des sujets proches corrigés.

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

Epreuve de Mathématiques B

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

CONSIGNES:

Composer lisiblement sur les copies avec un stylo à bille à encre foncée : bleue ou noire.
L'usage de stylo à friction, stylo plume, stylo feutre, liquide de correction et dérouleur de ruban correcteur est interdit.
Remplir sur chaque copie en MAJUSCULES toutes vos informations d'identification : nom, prénom, numéro inscription, date de naissance, le libellé du concours, le libellé de l'épreuve et la session.
Une feuille dont l'entête n'a pas été intégralement renseignée, ne sera pas prise en compte.
Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance.

Dans cette épreuve, les candidats sont invités à illustrer, s'ils le jugent nécessaire, leurs réponses avec un dessin.

Le sujet est composé de deux parties indépendantes.

Première Partie. Modélisation d'un manège de chevaux de bois.

L'espace euclidien

ℝ^3

est muni de sa structure euclidienne usuelle et d'un repère orthonormé direct (

O; i⃗, j⃗, k⃗

).
Un manège pour enfant est constitué d'un cheval de bois tournant autour de l'axe du manège et animé d'un mouvement vertical.
Ce dispositif est schématisé par la figure ci-contre et on suppose que les coordonnées du point

M(t)

sont :

(cos(t), sin(t), 1/4sin^2(t) + 1/2).

On note

C

la courbe décrite par l'ensemble des points

M(t)

lorsque

t

parcourt

ℝ

.
Pour tout réel

t

, on appelle vecteur vitesse au point

M(t)

le vecteur

V⃗(t) = (dOM^(\to-))/(dt)(t)

et vecteur accélération au point

M(t)

le vecteur

A⃗(t) = (d^2 OM^(\to-))/(dt^2)(t)

. On note

V(t)

A(t)

les normes des vecteurs

V⃗(t)

A⃗(t)

(a) Démontrer que tous les points de $C$ sont réguliers.
(b) Déterminer un vecteur directeur de la tangente à $C$ en un point $M(t)$ où $t \in ℝ$ .
(c) Dans le cas particulier $t = π/3$ , donner une équation du plan passant par $M(t)$ et orthogonal à la tangente à $C$ en $M(t)$ .
(a) Déterminer $V(t)$ et $A(t)$ pour tout $t \in ℝ$ .
(b) Pour quelles valeurs de $t, V(t)$ est-elle minimale? maximale?
(c) Vérifier que $V(t)$ est minimale lorsque $A(t)$ est maximale. Que peut-on dire de la direction du vecteur $V⃗(t)$ dans ce cas?
Justifier que la courbe $C$ est incluse dans la surface $Σ$ d'équation $x^2 + y^2 = 1$ .
Le propriétaire du manège souhaite construire un toit incliné au dessus de son manège. Pour en connaitre la forme, il fait l'intersection de la surface $Σ$ avec le plan $Q$ d'équation $z = 3 - 3/4y$ . Une représentation cartésienne du bord du toit est $donc{x^2 + y^2 = 1; z = 3 − 3/4y$ . On note $BT$ cette courbe.
(a) Donner un vecteur directeur de la tangente à $BT$ au point de coordonnées $(1, 0, 3)$ .
(b) Donner un vecteur unitaire normal au plan $Q$ .
(c) On considère la matrice $P = 1/5(0, 5, 0; - 4, 0, 3; 3, 0, 4)$ .
i. Démontrer que la matrice $P$ est orthogonale.
ii. On note $f$ l'endomorphisme canoniquement associé à la matrice $P$ . Donner la nature et les éléments caractéristiques de $f$ .
(d) On note $u⃗, v⃗$ et $w⃗$ les vecteurs $u⃗ = 1/5(- 4j⃗ + 3k⃗), v⃗ = i⃗$ et $w⃗ = 1/5(3j⃗ + 4k⃗)$ . Sans calcul supplémentaire, justifier que ( $u⃗, v⃗, w⃗$ ) est une base orthonormée directe.
(e) On note $Ω$ le point de coordonnées $(0, 0, 3)$ dans le repère $(O; i⃗, j⃗, k⃗)$ . Soit $M$ un point de $ℝ^3$ . On note ( $x, y, z$ ) ses coordonnées dans le repère ( $O; i⃗, j⃗, k⃗$ ), ( $x_1, y_1, z_1$ ) ses coordonnées dans le repère ( $Ω; i⃗, j⃗, k⃗$ ) et ( $X, Y, Z$ ) ses coordonnées dans le repère ( $Ω; u⃗, v⃗, w⃗$ ).
i. Quelle relation existe-t-il entre les vecteurs $(x; y; z)$ et $(X; Y; Z)$ ?
ii. Démontrer que dans le repère ( $Ω; u⃗, v⃗, w⃗$ ), une représentation cartésienne de $BT$ est ${16X^2 + 25Y^2 = 25; Z = 0$ .
iii. En déduire la nature de $BT$ .
Suite à une erreur de montage, le support du cheval de bois, c'est à dire la droite $(N(t)M(t))$ , n'est plus vertical mais incliné. A l'instant $t = 0$ , ce support, noté $Δ_λ$ a pour équations cartésiennes ${x = λz; y = 1 + λz$ où $λ$ est un réel appartenant à l'intervalle [ $0; 1$ ]
(a) Déterminer une équation de la surface de révolution $S_λ$ obtenue en faisant tourner la droite $Δ_λ$ autour de l'axe ( $Oz$ ).
(b) Justifier que $S_λ$ est une surface réglée.
(c) Le propriétaire du manège souhaite désormais savoir quelle sera la forme du bord de son nouveau toit, noté $BT_λ$ obtenu en faisant l'intersection de $S_λ$ et du plan $Q$ défini dans la question 4 .
On admet que dans le repère ( $Ω; u⃗, v⃗, w⃗$ ), une représentation cartésienne de $BT_λ$ est ${2/(25)(8 − 9λ^2)X^2 − (2λ)/(25)(18λ + 15)X + Y^2 = 18λ^2 + 6λ + 1; Z = 0$
A quel type de conique, la courbe $BT_λ$ appartient-elle?

Deuxième Partie.

Modélisation d'un deuxième manège pour enfant.

Le plan affine euclidien

ℝ^2

est muni de sa structure euclidienne usuelle et d'un repère orthonormé direct (

O; i⃗, j⃗

Question préliminaire. Soit $M$ un point de $ℝ^2$ d'affixe complexe $z$ .
(a) Donner sans justification l'affixe complexe de l'image de $M$ par la rotation $r_θ$ de centre $O$ et d'angle $θ$ .
(b) Donner sans justification l'affixe complexe de l'image de $M$ par l'homothétie $h_a$ de centre $O$ et de rapport $a$ avec $a \neq 0$ .
(c) Vérifier que $r_θ \circ h_a = h_a \circ r_θ$ . On note alors $f_(a, θ) = r_θ \circ h_a$ .
Formules de trigonométrie. On considère 4 réels $a, b, p$ et $q$ .
(a) Donner, sans démonstation, la linéarisation de $cos(a)cos(b), sin(a)cos(b)$ et $sin(a)sin(b)$ .
(b) En déduire que $cos(p) - cos(q) = - 2sin((p + q)/2)sin((p - q)/2)$ ainsi qu'une factorisation de $sin(p) + sin(q)$ .
Un manège pour enfant est constitué d'une plateforme tournant autour d'un axe, lui même animé d'un mouvement circulaire.

Ce dispositif est schématisé par la figure ci-contre et les mouvements des points

P(t)

M(t)

sont donnés par :

L'affixe complexe du point $P(t)$ est $2e^(it)$ ;
L'affixe complexe du vecteur $P(t)M(t)^(\to-)$ est $e^(- 2it)$ . On note $z(t)$ l'affixe complexe du point $M(t)$ et $Γ$ la courbe décrite par l'ensemble des points $M(t)$ pour $t \in ℝ$ .

(a) En calculant pour tout réel $t$ l'affixe complexe $z(t)$ du point $M(t)$ , démontrer qu'une représentation paramétrique de $Γ$ est ${x(t) = 2cos(t) + cos(2t); y(t) = 2sin(t) - sin(2t), t \in ℝ$ .
(b) Pour tout réel $t$ , comparer les affixes complexes de $r_((2π)/3)(M(t))$ et de $M(t + (2π)/3)$ . En déduire que $Γ$ est invariante par une rotation à préciser.
(c) Justifier soigneusement que l'on peut réduire l'intervalle d'étude de $Γ$ à $[0; π/3]$ . On donnera à chaque étape les transformations à effectuer pour obtenir la courbe $Γ$ en entier.
(d) Calculer $x^'(t)$ pour $t \in ℝ$ et justifier les égalités :

x^'(t) = - 2sin(t)(1 + 2cos(t)) = - 4sin((3t)/2)cos(t/2).

(e) Calculer

y^'(t)

pour

t \in ℝ

et justifier les égalités :

y^'(t) = 2(1 - cos(t))(1 + 2cos(t)) = 4sin((3t)/2)sin(t/2).

(f) Dresser les tableaux de variation des fonctions

x

y

sur

[0; π/3]

. On précisera les valeurs prises aux bornes de cet intervalle.
(g) Déterminer une équation à la tangente à

Γ

au point

M(π/3)

et vérifier qu'elle passe par le point

A

de coordonnées ( 2,0 ).
(h) Déterminer la nature du point

M(0)

et préciser la tangente à

Γ

en ce point.
(i) Calculer la longueur de

Γ

.
(j) Tracer

Γ

ainsi que ses tangentes déterminées précédemment sur la feuille de papier millimétrée fournie. On utilisera des couleurs différentes pour les différentes étapes de la construction sans oublier la légende. On donne

\sqrt3 \approx 1, 73

.
Unité : 3 cm .
4. Développée de

Γ

(a) Démontrer que le centre de courbure de

Γ

en un point

M(t)

régulier est le point

I(t)

de coordonnées

(6cos(t) - 3cos(2t), 6sin(t) + 3sin(2t))

.
On note

Γ_1

la courbe de représentation paramétrique :

{x = 6cos(t) - 3cos(2t); y = 6sin(t) + 3sin(2t), t \in ℝ

I(t)

désigne le point de

Γ_1

de paramètre

t \in ℝ

.
(b) Justifier que

f_(a, θ)(M(t)) = I(t + π/3)

, pour

θ = π/3

et une valeur de

a

à préciser, la fonction

f_(a, θ)

étant définie dans la question préliminaire.
(c) Indiquer une méthode de construction de

Γ_1

. Le tracé n'est pas demandé.
(d) Soient

t \neq 0[π/3]

t^' \neq 0[π/3]

.
i. Démontrer que la tangente à

Γ

M(t)

et la tangente à

Γ

M(t^')

sont orthogonales si et seulement si

t^' = t + π[2π]

.
ii. En déduire, sans calcul, que la tangente à

Γ

M(t)

et la tangente à

Γ_1

I(t + π)

sont parallèles.

Fin de l'épreuve

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques B banque PT 2021 ?

Le sujet porte sur les courbes paramétrées et les isométries de l'espace dans la première partie, et sur les nombres complexes et l'étude d'une courbe plane dans la seconde.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à l'épreuve de mathématiques B banque PT 2021 ?

Le jury signale des résultats non justifiés, une confusion entre l'axe et le vecteur d'une rotation, et des signes de dérivées rarement démontrés dans l'étude des variations.

L'épreuve de mathématiques B banque PT 2021 est-elle difficile ?

Le rapport la décrit comme très proche du cours avec de nombreuses questions d'application directe, mais avec des taux de réussite très variables selon les questions.

L'épreuve de mathématiques B banque PT 2021 porte-t-elle sur plusieurs parties indépendantes ?

Oui, le sujet comporte deux parties indépendantes, l'une de géométrie dans l'espace, l'autre de géométrie plane.

Pas de description pour le moment

Commentaires• Banque PT Mathématiques B PT 2021

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...