Banque PT Mathématiques A PT 2025Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Polynômes de Legendre (algèbre linéaire et réduction) et probabilités discrètes autour d'un jeu à deux joueurs

Le sujet comprend deux exercices de poids égal. Le premier porte sur les polynômes de Legendre : un endomorphisme est étudié, puis réduit dans un espace de polynômes de degré borné, avant l'étude d'un produit scalaire sur ces polynômes. Le second porte sur des probabilités discrètes construites autour d'un jeu où l'espérance de gain d'un joueur est étudiée, avec un match retour dans deux versions différentes.

1Exercice 1, Partie 1 : Polynômes de LegendreÉtude préliminaire d'un endomorphisme puis des polynômes de Legendre.
2Exercice 1, Partie 2 : Étude d'un endomorphisme induitRéduction d'un endomorphisme induit sur un espace de polynômes de degré borné.
3Exercice 1, Partie 3 : Étude d'un produit scalaireConstruction d'un produit scalaire sur les polynômes et étude d'une famille orthonormée.
4Exercice 2, Partie 1 : Calcul de l'espérance du gain pour un joueurModélisation probabiliste d'un jeu et calcul de l'espérance de gain d'un joueur.
5Exercice 2, Partie 2 : Étude de la variable XkÉtude d'une variable aléatoire liée à un joueur particulier k.
6Exercice 2, Partie 3 : Le match retour (version 1)Étude probabiliste d'un match retour, première version du jeu.
7Exercice 2, Partie 4 : Le match retour (version 2)Étude probabiliste d'un match retour, seconde version du jeu.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Réduction des matrices mal maîtrisée (Partie 2, Exercice 1) · Caractère défini du produit scalaire insuffisamment démontré (Q10) · Lois usuelles annoncées sans justification (Q1 de l'exercice 2)

L'exercice d'algèbre linéaire sur les polynômes de Legendre a été bien mieux traité que celui de probabilités, qui reste chaque année une impasse pour de nombreux candidats. La quasi-totalité des copies aborde l'exercice d'algèbre avec au moins quelques questions correctes, alors que plus de 12% des copies n'ont aucun point sur l'exercice de probabilités. Le jury insiste sur la présentation des copies et sur la nécessité de justifier et de terminer les calculs.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Réduction des matrices mal maîtrisée (Partie 2, Exercice 1)Q7
Les confusions entre objets (vecteurs, valeurs propres, espaces propres) sont fréquentes, tout comme l'idée fausse qu'un spectre réduit à des valeurs simples suffirait à conclure à la diagonalisabilité.
« Si l’argument principal est de dire que les valeurs propres sont toutes simples, il faut prouver qu’elles sont distinctes. »
2
Caractère défini du produit scalaire insuffisamment démontré (Q10)Q10
Le point le plus difficile de cette question classique, prouver le caractère défini du produit scalaire, est souvent mal rédigé, avec des imprécisions sur la bilinéarité.
« la bilinéarité est parfois rédigée de façon trop minimale. »
3
Lois usuelles annoncées sans justification (Q1 de l'exercice 2)Q1
Les candidats citent des lois usuelles sans argumenter le lien avec la situation décrite, et oublient parfois de mentionner l'indépendance nécessaire pour conclure à une loi binomiale.
« on assiste à des annonces sans argumentation pour citer des lois usuelles (uniforme, géométrique, Poisson...) qui n’ont pas de lien avec la situation décrite »
4
Formule des probabilités totales mal connue (Q9b)Q9
La formule des probabilités totales est mal connue et le système complet d'événements associé est souvent oublié.
« La formule des probabilité totales est mal connue et son système complet d’événements souvent oublié. »
5
Vocabulaire et notations de probabilité incorrects
Le jury relève l'usage d'une notation P(A) incorrecte et rappelle que l'intersection ne s'applique pas à des probabilités, ainsi qu'une confusion fréquente entre événement et variable aléatoire.
« L’intersection de deux variables aléatoires ou de deux probabilités n’existe pas. »

Ce qui a été bien réussi

La quasi-totalité des copies aborde l'exercice d'algèbre et répond correctement à quelques questions, moins de 1% n'ayant aucun point sur cet exercice.
Certaines copies excellentes traitent l'intégralité du sujet et obtiennent tous les points de barème.

Conseils du jury

Encadrer les résultats à la règle, éviter les ratures et barrer proprement les calculs non aboutis.
Justifier les calculs, en particulier lorsque le résultat demandé est déjà donné dans l'énoncé, et terminer les calculs jusqu'au bout.
Bien prendre le temps de lire le sujet et de comprendre la situation modélisée, en particulier en probabilités.
Nommer précisément les lois usuelles utilisées, avec leurs paramètres, plutôt que de se contenter d'une notation.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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Epreuve de Mathématiques A

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les questions non correctement référencées ne seront pas notées. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

CONSIGNES:

Composer lisiblement sur les copies avec un stylo à bille à encre foncée : bleue ou noire.
L'usage de stylo à friction, stylo plume, stylo feutre, liquide de correction et dérouleur de ruban correcteur est strictement interdit. Les surveillants et surveillantes se réservent le droit de les confisquer.
Remplir sur chaque copie en MAJUSCULES toutes vos informations d'identification : nom, prénom, numéro inscription, date de naissance, le libellé du concours, le libellé de l'épreuve et la session.
Une feuille, dont l'entête n'a pas été intégralement renseigné, ne sera pas prise en compte.
Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance. La présence d'une information d'identification en dehors du cartouche donnera lieu à un point de pénalité et la page concernée pourra être soustraite de la correction.

Exercice 1

Cet exercice comporte trois parties. Les parties 2 et 3 sont indépendantes et utilisent toutes les deux des résultats de la partie 1.
On définit

φ

sur

ℝ[X]

par

\forallP \in ℝ[X], φ(P) = ((X^2 - 1)P^')^',

c'est-à-dire que

φ(P)

est le polynôme dérivé du polynôme

(X^2 - 1)P^'

Préliminaire

(a) Montrer que $φ$ est un endomorphisme de $ℝ[X]$ .
(b) Calculer $φ(X^n)$ pour $n \in ℕ$ . On pourra traiter séparément le cas $n = 0$ .

Partie 1 : Polynômes de Legendre

Pour

n \in ℕ

, on pose

U_n(X) = (X^2 - 1)^n et P_n(X) = U_n^((n))(X).

On rappelle que si

P \in ℝ[X]

n \in ℕ

, on note

P^((n))

la dérivée

n

-ème du polynôme

P

. On remarque que

U_0(X) = P_0(X) = 1

.
2. Calculer

P_1

P_2

.
3. Déterminer le degré de

U_n

puis celui de

P_n

pour

n \in ℕ

.
4. On fixe

n \in ℕ

.
(a) Vérifier que

(X^2 - 1)U_n^' = 2nXU_n

(b) Rappeler la formule de Leibniz exprimant la dérivée

p

-ème d'un produit de deux polynômes, pour

p \in ℕ

.
(c) En dérivant

n + 1

fois l'égalité (E), montrer que :

φ(P_n) = n(n + 1)P_n

On pourra utiliser cette égalité dans les parties suivantes.

Partie 2 : Etude d'un endomorphisme induit

Dans cette question, on fixe un entier naturel non nul

N

.
5. Montrer que

ℝ_N[X]

est stable par

φ

On note alors

φ_N

l'endomorphisme induit par

φ

sur

ℝ_N[X]

. Autrement dit

φ_N : ℝ_N[X], \to ℝ_N[X]; P, \mapsto φ(P).

Ecrire la matrice $M_N$ représentative de $φ_N$ dans la base canonique de $ℝ_N[X]$ . Quelle est la taille de cette matrice?
Déterminer les valeurs propres de $φ_N$ . Cet endomorphisme est-il diagonalisable?
En utilisant la partie précédente, déterminer les sous-espaces propres de $φ_N$ .
Déterminer l'ensemble des valeurs propres de $φ$ .

Partie 3 : Etude d'un produit scalaire

Dans la suite on confond polynôme et fonction polynomiale et on munit

ℝ[X]

du produit scalaire

⟨P, Q⟩ = \int_(- 1)^1 P(t)Q(t)dt

On note

‖ \cdot ‖

la norme associée à ce produit scalaire.
On rappelle que les suites de polynômes

(U_n)_(n \in ℕ)

(P_n)_(n \in ℕ)

ont été définies dans la partie 1 . Dans la suite, on pourra utiliser les résultats prouvés dans cette partie.
On cherche une suite de polynômes

(Q_n)_(n \in ℕ)

telle que pour tout

n \in ℕ, (Q_0, \dots, Q_n)

soit une base orthonormée de

ℝ_n[X]

pour ce produit scalaire.
10. Vérifier que

⟨ \cdot, \cdot ⟩

définit bien un produit scalaire sur

ℝ[X]

.
11. (a) Montrer que pour tout

(n, m) \in ℕ^2, ⟨φ(P_n), P_m⟩ = ⟨P_n, φ(P_m)⟩

. On pourra effectuer une intégration par parties.
(b) En déduire que

⟨P_n, P_m⟩ = 0

pour tout

(n, m) \in ℕ^2, n \neq m

.
12. Calcul de

‖P_n‖

. Dans cette question, on fixe

n \in ℕ

.
(a) Donner les racines de

U_n

ainsi que leur ordre de multiplicité.
(b) Montrer que

‖P_n‖^2 = (- 1)^n⟨U_n^((2n)), U_n⟩

.
(c) Calculer

U_n^((2n))

. On pourra commencer par calculer son degré.
(d) On admet que

\int_(- 1)^1 U_n(t)dt = \int_(- 1)^1(t^2 - 1)^n dt = (- 1)^n(2^(2n + 1)(n!)^2)/((2n + 1)!)

Déduire des résultats précédents la valeur de

‖P_n‖

.
13. Donner une suite

(Q_n)_(n \in ℕ)

solution du problème introduit au début de cette partie.

Exercice 2

Cet exercice comporte quatre parties qui sont en grande partie indépendantes. Les notions et variables étudiées dans la partie 1 sont utilisées dans les parties suivantes.
Un groupe de

n ⩾ 3

amis parie sur l'issue d'un match opposant deux équipes de rugby : l'équipe

A

et l'équipe

B

. On fait les hypothèses suivantes:

Chaque équipe a une probabilité $1/2$ de gagner le match.
Le match n'est pas truqué : son issue est indépendante des paris des joueurs.
Chaque joueur parie 1 euro.
Chaque joueur effectue son pari indépendamment des autres joueurs.
Un joueur est déclaré gagnant s'il a parié sur la bonne issue du match.
L'ensemble des gagnants se partage équitablement la mise totale de $n$ euros.
S'il n'y a aucun gagnant, la mise totale de $n$ euros est reversée au club de rugby local.

Dans l'ensemble de l'exercice, on appelle gain d'un joueur la somme qu'il reçoit à l'issue du match. Ce gain ne prend pas en compte la somme qui a été misée. Ainsi s'il y a

m ⩾ 1

joueurs gagnants, le gain de chacun de ces joueurs est de

n/m

Partie 1 : calcul de l'espérance du gain pour un joueur

On numérote les joueurs de 1 à

n

et pour tout

k \in [ [1, n] ]

, on note :

$Y_k$ la variable qui vaut 1 si le joueur $k$ a gagné et 0 sinon,
$X_k$ le gain, en euros, du joueur $k$ à l'issue du match.

Enfin, on note :

$N = \sum_(k = 1)^n Y_k$ le nombre de gagnants,
$S = \sum_(k = 1)^n X_k$ la somme des gains, en euros, des joueurs.

On admet que

Y_k, X_k, N

S

sont des variables aléatoires définies sur un espace probabilisé

(Ω, A, P)

Donner la loi de $Y_k$ pour $k \in [ [1, n] ]$ ainsi que celle de $N$ . On explicitera les probabilités associées à ces lois.
Expliquer pourquoi $S(Ω) = {0, n}$ puis expliciter la loi de $S$ et calculer $E(S)$ .
En déduire la valeur de $E(X_k)$ pour $k \in [ [1, n] ]$ (le calcul de la loi de $X_k$ n'est pas nécessaire pour cette question).
Un nouvel ami arrive dans le groupe, les joueurs ont-ils intérêt à ce qu'il parie avec eux?

Partie 2 : étude de la variable $X_k$

On fixe

k \in [ [1, n] ]

et on étudie la variable

X_k

.
5. Déterminer

P(X_k = 0)

.
6. (a) Quelle est la loi conditionnelle de la variable

N - 1

sachant l'événement

(Y_k = 1)

?
(b) En déduire que pour tout

i \in [ [1, n] ]

P(X_k = n/i) = ((n - 1)/(i - 1))(1/2)^n

On pourra utiliser les événements

(X_k = n/i), (Y_k = 1)

(N = i)

.
7. Retrouver la valeur de

E(X_k)

calculée dans la partie précédente.
8. On considère un autre joueur

j \neq k

. Les variables

X_j

X_k

sont-elles indépendantes?

Partie 3 : le match retour (version 1)

Après ce premier pari, le groupe d'amis se retrouve et parie sur un nouveau match entre les deux équipes. On suppose que l'issue du deuxième match est indépendante de celle du premier. Chaque joueur parie alors son gain du premier match sur le second, c'est-à-dire que le joueur

k

parie

X_k

euros.
Les gagnants se partagent alors équitablement la mise totale, c'est-à-dire

S

euros. On note :

$Z_k$ le gain du joueur $k$ lors de ce deuxième pari,
$M$ le nombre de gagnants du deuxième pari,
$T = \sum_(k = 1)^n Z_k$ la somme des gains du deuxième pari.

On admet que

Z_k, M

T

sont des variables aléatoires définies sur l'espace probabilisé (

Ω, A, P

).
9. (a) Donner la valeur des probabilités

P_((S = 0))(T = 0)

P_((S = n))(T = 0)

.
(b) En déduire que

P(T = 0) = (1/2)^n(2 - (1/2)^n) et P(T = n) = (1 - (1/2)^n)^2.

T

.
(d) Calculer la covariance

Cov(S, T)

.
10. En utilisant la variable

T

, calculer la valeur de

E(Z_k)

pour

k \in [ [1, n] ]

.
11. Le joueur

k

a-t-il intérêt à parier sur ce deuxième match ?

Partie 4 : le match retour (version 2)

Dans cette version, seuls les joueurs ayant gagné au premier match se retrouvent pour le deuxième. Ils misent alors 1 euro. On suppose toujours que l'issue du deuxième match est indépendante de celle du premier.
Les gagnants se partagent alors équitablement la mise totale, c'est-à-dire

N

euros. On note :

$W_k$ le gain du joueur $k$ lors de ce deuxième pari, en convenant que $W_k = 0$ pour les joueurs ayant perdu leur premier pari et ne participant donc pas au second.
$U = \sum_(k = 1)^n W_k$ la somme des gains du deuxième pari.

On admet que

W_k

U

sont des variables aléatoires définies sur l'espace probabilisé (

Ω, A, P

).
12. (a) Donner le support de la variable aléatoire

U

.
(b) Soit

(i, j) \in N(Ω) \times U(Ω), j \neq 0, i \neq 0

. Donner la valeur de

P_((N = i))(U = j)

On pourra distinguer selon que

i = j

ou non.
(c) Donner la loi et l'espérance de

U

.
13. En déduire la valeur de

E(W_k)

.
14. Le joueur

k

a-t-il intérêt à parier sur ce deuxième match ?

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques A de la banque PT 2025 ?

L'exercice 1 porte sur les polynômes de Legendre, la réduction des endomorphismes et les produits scalaires. L'exercice 2 porte sur les probabilités discrètes à travers un jeu à deux joueurs.

L'exercice de probabilités du sujet de mathématiques A PT 2025 est-il difficile ?

Le rapport indique que l'exercice de probabilités reste chaque année une impasse pour de nombreux candidats, avec plus de 12% des copies n'obtenant aucun point sur cet exercice, contrairement à l'exercice d'algèbre linéaire, mieux réussi.

Quelles sont les erreurs les plus fréquentes relevées par le jury sur ce sujet ?

Le jury signale une réduction des matrices mal maîtrisée, un caractère défini du produit scalaire insuffisamment démontré, des lois usuelles citées sans justification, une formule des probabilités totales mal connue et des notations de probabilité incorrectes.

Quelles sont les parties du sujet de mathématiques A de la banque PT 2025 ?

L'exercice 1 comporte trois parties sur les polynômes de Legendre, un endomorphisme induit et un produit scalaire. L'exercice 2 comporte quatre parties sur l'espérance de gain, une variable aléatoire particulière et deux versions d'un match retour.

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L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

CONSIGNES:

Exercice 1

Préliminaire

Partie 1 : Polynômes de Legendre

Partie 2 : Etude d'un endomorphisme induit

Partie 3 : Etude d'un produit scalaire

Exercice 2

Partie 1 : calcul de l'espérance du gain pour un joueur

Partie 2 : étude de la variable X_k

Partie 3 : le match retour (version 1)

Partie 4 : le match retour (version 2)

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques A de la banque PT 2025 ?

L'exercice de probabilités du sujet de mathématiques A PT 2025 est-il difficile ?

Quelles sont les erreurs les plus fréquentes relevées par le jury sur ce sujet ?

Quelles sont les parties du sujet de mathématiques A de la banque PT 2025 ?

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Partie 2 : étude de la variable $X_k$