Banque PT Mathématiques A PT 2026Sujet et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Réduction des matrices M(a, b) et couples de variables aléatoires finies : inversibilité aléatoire, approximation d'une probabilité et indépendance

Le sujet part de la réduction de matrices 2x2 de la forme M(a, b), puis étudie un couple de variables aléatoires finies par calcul matriciel. Il cherche ensuite la probabilité qu'une matrice M(A, B) à coefficients aléatoires soit inversible (lois binomiale, géométrique, de Poisson), avec deux méthodes d'approximation, dont une fonction Python et l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. La dernière partie relie l'indépendance de deux variables finies au rang de la matrice de leur loi conjointe.

1Partie A : quelques matricesDiagonalisation et trigonalisation de trois matrices, puis étude générale de M(a, b) selon le discriminant du polynôme caractéristique, avec un tracé sur papier millimétré.
2Partie B : un couple de variables aléatoiresLoi conjointe donnée par une matrice 3x3 : lois marginales, espérances, covariance et indépendance obtenues par produits matriciels.
3Partie C : des variables aléatoires dans une matriceProbabilité d'inversibilité de M(A, B) pour des lois usuelles, fonctions génératrices, somme de lois de Poisson, puis approximation par somme partielle en Python et par simulation.
4Partie D : un deuxième couple de variables aléatoiresLien entre l'indépendance de deux variables finies et le fait que la matrice de leur loi conjointe soit de rang 1.

Difficulté moyenne. Selon le jury, la grande majorité des candidats a traité les trois premières parties, tandis que la quatrième a permis aux plus performants de faire la différence.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Conditions nécessaires et suffisantes confondues · Arguments de diagonalisation imprécis · Lois marginales sans formule des probabilités totales

L'épreuve couvrait une large part du programme de probabilités de PTSI/PT et, en algèbre, se limitait à la réduction. Elle a permis de classer les candidats, mais les copies très faibles sont plus nombreuses que dans les deux autres épreuves de mathématiques : 4 à 5 % des candidats ne traitent que la partie A. Le jury insiste sur la vérification des hypothèses des théorèmes et sur la précision des arguments.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Conditions nécessaires et suffisantes confonduesA.1, A.5
La caractérisation des matrices trigonalisables est rarement donnée sous forme d'équivalence, et plus du tiers des candidats présente la condition d'inversibilité de M(a, b) comme seulement suffisante, ce qui bloque ensuite la partie C.
« les candidats confondent « si ... alors », « pour que ..., il faut que » et « si et seulement si »
2
Arguments de diagonalisation imprécisA.4, A.7
Des affirmations comme « une seule valeur propre donc non diagonalisable » sont fréquentes, et la notion de polynôme scindé à racines simples est mal distinguée de celle de polynôme scindé. Les sous-entendus sur les racines (distinctes, réelles) coûtent des points.
« Plus du tiers des candidats a fait l’impasse sur cette question »
3
Lois marginales sans formule des probabilités totalesB.1
Additionner les cases d'un tableau ne suffit pas : il faut citer la formule des probabilités totales et préciser le système complet d'événements utilisé.
4
Questions de cours sur les lois usuellesC.3a, C.3b, C.4a
Seuls 39 %, 46 % et 51 % des candidats donnent correctement l'univers image et les probabilités des lois binomiale, géométrique et de Poisson.
5
Fonction Python mal construiteC.6b, C.6c
Erreurs d'initialisation, de placement de n = n+1 et de sens du test d'arrêt de la boucle while. La syntaxe from module import f, g est souvent ignorée et range(eps) n'a pas de sens pour un réel.
« range(eps) renvoie un message d’erreur »
6
Graphique incompletA.8
Beaucoup de tracés n'ont ni repère ni graduation, ce qui est pénalisé. La parabole des matrices non diagonalisables est souvent absente ou ne passe pas par le point de M3.

Ce qui a été bien réussi

Le calcul du discriminant du polynôme caractéristique de M(a, b) (question A.6) est probablement la question la mieux réussie.
La diagonalisation de M1 (question A.2) est relativement bien réussie.
L'espérance et la variance d'une loi binomiale et l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev sont bien écrites par ceux qui abordent ces questions (C.7c et C.7d).

Conseils du jury

Rappeler le numéro de la question dont on réutilise un résultat et vérifier que ses hypothèses sont remplies.
Définir ses notations, notamment pour les sous-espaces propres et la multiplicité d'une valeur propre.
Mettre les fractions sous forme irréductible et ne pas utiliser d'abréviations comme « proba ».
Justifier une loi de Bernoulli par l'univers image et le paramètre, et citer l'indépendance pour obtenir une loi binomiale.
Commenter un programme en expliquant la démarche et le rôle des variables, sans paraphraser le code.
Utiliser une feuille de brouillon, notamment pour placer l'origine et choisir l'unité avant un tracé.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Epreuve de Mathématiques A

Durée 4 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.
À rendre avec la copie 1 feuille de papier millimétré

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les questions non correctement référencées ne seront pas notées. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Dans cette épreuve, les candidats sont invités à illustrer, s'ils le jugent nécessaire, leurs réponses avec un dessin.

Le sujet est composé de 4 parties.
Les deux premières parties sont indépendantes entre elles, les deux dernières parties utilisent certains résultats établis dans les deux premières parties.

CONSIGNES :

-Composer lisiblement sur les copies avec un stylo à bille à encre foncée : bleue ou noire.
-L'usage de stylo à friction, stylo plume, stylo feutre, liquide de correction et dérouleur de ruban correcteur est strictement interdit. Les surveillants et surveillantes se réservent le droit de les confisquer.
-Remplir sur chaque copie en MAJUSCULES toutes vos informations d'identification : nom, prénom, numéro inscription, date de naissance, le libellé du concours, le libellé de l'épreuve et la session.
-Une feuille, dont l'entête n'a pas été intégralement renseigné, ne sera pas prise en compte.
-Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance. La présence d'une information d'identification en dehors du cartouche donnera lieu à un point de pénalité et la page concernée pourra être soustraite de la correction.

Partie A : Quelques matrices

On considère les matrices

M_1 = (2, 6; 1, 1), M_2 = (3, - 2; 1, 1), M_3 = (5, - 4; 1, 1)

1.Rappeler la caractérisation des matrices trigonalisables à l'aide du polynôme caractéristique.
2. $M_1$ est-elle diagonalisable dans $M_2(ℂ)$ ? dans $M_2(ℝ)$ ?
Déterminer (si possible) une matrice $P_1$ inversible et une matrice diagonale $D_1$ telles que $M_1 = P_1 D_1 P_1^(- 1)$ .
Le calcul de $P_1^(- 1)$ n'est pas demandé.
3. $M_2$ est-elle diagonalisable dans $M_2(ℂ)$ ? dans $M_2(ℝ)$ ?
Déterminer (si possible) une matrice $P_2$ inversible et une matrice diagonale $D_2$ telles que $M_2 = P_2 D_2 P_2^(- 1)$ .
Le calcul de $P_2^(- 1)$ n'est pas demandé.
4.(a) $M_3$ est-elle diagonalisable dans $M_2(ℝ)$ ? Trigonalisable dans $M_2(ℝ)$ ?
- (b)On note $f_3$ l'endomorphisme de $ℝ^2$ canoniquement associé à la matrice $M_3$ .
  Déterminer une base de $ℝ^2$ dans laquelle la matrice de $f_3$ est $T_3 = (3, 1; 0, 3)$ .

On s'intéresse désormais aux matrices

M(a, b) = (a, b; 1, 1)

où

(a, b) \in ℝ^2

5.A quelle condition nécessaire et suffisante les matrices $M(a, b)$ sont-elles inversibles?
6.Calculer le discriminant $Δ(a, b)$ du polynôme caractéristique de $M(a, b)$ .
7.(a) Justifier que si $Δ(a, b) = 0$ alors $M(a, b)$ n'est pas diagonalisable dans $M_2(ℂ)$ .
- (b)Lorsque $Δ(a, b) \neq 0, M(a, b)$ est-elle diagonalisable? On précisera si c'est dans $M_2(ℝ)$ et/ou $M_2(ℂ)$ .
8.Représenter sur la feuille de papier millimétré fournie :
- -l'ensemble des points de coordonnées $(a, b)$ tels que $M(a, b)$ est non inversible;
- -l'ensemble des points de coordonnées $(a, b)$ tels que $M(a, b)$ est diagonalisable dans $M_2(ℝ)$ ;
- -l'ensemble des points de coordonnées $(a, b)$ tels que $M(a, b)$ est diagonalisable dans $M_2(ℂ)$ mais pas dans $M_2(ℝ)$ ;
- -l'ensemble des points de coordonnées $(a, b)$ tels que $M(a, b)$ n'est pas diagonalisable dans $M_2(ℂ)$ ;
- -les 3 points correspondant aux matrices $M_1, M_2$ et $M_3$ définies en début de cette partie.

Partie B : Un couple de variables aléatoires

Dans cette partie, on considère la matrice

C = (c_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ 3) = 1/(12)(1, 1, 2; 2, 2, 1; 1, 1, 1)

ainsi que le couple de variables aléatoires

(X, Y)

dont la loi conjointe est donnée par :

- $X(Ω) = Y(Ω) = {x_1, x_2, x_3}$ avec $x_1 = - 1, x_2 = 0$ et $x_3 = 1$ .
- $∀i ∈ {1, 2, 3}, ∀j ∈ {1, 2, 3}, P(X = x_i, Y = x_j) = c_(i, j)$ .

On note

U

le vecteur

(1; 1; 1)

V

le vecteur

(x_1; x_2; x_3)

.
On convient de confondre une matrice de

M_1(ℝ)

avec son unique coefficient.

1.(a) Justifier soigneusement que le produit $CU$ permet d'obtenir la loi de $X$ puis déterminer cette loi.
- (b)Vérifier que l'espérance de $X$ , notée $E(X)$ , est égale à $V^⊤CU$ puis la calculer.
2.Donner, sans justification, les produits matriciels qui permettent d'obtenir la loi marginale de $Y$ et l'espérance $E(Y)$ de $Y$ puis effectuer ces produits.
3.Que représente le produit $V^⊤CV$ pour le couple $(X, Y)$ ? Une justification est attendue.
Calculer ce produit.
4.Calculer la covariance de $X$ et $Y$ .
5.Les variables aléatoires $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes? On donnera deux justifications différentes.
6.Que représente la trace de $C$ pour le couple $(X, Y)$ ? La calculer.

Partie C : Des variables aléatoires dans une matrice.

Dans cette partie, on considère deux variables aléatoires

A

B

ainsi que la matrice

M(A, B) = (A, B; 1, 1)

1.On suppose dans cette question que les variables aléatoires $A$ et $B$ sont égales respectivement aux variables aléatoires $X$ et $Y$ définies par la partie B.
- (a)Déterminer la probabilité que $M(A, B)$ soit inversible.
- (b)Calculer la probabilité que $M(A, B)$ ne soit pas diagonalisable dans $M_2(ℝ)$ ni dans $M_2(ℂ)$ .

On suppose désormais et jusqu'à la fin de cette partie que

A

B

sont deux variables aléatoires indépendantes.

2.On suppose que $A$ et $B$ sont à valeurs dans une partie $H$ de $ℕ$ .
Etablir soigneusement que
$P(A = B) = \sum_(k \in H)P(A = k)P(B = k).$

3.On suppose dans cette question que $A$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ où $n$ est un entier naturel non nul et $p$ est un réel appartenant à ]0; 1[ et $B$ suit la loi géométrique de paramètre $r$ où $r$ est un réel appartenant à $]0$ ; 1[.
- (a)Rappeler l'univers-image $A(Ω)$ de $A$ ainsi que les probabilités $P(A = k)$ pour $k \in A(Ω)$ .
- (b)Rappeler l'univers-image $B(Ω)$ de $B$ ainsi que les probabilités $P(B = k)$ pour $k \in B(Ω)$ .
- (c)Démontrer que la probabilité que $M(A, B)$ ne soit pas inversible est égale à
  $r/(1 - r)[(1 - pr)^n - (1 - p)^n].$
4.On suppose dans cette question que $A$ suit la loi de Poisson de paramètre $λ$ et que $C = - B$ suit la loi de Poisson de paramètre $μ$ où $λ$ et $μ$ sont deux réels strictement positifs.
- (a)Rappeler l'univers-image $A(Ω)$ de $A$ ainsi que les probabilités $P(A = k)$ pour $k \in A(Ω)$ .
- (b)Démontrer que $A + C$ suit la loi de Poisson de paramètre $λ + μ$ . On pourra utiliser les fonctions génératrices.
- (c)En déduire la probabilité que $M(A, B)$ soit inversible.

On suppose désormais jusqu'à la fin de cette partie que

A

suit la loi de Poisson de paramètre

λ

B

suit la loi de Poisson de paramètre

μ

où

λ

μ

sont deux réels strictement positifs.

5.Démontrer que la probabilité que $M(A, B)$ soit non inversible est égale à
$I = \sum_(k = 0)^(+ \infty)((λμ)^k)/((k!)^2)e^(- (λ + μ))$
L'objectif des questions suivantes est de déterminer une valeur approchée de $I$ .
6.Une première option : Pour tout $n ⩾ 0$ , on note $R_n = \sum_(k = n + 1)^(+ \infty)((λμ)^k)/((k!)^2)e^(- (λ + μ))$ .
- (a)Démontrer que
  $\foralln ⩾ 0, |R_n| ⩽ 1/((n + 1)!)e^(λμ - (λ + μ)).$
- (b)Ecrire en langage Python une fonction val_app de paramètre un réel strictement positif eps, qui calcule et renvoie la valeur d'une somme partielle de $I$ représentant une valeur approchée de $I$ à eps > 0 près.
  On supposera que les valeurs de $λ$ et de $μ$ sont stockées respectivement dans les variables globales la et mu et que les fonctions exponentielle et factorielle sont disponibles grâce à la commande :
  from math import exp, factorial
  Il n'est pas demandé la documentation des fonctions mais il possible et même recommandé de commenter les lignes de code.
- (c)Quelle instruction doit-on rajouter pour afficher une valeur approchée de $I$ à $10^(- 5)$ près?

7.Une deuxième option : Soit $N$ un entier naturel non nul. On simule $N$ fois de façon indépendante les variables aléatoires $A$ et $B$ .
Pour $i \in [ [1; N] ]$ , on note $J_i$ la variable aléatoire égale à 1 si la matrice $M(A, B)$ est non inversible lors de la $i$ -ème simulation et égale à 0 sinon.
On note également $K_N = \sum_(k = 1)^N J_i$ et $K_N^- = 1/NK_N$ .
- (a)Reconnaitre la loi de la variable aléatoire $J_i$ pour $i \in [ [1; N] ]$ . On donnera son nom ainsi que son ou ses paramètres.
- (b)Quelle est la loi de $K_N$ ? On donnera son nom ainsi que son ou ses paramètres. Une justification est attendue.
- (c)En déduire l'espérance et la variance de $K_N^-$ .
- (d)Démontrer à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, que :
  $\forallε > 0, P(|K_N^- - I| ⩾ ε) ⩽ 1/(4Nε^2)$
- (e)En déduire que
  $\forallε > 0, P(I \in [K_N^- - ε; K_N^- + ε]) ⩾ 1 - 1/(4Nε^2).$
- (f)Pour $λ = 1$ et $μ = 2$ , on effectue $N = 100000$ simulations.
  La matrice $M(A, B)$ a été non inversible à 21357 reprises.
  Quelle information concernant la valeur de $I$ , l'inégalité précédente donne-t-elle si on prend $ε = 10^(- 2)$ ? Puis $ε = 10^(- 3)$ ?

Partie D : Un deuxième couple de variables aléatoires.
Soient

n \in ℕ^⋆, X

Y

deux variables aléatoires telles que

X(Ω) = {x_1, x_2, …, x_n}

Y(Ω) = {y_1, y_2, …, y_n}

.
On note

Q = (q_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n)

la matrice de

M_n(ℝ)

définie par :

\forall(i, j) \in [ [1; n] ]^2, q_(i, j) = P(X = x_i, Y = y_j).

1.On suppose que $X$ et $Y$ sont indépendantes et que $\foralli \in [ [1; n] ], P(X = x_i) \neq 0$ .
- (a)Justifier que le rang de la matrice $Q$ est égal à 1.
- (b)Que peut-on en déduire concernant les éventuelles valeurs propres (réelles) de $Q$ ainsi que leur multiplicité?
- (c)Démontrer que $Q$ est diagonalisable.
- (d)Lorsque $n = 4$ , donner un exemple où $Q$ n'est pas diagonalisable si on enlève l'hypothèse $\foralli \in [ [1; n] ], P(X = x_i) \neq 0$ .
  Les deux variables aléatoires $X$ et $Y$ devront être non constantes.
2.On suppose que le rang de $Q$ est égal à 1.
Démontrer que $X$ et $Y$ sont indépendantes.
On pourra, si nécessaire, généraliser sans démonstration certains résultats vus dans la partie B.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de Mathématiques A de la Banque PT 2026 ?

Sur la réduction des matrices M(a, b) et sur les probabilités : couple de variables finies traité par calcul matriciel, probabilité qu'une matrice à coefficients aléatoires soit inversible, et lien entre indépendance et rang de la matrice de la loi conjointe.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en Maths A Banque PT 2026 ?

La confusion entre condition nécessaire, suffisante et équivalence, des lois marginales obtenues sans formule des probabilités totales, des questions de cours sur les lois usuelles réussies par à peine la moitié des candidats et des fonctions Python mal initialisées.

Y a-t-il de l'informatique dans l'épreuve de Maths A PT 2026 ?

Oui, la partie C demande une fonction Python qui calcule une somme partielle approchant une probabilité à eps près. Le jury rappelle que l'import from module import f, g et la fonction print sont exigibles.

Quelle partie du sujet Maths A Banque PT 2026 a fait la différence ?

La partie D, sur le rang de la matrice de la loi conjointe. Sa dernière question a été très peu traitée et jamais avec succès.

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Partie A : Quelques matrices

Partie B : Un couple de variables aléatoires

Partie C : Des variables aléatoires dans une matrice.

Questions fréquentes

Sur quoi porte le sujet de Mathématiques A de la Banque PT 2026 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en Maths A Banque PT 2026 ?

Y a-t-il de l'informatique dans l'épreuve de Maths A PT 2026 ?

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