Banque PT Mathématiques C PT 2024Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Fonctions trigonométriques, intégrales à paramètres et sommes de séries classiques (constante de Catalan, intégrale de Gauss)

Le sujet part de l'étude de fonctions construites à partir de tangente et de logarithme pour aboutir à deux résultats classiques : la valeur de l'intégrale de Gauss et la somme des inverses des carrés. Un préambule technique sur les fonctions trigonométriques prépare les parties I à IV, qui enchaînent intégrales impropres, séries entières, équation différentielle linéaire et intégrales à paramètre.

1PréambuleÉtude de fonctions construites autour de tan(x/2), ln(tan(x/2)) et 1/cos²x : domaines de définition, dérivabilité, variations, tracés.
2Partie IConvergence d'intégrales impropres, développement en série entière de arctangente, échange somme-intégrale, approximation de la constante de Catalan.
3Partie IIRésolution de l'équation différentielle linéaire du second ordre y'' + y = cos x / sin x, par recherche d'une solution particulière puis changement de fonction inconnue.
4Partie IIIÉtude de deux fonctions définies par des intégrales à paramètre, pour retrouver la valeur de l'intégrale de Gauss.
5Partie IVDéveloppements en série entière, produit infini de polynômes, pour retrouver la somme des inverses des carrés des entiers.

Difficulté moyenne. Le rapport indique que l'épreuve a été globalement bien réussie, avec des copies obtenant la note maximale, mais aussi de très faibles copies et des questions avancées (parties III et IV) que peu de candidats ont correctement traitées.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Domaines de définition mal écrits · Convergence d'intégrale confondue avec un simple encadrement · Théorème d'intégration terme à terme mal cité

Le jury juge l'épreuve globalement bien réussie, certaines copies traitant l'intégralité du sujet et obtenant vingt sur vingt. Il regrette cependant une écriture parfois peu lisible, une orthographe mathématique fautive et des abréviations ou un vocabulaire familier inadaptés à une copie de concours.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Domaines de définition mal écritsPréambule Q3.a
Beaucoup de candidats ne savent pas rédiger correctement une réunion d'intervalles et ajoutent des réels à des intervalles sans notation cohérente.
« Un nombre important de candidats ne sait pas écrire correcteme nt une réunion d’intervalles, »
2
Convergence d'intégrale confondue avec un simple encadrementPartie I Q2
Pour l'étude de convergence de l'intégrale de ln(tan(x/2)), une majoration de la fonction à intégrer ne prouve rien lorsque la fonction est à valeurs négatives.
« une majoration de la fonction à intégrer ne prouve rien dans le cas des fonctions à valeurs »
3
Théorème d'intégration terme à terme mal citéPartie I Q4
Les candidats invoquent le théorème d'échange somme-intégrale sans préciser ses hypothèses, notamment la convergence de la série des intégrales des valeurs absolues.
« candidats disent qu’ils appliquent le théorème d’inversion limite et intégrale, sans plus de »
4
Hypothèse de domination omise ou incomplètePartie III Q4
Pour la dérivabilité de la fonction G définie par une intégrale à paramètre, l'hypothèse de domination indépendante de x fait souvent défaut ou est mal énoncée.
« fait souvent défaut. Les énoncés sont parfois incomplets, les candidats »
5
Confusion entre rayon et intervalle de convergencePartie I Q3
De nombreuses copies confondent rayon de convergence et domaine de convergence d'une série entière.
« nous notons de nombreuses confusions entre rayon de convergence et domaine de »
6
Structure de l'ensemble des solutions non justifiéePartie II Q3
Les candidats vérifient que les fonctions proposées sont solutions mais ne justifient pas que ce sont toutes les solutions ; la rigueur logique fait globalement défaut dans les copies.
« la rigueur logique fait d’ailleurs globalemen t défaut dans l’ensemble des copies). »

Ce qui a été bien réussi

Au moins 90 % des candidats ont su redonner les deux expressions de la dérivée de la fonction tangente.
La majorité des candidats a correctement résolu l'équation homogène associée à l'équation différentielle de la partie II.
Une grande majorité de candidats a donné le développement en série entière attendu de la fonction du préambule de la partie IV.

Conseils du jury

Encadrer les résultats et tracer les traits à la règle.
Éviter les abréviations et le vocabulaire familier sur une copie de concours.
Analyser l'enchaînement des questions du sujet pour y trouver des indications de stratégie plutôt que de traiter chaque question isolément.
Citer précisément les théorèmes utilisés, avec toutes leurs hypothèses, en particulier pour les théorèmes d'intégration terme à terme et de dérivation sous le signe intégral.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

Epreuve de Mathématiques C

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

À rendre avec la copie 1 feuille de papier millimétré.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les questions non correctement référencées ne seront pas notées. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

CONSIGNES:

Composer lisiblement sur les copies avec un stylo à bille à encre foncée : bleue ou noire.
L'usage de stylo à friction, stylo plume, stylo feutre, liquide de correction et dérouleur de ruban correcteur est interdit.
Remplir sur chaque copie en MAJUSCULES toutes vos informations d'identification : nom, prénom, numéro inscription, date de naissance, le libellé du concours, le libellé de l'épreuve et la session.
Une feuille, dont l'entête n'a pas été intégralement renseigné, ne sera pas prise en compte.
Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance.

Préambule

Rappeler, pour tout réel $x$ de $] - π/2, π/2$ [, les deux expressions (l'une faisant intervenir la fonction cosinus, l'autre la fonction tangente) de la dérivée de la fonction

x \mapsto tanx

(a) Montrer que la fonction $g$ qui, à tout réel $x$ de $]0, π[∖{π/2}$ , associe $g(x) = 1/(tanx)$ , se prolonge en une fonction $g~$ continue sur $]0, π[$ . Montrer que $g~$ est dérivable sur $]0, π[$ .
(b) En déduire une primitive sur $]0, π[$ de la fonction

x \mapsto 1/(sin^2 x)

On considère les fonctions

f_1 : x \mapsto tan(x/2) et f_2 : x \mapsto ln(tan(x/2))

(a) Expliciter les domaines de définition respectifs

D_(f_1) \subset ℝ

D_(f_2) \subset ℝ

des fonctions

f_1

f_2

.
(b) Montrer que les fonctions

f_1

f_2

sont périodiques, de périodes respectives

T_1

T_2

que l'on explicitera.
(c) Donner les domaines de dérivabilité respectifs des fonctions

f_1

f_2

.
(d) Donner, en tout réel

x

du domaine de dérivabilité de la fonction

f_1

, l'expression de

f_1^'(x)

.
(e) Montrer que, en tout réel

x

du domaine de dérivabilité de la fonction

f_2

f_2^'(x) = 1/(2sin(x/2)cos(x/2))

et en déduire une expression simplifiée de

f_2^'(x)

.
(f) Etudier les variations des fonctions

f_1

f_2

. On donnera leurs tableaux de variations respectifs sur une période, en précisant les limites aux bords.

Donner, également, les valeurs des fonctions

f_1

f_2

π/2[2π]

.
(g) Tracer, sur un même graphe (échelle : 1 cm pour une unité), la courbe représentative de

f_1

sur

D_(f_1) \cap [ - 2π, 2π]

et la courbe représentative de

f_2

sur

D_(f_2) \cap [ - 2π, 2π]

.
4. On considère la fonction

f_3 : x \mapsto 1/(cos^2 x)

(a) Expliciter le domaine de définition

D_(f_3) \subset ℝ

de la fonction

f_3

. Quel est le domaine de dérivabilité de

f_3

?
(b) Etudier les variations de la fonction

f_3

sur

[0, π/4]

. On donnera son tableau de variations, en précisant les limites aux bords.

Partie I

(a) Donner une primitive sur $ℝ_+^⋆$ de la fonction logarithme népérien ln.
(b) Soit $ε > 0$ . Exprimer, en fonction de $ε$ :

\int_ε^1 lntdt

\int_0^1 lntdt

Etudier la convergence de

\int_0^(π/2)ln(tan(x/2))dx

Rappeler le développement en série entière de la fonction arctangente (Arctan). On précisera le rayon de convergence.
Montrer que :

\int_0^1(Arctanx)/xdx = \sum_(n = 0)^(+ \infty)\int_0^1((- 1)^n x^(2n))/(2n + 1)dx

On précisera et on énoncera le théorème utilisé.
Exprimer alors

\sum_(n = 0)^(+ \infty)\int_0^1((- 1)^n x^(2n))/(2n + 1)dx

en fonction de la somme d'une série, et sans le signe intégral.
5. On pose :

C = \sum_(n = 0)^(+ \infty)((- 1)^n)/((2n + 1)^2)

(a) Montrer, à l'aide du changement de variable

tan(x/2) = u

, que :

\int_0^(π/2)ln(tan(x/2))dx = - 2C

(b) Justifier que

8/9

est une valeur approchée de

C

(on donnera la précision).
(c) Pour tout entier naturel non nul

N

, on pose :

S_N = \sum_(n = 0)^N((- 1)^n)/((2n + 1)^2)

Soit

p

un entier strictement plus grand que 2. Donner la valeur d'un entier naturel non

nulN

à partir de laquelle

S_N

est une valeur approchée de

C

10^(- 2p)

près.

Partie II

On considère l'équation différentielle sur

]0, π[

y^('')(x) + y(x) = (cosx)/(sinx)

On introduit la fonction $f_4$ qui, à tout réel $x$ de $]0, π[$ , associe :

f_4(x) = (sin(x))ln(tan(x/2))

Montrer que, pour tout réel

x

]0, π[

f_4^('')(x) = - f_4(x) + (cosx)/(sinx)

Résoudre l'équation homogène associée à $(E)$ .
Montrer que les solutions $y$ de $(E)$ sur $]0, π[$ sont de la forme :

y = y_0 + f_4

où

y_0

est une solution de l'équation homogène associée à

(E)

.
4. Dans cette question, on souhaite retrouver de façon différente le résultat obtenu précédemment. Pour cela, on cherche les solutions

y

(E)

sur

]0, π[

de la forme :

x \mapsto y(x) = z(x)sinx

où

z

est une fonction deux fois dérivable sur

]0, π[

.
(a) Montrer que si

y

est solution de

(E)

sur

]0, π[

, alors

z^'

est solution sur

]0, π[

d'une équation différentielle du premier ordre, notée (

E^'

).
(b) Déterminer les solutions de l'équation homogène associée à (

E^'

), puis appliquer la méthode de variation de la constante pour déterminer les solutions de

(E^')

. Donner alors, pour tout réel

x

]0, π[

, l'expression de

z^'(x)

en fonction de

x

.
(c) A l'aide du Préambule, exprimer, pour tout réel

x

]0, π[, z(x)

en fonction de

x

.
(d) Montrer que l'on retrouve bien l'expression des solutions de

(E)

sur

]0, π[

obtenues plus haut.

Partie III

On introduit les fonctions

G

H

, définies respectivement sur les domaines

D_G \subset ℝ

D_H \subset ℝ

, par :

\forallx \in D_G : G(x) = \int_0^(π/4)e^(- (x^2)/(cos^2 θ))dθ;; \forallx \in D_H : H(x) = \int_0^x e^(- t^2)dt

Expliciter, en le justifiant avec soin, $D_G$ .
Etudier la continuité de la fonction $G$ .
Déterminer :

lim_(x \to + \infty)G(x) = 0

Etudier la dérivabilité de la fonction $G$ (pour cela, on se placera sur un intervalle de la forme $[ - a, a]$ , où $a$ est un réel strictement positif), puis expliciter $G^'$ (à l'aide d'une intégrale).
(a) Expliciter $D_H$ .
(b) Montrer que la fonction $H$ est de classe $C^1$ sur $D_H$ . On explicitera la dérivée de $H$ .
A l'aide du changement de variable $u = xtanθ$ , montrer que, en tout réel $x$ de son domaine de dérivabilité,

G^'(x) = - 2e^(- x^2)H(x)

(On distinguera les cas

x = 0

x \neq 0

).
7. Montrer que la fonction

H^2 + G

est constante, en précisant la valeur de cette constante.
8. En déduire la valeur de l'intégrale de Gauss

\int_0^(+ \infty)e^(- x^2)dx

, ainsi qu'une expression simplifiée de

\int_0^(+ \infty)e^(- xt^2)dt

, pour tout réel

x > 0

Partie IV

Rappeler le développement en série entière de la fonction sinus (on précisera le rayon de convergence, ainsi que le domaine de convergence).
On considère la fonction $φ$ , telle que :

\forallx \in ℝ : φ(x) = {(sinx)/x, si, x \neq 0; 1, sinon

Montrer que

φ

est développable en série entière, puis donner son développement en série entière.
3. Dans cette question,

N

désigne un entier strictement positif, et

x

est un réel quelconque. On introduit le polynôme

P_N

tel que :

P_N(X) = (1 - X/π)(1 + X/π)(1 - X/(2π))(1 + X/(2π))\dots(1 - X/(Nπ))(1 + X/(Nπ))

Quel est le coefficient, noté

α_N

, de

X^2

dans

P_N(X)

?
4. On admet, pour tout réel non nul

x

lim_(N \to + \infty)P_N(x) = φ(x)

On désigne par

α

le coefficient de

x^2

dans le développement en série entière de

φ

, et on suppose, de plus, que :

lim_(N \to \infty)α_N = α

En déduire, grâce développement en série entière de

φ

, la valeur de

\sum_(n = 1)^(+ \infty)1/(n^2)

.
5. En déduire la valeur de

\sum_(n = 0)^(+ \infty)1/((2n + 1)^2)

ainsi que celle de :

\sum_(n = 1)^(+ \infty)((- 1)^n)/(n^2)

On pose :

D = \sum_(n = 0)^(+ \infty)1/((4n + 1)^2)

Que vaut

2D - C

? (

C

est la constante introduite dans la Partie I)
7. On donne :

(π^2)/8 \approx 1, 2337

Donner une valeur approchée de

D

Dans ce problème, les propriétés de fonctions trigonométriques permettent d'exprimer des sommes de séries classiques - comme

C = \sum_(n = 0)^(+ \infty)((- 1)^n)/((2n + 1)^2)

, où

C

est la constante de Catalan - ou encore, la très classique intégrale de Gauss, dont la valeur est déterminée ici à l'aide d'intégrales à paramètres.

Fin de l'épreuve

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques C banque PT 2024 ?

Le sujet mêle étude de fonctions trigonométriques, intégrales impropres, séries entières, une équation différentielle linéaire du second ordre et des intégrales à paramètre.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths C PT ?

Des domaines de définition mal rédigés, des théorèmes d'analyse cités sans leurs hypothèses (intégration terme à terme, dérivation sous le signe intégral) et une rigueur logique insuffisante dans la justification des solutions d'équations.

L'épreuve de mathématiques C PT 2024 (banque PT) est-elle difficile ?

Le jury la juge globalement bien réussie, avec des copies parfaites, mais les parties III et IV, plus techniques, n'ont été correctement traitées que par peu de candidats.

Faut-il bien connaître les intégrales à paramètre pour ce sujet de banque PT ?

Oui, la partie III repose entièrement sur la continuité et la dérivabilité de fonctions définies par des intégrales à paramètre, avec l'hypothèse de domination à maîtriser précisément.

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