Calcul de l'intégrale de Gauss par trois méthodes : encadrements exponentiels, équation différentielle et développement en série entière
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Le problème calcule la valeur de l'intégrale de Gauss, intégrale de la fonction exponentielle du carré opposé sur les réels positifs, par plusieurs approches complémentaires. La première partie encadre la fonction exponentielle par des fonctions polynomiales pour établir la convergence de l'intégrale et une majoration de sa valeur. La deuxième détermine sa valeur exacte en étudiant une fonction auxiliaire définie par une intégrale à paramètre, solution d'une équation différentielle linéaire.
1Partie I : encadrements exponentiels et convergence de l'intégrale de GaussÉtudier deux familles de fonctions encadrant l'exponentielle par des puissances, pour en déduire un encadrement de exp(-x²) et établir la convergence de l'intégrale de Gauss ainsi qu'une majoration de sa valeur par pi/2.
2Partie II : calcul exact de l'intégrale de Gauss par équation différentielleÉtudier une fonction définie par une intégrale à paramètre, établir qu'elle vérifie une équation différentielle linéaire du premier ordre, la résoudre et en déduire la valeur exacte de l'intégrale de Gauss.
3Partie III : développement en série entière et valeur approchéeDévelopper la fonction exponentielle du carré opposé en série entière, exprimer l'intégrale sur [0,1] comme somme d'une série alternée, et en donner une valeur numérique approchée à une précision fixée.
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Partie I
Soit n un entier naturel non nul. On considère les fonctions f_n et g_n définies, pour tout réel x, par :
Etudier la parité de f_n et g_n. En déduire un domaine d'étude de ces fonctions.
On souhaite ici tracer les courbes représentatives des fonctions f_1 et g_1 sur un même graphe.
(a) Pour x ∈ ℝ, exprimer f_1(x) − g_1(x) à l'aide de la fonction sinus hyperbolique.
(b) Montrer que pour tout réel t ≥ 0 :
sh(t) ≥ t
En déduire que f_1(x) ≥ g_1(x) pour tout x ≥ 0.
(c) A l'aide de ces éléments, représenter sur un même graphe les courbes représentatives respectives des fonctions f_1 et g_1 sur [0, 1] dans un repère orthonormé direct.
On prendra comme unité 10 cm .
3. On suppose n ≥ 2.
(a) Calculer, pour tout réel x, f_n^′(x) et g_n^′(x).
(b) Etudier les variations de f_n et g_n sur ℝ^+.
(c) Montrer que, pour tout réel positif x : f_n(x) ≥ 0 et g_n(x) ≥ 0.
(d) En déduire, pour tout réel x de l'intervalle [0, √n] :
(1 − (x^2)/n)^n ≤ e^(− x^2) ≤ (1 + (x^2)/n)^(− n)
L'inégalité de droite est-elle encore vraie sur ℝ^+?
(e) Dans cette question, on suppose x fixé dans ℝ^+. Déterminer :
(b) Montrer la convergence de ∫_0^(+ ∞)(dx)/(1 + x^2) et calculer sa valeur.
(c) En déduire la convergence de ∫_0^(+ ∞)e^(− x^2)dx ainsi que la majoration
(a) Soit a un réel strictement positif. Montrer que h est dérivable sur [a, + ∞[.
(b) Montrer que h est dérivable sur ]0, + ∞[.
Etudier les variations de h sur ℝ^+, et en déduire que, pour tout réel positif t :
0 ≤ h(t) ≤ π/2
Montrer que h vérifie, pour t > 0, l'équation différentielle (E)
h^′(t) − h(t) = − I/(√t)
(a) Donner la solution générale, sur ℝ_+^⋆, de l'équation homogène ( E_0 ) associée à (E).
(b) Soit t_0 > 0. A l'aide d'une intégrale, exprimer la primitive s'annulant en t_0 de la fonction qui, à tout réel t > 0, associe (e^(− t))/(√t).
(c) Soit t_0 > 0. Montrer qu'il existe un réel k tel que, pour tout t > 0,
h(t) = (k − I∫_(t_0)^t(e^(− u))/(√u)du)e^t
(a) Montrer que pour tout t > 0, l'intégrale ∫_0^t(e^(− u))/(√u)du est convergente, et que
∫_0^t(e^(− u))/(√u)du = 2∫_0^(√t)e^(− x^2)dx
(b) En faisant tendre t vers 0 dans (⋆), donner une expression de k à l'aide d'une intégrale, et en déduire que pour tout t ≥ 0
h(t) = (π/2 − 2I∫_0^(√t)e^(− x^2)dx)e^t
Montrer que, pour tout réel positif t :
0 ≤ π/2 − 2I∫_0^(√t)e^(− x^2)dx ≤ π/2e^(− t)
En déduire la valeur de I.
Partie III
Etudier la convergence de la série de terme général ((− 1)^n)/(n!(2n + 1)).
Montrer que la fonction qui, à tout réel t, associe e^(− t^2), est développable en série entière sur un domaine D que l'on précisera, et donner ce développement.
Pour tout entier naturel n, on pose R_n = ∑_(k = n + 1)^(+ ∞)((− 1)^k)/(k!(2k + 1)). On admet le résultat suivant :
|R_n| ≤ 1/((n + 1)!(2n + 3))
(a) Proposer, uniquement avec les données fournies par le problème, une méthode permettant de déterminer une valeur numérique approchée de ∫_0^1 e^(− t^2)dt avec une précision ε > 0 donnée.
(b) Donner un nombre rationnel r qui soit une valeur numérique approchée de ∫_0^1 e^(− t^2)dt à 10^(− 3) près ( r pourra être laissé sous forme de somme de fractions : il n'est pas demandé d'exprimer r sous forme de fraction irréductible ni d'en donner une valeur numérique approchée).
On étudie, dans ce problème, diverses propriétés des fonctions gaussiennes, dont un exemple bien connu est la densité de probabilité de la loi normale
x ∈ ℝ ↦ 1/(σ√(2π))e^(− ((x − μ)^2)/(2σ^2))
où μ est l'espérance mathématique, et σ l'écart-type.
Ces fonctions sont très utilisées, notamment, en physique statistique. Ainsi, en théorie cinétique des gaz, la loi de distribution de vitesses de Maxwell, qui est gaussienne, permet de quantifier la répartition des molécules entre les différentes vitesses dans un gaz en équilibre thermodynamique global, à température uniforme.
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Questions fréquentes
4 questions
Sur quels chapitres porte ce sujet de maths C banque PT 2015 ?
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Sur quels chapitres porte ce sujet de maths C banque PT 2015 ?
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Il porte sur les intégrales généralisées, les fonctions définies par une intégrale à paramètre, les équations différentielles linéaires et les séries entières, réunis autour du calcul de l'intégrale de Gauss.
Les parties de ce sujet sont-elles indépendantes ?
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Les trois parties proposent chacune une méthode différente pour approcher ou calculer l'intégrale de Gauss ; la partie II en donne la valeur exacte, réutilisée en partie III pour une application numérique.
Quel résultat célèbre ce sujet permet-il de retrouver ?
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Il permet de retrouver la valeur de l'intégrale de Gauss, intégrale sur les réels positifs de exp(-x²), qui vaut racine de pi sur 2, liée notamment à la loi normale en probabilités.
Ce sujet demande-t-il de résoudre une équation différentielle ?
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Oui, la partie II établit que la fonction auxiliaire étudiée est solution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre, dont la résolution permet d'obtenir la valeur exacte de l'intégrale de Gauss.
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