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Sous-espaces stables par un endomorphisme et couple de variables aléatoires liées à une loi de Poisson
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Le problème étudie, à partir d'un exemple explicite en dimension 4, les sous-espaces engendrés par les itérées d'un vecteur sous un endomorphisme, puis généralise cette construction en dimension quelconque et la relie aux sous-espaces propres dans le cas diagonalisable. Un exercice de probabilités indépendant étudie ensuite un couple de variables aléatoires entières construit à partir d'une loi de Poisson et d'un tirage binomial conditionnel.

  1. 1Partie IÉtudie un endomorphisme de R^4 défini par une matrice explicite, montre l'existence d'un polynôme annulateur de degré 2 et conclut sur sa diagonalisabilité.
  2. 2Partie IIGénéralise la construction précédente : pour un vecteur x, on étudie le sous-espace stable qu'il engendre sous l'action répétée de l'endomorphisme et la matrice de la restriction associée.
  3. 3Partie IIIDans le cas d'un endomorphisme diagonalisable, décompose un vecteur suivant les sous-espaces propres et relie cette décomposition aux sous-espaces stables, avec un exemple en dimension 3.
  4. 4Exercice de ProbabilitésÉtudie un couple de variables aléatoires entières (X, Y) de loi jointe donnée, en détermine les lois marginales, l'indépendance, et la loi conditionnelle de Y sachant X moins Y.

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La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Problème d'Algèbre linéaire

Partie I

On considère l'espace vectoriel ℝ^4. On note ( e_1, e_2, e_3, e_4 ) la base canonique de ℝ^4. On considère la matrice A ∈ M_4(ℝ) définie par
A = (− 7, − 16, 7, − 4; 9, − 3, − 4, − 7; 7, − 4, − 7, − 16; − 4, − 7, 9, − 3)
On note f l'endomorphisme de ℝ^4 dont la matrice dans la base canonique est A.
  1. (a) Calculer f(e_1), f^2(e_1).
    (b) Montrer que la famille (e_1, f(e_1), f^2(e_1)) est liée.
  2. Montrer de même que la famille ( e_2, f(e_2), f^2(e_2) ) est liée.
  3. Montrer que la famille B = (e_1, f(e_1), e_2, f(e_2)) forme une base de ℝ^4.
  4. En déduire que, pour tout x ∈ ℝ^4, f^2(x) + 10f(x) + 100x = 0.
  5. Ecrire la matrice de f dans la base B.
  6. La matrice A est-elle diagonalisable ?

Partie II

On se place maintenant dans l'espace vectoriel ℝ^d et on considère un endomorphisme f de ℝ^d.
Soit x un vecteur non nul de ℝ^n. On considère la suite (x_n)_(n ∈ ℕ) définie par récurrence
{x_0 = x; ∀n ≥ 0, x_(n + 1) = f(x_n)
et on note E_x = Vect(x_n, n ∈ ℕ).
  1. Montrer que E_x est stable par f.
  2. Soit F un sous-espace vectoriel de ℝ^d contenant x et stable par f. Montrer que E_x ⊂ F.
  3. Soit p le plus grand entier tel que (x_0, x_1, …, x_(p − 1)) soit une famille libre.
    (a) Justifier l'existence d'un tel entier p.
    (b) Montrer qu'il existe des réels a_0, a_1, …, a_(p − 1) tels que
x_p = ∑_(i = 0)^(p − 1)a_i x_i
(c) On note E_x^′ = Vect(x_0, …, x_(p − 1)). Montrer que E_x^′ est stable par f.
(d) En déduire que E_x = E_x^′ et que la famille B_p = (x_0, …, x_(p − 1)) est une base de E_x.
4. On note f^ l'endomorphisme de E_x obtenu comme restriction de f à E_x. Donner la matrice de f^ dans la base B_p.
5. Montrer que la famille ( Id, f^, f^^2, …, f^^(p − 1) ) est une famille libre de L(E_x).
6. (a) Montrer que pour tout k < p,
f^^p(x_k) = a_0 x_k + a_1 f^(x_k) + ⋯ + a_(p − 1)f^^(p − 1)(x_k).
(b) En déduire que l'on a
f^^p − a_(p − 1)f^^(p − 1) − ⋯ − a_0 Id = 0

Partie III

Soit E un espace vectoriel sur ℝ de dimension finie et f un endomorphisme de E. On note λ_i(1 ≤ i ≤ p) les valeurs propres réelles deux à deux distinctes de f, et E_i les sous-espaces propres associés. On suppose que f est diagonalisable.
  1. Soit x ∈ E.
    (a) Montrer qu'il existe des vecteurs x_i ∈ E_i tels que
x = ∑_(i = 1)^p x_i
Cette décomposition est-elle unique?
(b) Notons q le nombre de vecteurs x_i non nuls dans la décomposition précédente et supposons pour simplifier que ce sont les q premiers. Montrer que ( x_1, …, x_q ) forme une famille libre.
(c) Exprimer f^k(x) pour 1 ≤ k ≤ q − 1 en fonction des ( x_i, 1 ≤ i ≤ q ).
(d) Supposons qu'il existe des réels α_1, α_2, …, α_q tels que
α_1 x + α_2 f(x) + ⋯α_q f^(q − 1)(x) = 0
Montrer que le polynôme
P(X) = α_1 + α_2 X + ⋯ + α_q X^(q − 1)
admet λ_1, …, λ_q comme racines.
(e) Montrer que la famille (x, f(x), …, f^(q − 1)(x)) est libre.
(f) Montrer que E_x = Vect(x, f(x), …, f^(q − 1)(x)) puis que E_x = Vect(x_1, …, x_p).
2. Soit F un sous-espace stable par f. On note F_i = F ∩ E_i. Soit x ∈ F. On décompose x comme précédemment
x = ∑_(i = 1)^p x_i
avecx_i ∈ E_i.
Déduire de la question précédente que x_i ∈ F_i.
3. On suppose ici que E = ℝ^3 et que la matrice de f dans la base canonique est donnée par
B = (1, 1, − 1; 1, 1, 1; 1, 1, 1)
(a) L'endomorphisme f est-il diagonalisable ?
(b) Déterminer les sous-espaces propres de f.
(c) Déterminer tous les sous-espaces stables par f.

Exercice de Probabilités

Soit X et Y deux variables aléatoires entières positives ou nulles vérifiant, pour tout couple d'entiers naturels (i, j) :
ℙ(X = i, Y = j) = {(λ^i e^(− λ)α^j(1 − α)^(i − j))/(j!(i − j)!), si 0 ≤ j ≤ i; 0, si 0 ≤ i < j
où α et λ sont des constantes fixées vérifiant 0 < α < 1 et λ > 0.
  1. Quelle est la loi de X ?
  2. Quelle est la loi de Y ?
  3. Les variables X et Y sont-elles indépendantes?
  4. On pose Z = X − Y. Déterminer la loi de Z.
  5. Soit n un entier naturel. Calculer la probabilité conditionnelle ℙ(Y = j|Z = n).
  6. Que peut-on en déduire pour les variables Y et Z ?
  7. On suppose que le nombre d'enfants d'une famille française est une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre 2,2 . On admet que la probabilité d'avoir un garçon est égale à 1/2 et que les naissances successives sont indépendantes. Trouver la probabilité que cette famille ait i enfants dont j garçons.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte ce sujet de mathématiques A de la banque PT 2015 ?
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Sur quels chapitres porte ce sujet de mathématiques A de la banque PT 2015 ?

Le problème d'algèbre linéaire porte sur les sous-espaces stables par un endomorphisme et leur lien avec la diagonalisabilité ; l'exercice de probabilités porte sur les variables aléatoires discrètes, en particulier la loi de Poisson.

Le problème d'algèbre et l'exercice de probabilités sont-ils liés ?

Non, ce sont deux exercices distincts et indépendants au sein du même sujet.

Quelles parties du problème d'algèbre s'enchaînent ?

La partie I traite un exemple explicite en dimension 4, la partie II généralise la méthode à un endomorphisme quelconque, et la partie III applique ces résultats au cas diagonalisable, avec un exemple en dimension 3.

L'exercice de probabilités porte-t-il sur un exemple concret ?

Oui, sa dernière question applique les résultats à une famille dont le nombre d'enfants suit une loi de Poisson et dont chaque naissance est indépendamment un garçon ou une fille avec probabilité 1/2.

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