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Banque PT Mathématiques 1B PT 2000Sujet et corrigé

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L'objet de ce problème est d'obtenir diverses approximations de la constante d'Euler définie par
S = lim_(n → + ∞)(1 + 1/2 + ⋯ + 1/n − lnn)
Il est composé de quatre parties qui sont très largement indépendantes. Il sera tenu compte dans la notation du soin apporté à la rédaction.

Partie I

Soit (u_n)_(n ∈ ℕ) la suite définie par
(1)
et (S_n)_(n ⩾ 1) la suite définie par
∀n ⩾ 1 u_n = 1/n∫_0^1 t/(t + n) dt
∀n ⩾ 1 S_n = ∑_(k = 1)^n u_k
  1. Expliciter u_n.
Montrer que la série ∑u_n est convergente.
2. Expliciter S_n.
En déduire la relation S = lim_(n → + ∞)S_n.
3. Montrer que pour tout entier n ⩾ 2,
1/2(1/n − 1/(n + 1)) ⩽ u_n ⩽ 1/2(1/(n − 1) − 1/n)
(On pourra dans (1) majorer et minorer le dénominateur).
En déduire un encadrement de S − S_n.
4. On veut déterminer une valeur approchée de S en calculant une somme partielle S_n. Déterminer une valeur de n permettant d'obtenir une valeur approchée de S à 10^(− 2) près; à 10^(− 6) près.
Que pensez-vous de cette méthode d'évaluation?

Partie II

Dans toute cette partie, n est un entier supérieur ou égal à 1 fixé.
On définit les fonctions A et B d'une variable réelle par les relations :
A(x) = ∫_0^x(1 − e^(− t))/t dt, B(x) = ∫_x^(+ ∞)(e^(− t))/t dt
  1. Préciser les domaines de définition de A et B.
Ces fonctions sont-elles continues ? dérivables ? de classe C^∞ ?
2. Montrer que
∫_0^1(1 − (1 − u)^n)/u du = ∑_(k = 1)^n 1/k
En déduire que
∑_(k = 1)^n 1/k − lnn = ∫_0^1(1 − (1 − t/n)^n)/t dt − ∫_1^n((1 − t/n)^n)/t dt
  1. (a) Montrer que, pour tout u ∈ [0, 1],
(1 − u^2)e^(− u) ⩽ 1 − u ⩽ e^(− u).
(b) Montrer que, pour α ∈ [0, 1],
(1 − α)^n ⩾ 1 − nα.
(c) En déduire que pour tout t ∈ [0, n],
0 ⩽ e^(− t) − (1 − t/n)^n ⩽ (t^2)/ne^(− t)
(d) Déduire de ce qui précède que
S = A(1) − B(1).

Partie III

  1. Soit x > 0. Calculer A(x) − B(x) − A(1) − B(1).
En déduire que pour tout x > 0,
S = A(x) − B(x) − lnx
  1. (a) Montrer que pour x > 0, 0 ⩽ B(x) ⩽ (e^(− x))/x.
    (b) Déterminer x_0 > 0 tel que pour x ⩾ x_0 on ait B(x) ⩽ 1/310^(− 2).
  2. (a) Montrer que A est développable en série entière :
A(x) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)a_n x^n
en précisant la valeur de a_n.
(b) Soit x > 0 fixé. Montrer que la suite (|a_n x^n|)_(n ⩾ 0) est décroissante pour n ⩾ x.
En déduire, pour n ⩾ x, un majorant du reste d'ordre n de la série ∑a_n x^n.
4. Indiquer comment utiliser les résultats précédents pour calculer une valeur approchée de S à 10^(− 2) près.

Partie IV

On considère les fonctions f et F définies par
f : (x, t) ↦ e^(− t)t^x et F : x ↦ ∫_0^(+ ∞)f(x, t)dt
  1. Montrer que F est définie pour x > − 1.
  2. Soient a et b deux réels tels que − 1 < a < b. On définit la fonction φ par :
∀t > 0, φ(t) = {t^a e^(− t), si, t ∈ ]0, 1[; t^b e^(− t), si, t ∈ ]1, + ∞[.
Montrer que φ est continue sur ]0, + ∞[ et que, pour (x, t) ∈ [a, b] × ]0, + ∞[, |f(x, t)| ⩽ φ(t)|.
En déduire que F est continue sur ] − 1, + ∞[.
3. Montrer de façon analogue que F est de classe C^1 sur ] − 1, + ∞[.
4. Montrer que F^′(0) = − S.
(On pourra montrer, par des intégrations par parties bien choisies, que F^′(0) = B(1) − A(1).)
5. Soit I(x) = ∫_0^(+ ∞)e^(− xt)lnt dt.
Montrer que cette intégrale existe pour x > 0.
Exprimer sa valeur à l'aide de x et de la constante S.

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