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* Banque filière PT **

Epreuve de Mathématiques I-B

Durée 4 h

Question préliminaire

Enoncer une condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice carrée à coefficients réels soit diagonalisable dans ℝ.

Partie I: Algorithme de Babylone

On considère les suites réelles (u_n)_(n ∈ ℕ) et (v_n)_(n ∈ ℕ) définies par u_0 = v_0 = 1 et la formule de récurrence:
∀n ∈ ℕ, {u_(n + 1) = u_n + 2v_n; v_(n + 1) = u_n + v_n
Pour tout n ∈ ℕ, on pose ρ_n = ((u_n)/(v_n)).
  1. Déterminer l'unique matrice A telle que l'on ait, pour tout n ∈ ℕ, la relation: ρ_(n + 1) = Aρ_n.
  2. Quelles sont les valeurs propres de A ?
La matrice A est-elle diagonalisable dans ℝ ?
3. Montrer que u_n et v_n sont strictement positifs pour tout entier n.
4. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ, on a les deux inégalités:
(u_n)/(v_n) ≥ 1, et |(u_(n + 1))/(v_(n + 1)) − √2| < 1/2|(u_n)/(v_n) − √2|.
  1. La suite ((u_n)/(v_n))_(n ∈ ℕ) a-t-elle une limite ? Quelle est cette limite ?
  2. Proposer une méthode d'approximation de √2 à 10^(− 2) près, puis à 10^(− 4) près.

Partie II: Etude d'une réaction chimique

L'hydrogène et l'oxygène réagissent suivant la formule
2H_2 + O_2 ⟶ 2H_2 O.
En fait, cette réaction est le résultat de la combinaisons de plusieurs réactions faisant intervenir notamment les radicaux H^+, O^(2 −) et OH^−. Pour simplifier l'étude, on suppose que seules les trois réactions suivantes ont lieu:
O^(2 −) + H_2, ⟶ OH^− + H^+; OH + H_2, ⟶ H_2 O + H^+; H^+ + O_2, ⟶ OH^− + O^(2 −)
On suppose aussi que ces trois réactions sont simultanées et ont la même vitesse. On prend comme unité de temps la durée commune de ces trois réactions. On part à l'instant n = 0 d'un seul radical O^(2 −), d'aucun radical H^+, d'aucun radical OH^−, et d'un nombre illimité de molécules d'hydrogène ( H_2 ) et d'oxygène ( O_2 ).
A l'instant n = 1, il n'y a plus de radical O^(2 −) et il a été produit un radical OH^−et un radical H^+. On note o_n, (oh)_n et h_n le nombre de radicaux O^(2 −), OH^−et H^+présents à l'instant n.
A l'instant n + 1, on suppose que tous les radicaux qui étaient présents à l'instant n ont réagi selon les trois réactions écrites. Ainsi o_(n + 1), (oh)_(n + 1) et h_(n + 1) désignent aussi le nombre de radicaux O^(2 −), OH^−et H^+créés entre l'instant n et l'instant n + 1.
On pose ρ_n = (o_n; (oh)_n; h_n).
  1. Calculer ρ_0, ρ_1 et ρ_2. Vérifier que ρ_3 est égal à (1; 2; 2).
  2. Déterminer l'unique matrice A telle que, pour tout n ∈ ℕ, on ait: ρ_(n + 1) = Aρ_n.
  3. Montrer que o_n peut être écrit, pour tout n ≥ 0, sous la forme:
o_n = α(− 1)^n + β((1 − √5)/2)^n + γ((1 + √5)/2)^n
où α, β et γ sont des constantes réelles.
4. Montrer que γ n'est pas nulle. Quel est son signe?
5. La suite (o_n)_(n ∈ ℕ) admet-elle une limite? Si oui, préciser laquelle.

Partie III: Diffusion d'un gaz

Dans toute cette partie, nous considérons la matrice
A = (1/3, 1/2, 0, 0; 1/2, 1/3, 0, 0; 1/6, 0, 1, 0; 0, 1/6, 0, 1)
  1. Nous dirons qu'une suite de matrices (B_n = (b_(ij)(n)))_(n ∈ ℕ) à coefficients réels converge vers une matrice B = (b_(ij)) si, pour tous i et j fixés, chaque suite réelle (b_(ij)(n))_(n ∈ ℕ) converge vers b_(ij) quand n tend vers + ∞.
    Soit P une matrice. Montrer que si (B_n)_(n ∈ ℕ) converge vers B, alors (PB_n)_(n ∈ ℕ) converge vers PB et (B_n P)_(n ∈ ℕ) converge vers BP.
  2. On note Q = (1/3, 1/2; 1/2, 1/3), I = (1, 0; 0, 1) et R = 1/6I.
Montrer que lim_(n → ∞)Q^n égale 0.
3. Sans calculer (I − Q)^(− 1), montrer que I − Q est inversible puis démontrer la relation suivante:
lim_(n → ∞)(I + Q + Q^2 + ⋯ + Q^n) = (I − Q)^(− 1).
  1. Calculer lim_(n → ∞)A^n.
  2. Le schéma ci-dessous représente quatre réservoirs R_1, R_2, R_3 et R_4 contenant un même gaz.
Les "tuyaux" reliant les différents réservoirs schématisent en fait des membranes semi-perméables qui ne laissent passer le gaz que dans le sens indiqué par la flèche.
Après une heure de fonctionnement, on constate que la moitié du gaz initialement contenu dans R_1 est passé de R_1 à R_2 et qu'un sixième du gaz initialement contenu dans R_1 s'est écoulé dans R_3. De même, la moitié du gaz initialement contenu dans R_2 est passé dans R_1 et un sixième du gaz initialement contenu dans R_2 s'est écoulé dans R_4.
On introduit à l'instant t = 0 un litre de gaz dans le réservoir R_1 et on laisse le système évoluer librement pendant un temps infini. La répartition du gaz dans les réservoirs a-t-elle une limite? Quelle est cette limite?

Partie IV: Un cas plus général

Dans cette partie, on fixe une base de ℝ^d, d > 1. On convient de noter de la même façon un vecteur de ℝ^d et la matrice colonne à d lignes associée à ce vecteur. Pour toute matrice M, on note ^t M la matrice transposée. On désigne par A une matrice carrée d'ordre d à coefficients réels.
  1. Montrer que si λ est valeur propre de A, alors λ est aussi valeur propre de ^t A.
  2. Soit x un vecteur propre de A associé à la valeur propre λ et soit y un vecteur propre de ^t A associé à la valeur propre μ. Montrer, pour λ et μ distincts, la relation ^t yx = 0. Indication: on pourra calculer de deux façons différentes la quantité ^t yAx.
  3. On suppose désormais que A possède d valeurs propres distinctes notées λ_1, λ_2, …, λ_d et vérifiant |λ_1| > |λ_2| > ⋯ > |λ_d|.
    On note x_i un vecteur propre de A associé à la valeur propre λ_i et y_i un vecteur propre de ^t A associé à cette même valeur propre.
    (a) Montrer que (x, y) ⟼ ^t yx définit un produit scalaire sur ℝ^d.
    (b) Montrer que la famille (x_1, …, x_d) est une base de ℝ^d.
    (c) En déduire que l'on peut choisir la famille (y_1, …, y_d) de sorte que ^t y_i x_i = 1 pour tout i, 1 ≤ i ≤ d.
    Dans toute la suite, on supposera que ce choix a été fait.
  4. Pour tout i, 1 ≤ i ≤ d, on définit la matrice carrée A_i d'ordre d par A_i = x_i^t y_i. Montrer que, pour i ≠ j, la matrice A_i A_j est la matrice nulle et que pour tout i, 1 ≤ i ≤ d, on a la relation A_i^2 = A_i.
  5. On note I la matrice identité d'ordre d. Montrer les deux relations: ∑_(i = 1)^d A_i = I, ∑_(i = 1)^d λ_i A_i = A. Indication: on rappelle que ( x_1, …, x_d ) est une base de ℝ^d.
  6. Calculer A^n en fonction des A_i.
  7. Calculer lim_(n → ∞)1/(λ_1^n)A^n.
  8. Dans quels cas la suite de matrices (A^n)_(n ∈ ℕ) converge-t-elle? Calculer alors lim_(n → ∞)A^n.
  9. Retrouver, à l'aide de ces résultats, certains des résultats des parties I et II.

Partie V : Etude d'une population

Une certaine espèce d'insectes se comporte de la manière suivante:
  • la moitié des insectes meurent dans leur première année,
  • chaque survivant à cette première année donne naissance à un descendant au cours de sa seconde année,
  • un quart de ces survivants atteignent la troisième année,
  • chaque insecte ayant atteint la troisième année donne naissance à un descendant au cours de cette troisième année,
  • aucun insecte ne vit plus de trois ans.
On part d'une population comportant 1000 insectes de première année, 1000 de seconde année et 1000 de troisième année. On note a_n, b_n, c_n le nombre d'insectes respectivement de première, de seconde et de troisième année après n années. Pouvez-vous étudier, à l'aide des résultats de la partie IV, l'effectif de la population quand n tend vers l'infini?

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