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* Banque filière PT *

Epreuve de Mathématiques II-B

Durée 4 h

L'usage des machines à calculer est interdit.

Ce problème provient de l'étude du phénomène de cavitation (c'est-à-dire de la formation d'une cavité) à l'intérieur d'une boule remplie d'un matériau incompressible et soumise à certains types d'effort.
On sera amené à considérer une application f de ℝ^3 privé de O = (0, 0, 0) dans lui-même et à étudier quelques propriétés faisant intervenir la matrice jacobienne de f.
Notations:
B_0 = (e_1^(→−), e_2^(→−), e_3^(→−)), : base canonique de ℝ^3 muni de sa structure euclidienne,; (O, B_0), : repère canonique de ℝ^3,; E, : ℝ^3 privé de l'origine O = (0, 0, 0),; Diag(λ_1, λ_2, λ_3), : matrice diagonale (λ_1, 0, 0; 0, λ_2, 0; 0, 0, λ_3),; F, : ensemble des applications de classe C^1 de ℝ_+^∗ dans ℝ,; F^+, : ensemble des applications de classe C^1 de ℝ_+^∗ dans lui-même.
Rappel d'une formule de calcul d'une intégrale de surface:
Soit Σ une surface de ℝ^3 paramétrée par (u, v) ↦ P(u, v), où (u, v) décrit une partie D de ℝ^2 suffisamment régulière. Soit f une fonction continue définie sur Σ. Le calcul de l'intégrale de f sur la surface Σ peut être obtenu par la formule suivante:
∬_Σ f(P)dσ = ∬_D f(P(u, v))‖(∂OP^(→−))/(∂u) ∧ (∂OP^(→−))/(∂v)‖dudv

I. Première partie

  1. Soit m = (x_1, x_2, x_3) un élément de E. On rappelle qu'il existe au moins un triplet (r, θ, φ) ∈ ℝ_+^∗ × [0, π] × [0, 2π] formant un système de coordonnées sphériques de m, c'est-à-dire vérifiant:
x_1 = rsinθcosφ, x_2 = rsinθsinφ, x_3 = rcosθ
a. On pose alors pour tout triplet (r, θ, φ) ∈ ℝ_+^∗ × [0, π] × [0, 2π] :
e_r→ = sinθcosφe_1^(→−) + sinθsinφe_2^(→−) + cosθe_3^(→−),; e_θ→ = cosθcosφe_1^(→−) + cosθsinφe_2^(→−) − sinθe_3^(→−),; e_φ^(→−) = − sinφe_1^(→−) + cosφe_2^(→−).
Vérifier que B = (e_r→, e_θ→, e_φ^(→−)) est une base orthonormale directe de ℝ^3.
b. Lorsque m est un élément de E tel que x_1 x_2 x_3 ≠ 0, représenter sur un dessin r, θ, φ, e_r→, e_θ→ et e_φ^(→−).
2. L'application f de E dans lui-même est définie par la relation:
Of(m)^(→−) = (ρ(r))/rOm^(→−),
où ρ est un élément de F^+.
Soit une application de ℝ dans ℝ_+^∗ × [0, π] × [0, 2π] de classe C^1 qui associe à t le triplet (r(t), θ(t), φ(t)). Soit m(t) le point de coordonnées sphériques (r(t), θ(t), φ(t)) et M(t) = f(m(t)) son image par f.
a. Donner les composantes dans la base B de v(t)^(→−) = (dOm(t)^(→−))/(dt), notées ( v_1, v_2, v_3 ), et celles de V(t)^(→−) = (dOM(t)^(→−))/(dt), notées ( V_1, V_2, V_3 ).
b. Prouver que l'unique matrice J indépendante de la fonction t ↦ (r(t), θ(t), φ(t)) telle que
(V_1; V_2; V_3) = J(v_1; v_2; v_3)
est la matrice Diag (ρ^′(r), (ρ(r))/r, (ρ(r))/r).
3. On admet que l'incompressibilité du matériau se traduit par detJ = 1 pour tout élément m de E . Montrer que cette condition est réalisée si, et seulement si, il existe un réel a positif ou nul tel que pour tout réel r > 0, on ait la relation ρ(r)^3 = r^3 + a^3.
4. Soit f_a l'application associée à la fonction ρ_a définie par ρ_a(r) = 3√(r^3 + a^3).
L'application f_a est-elle injective?
L'application f_a est-elle surjective? Lorsque f_a n'est pas surjective, préciser le sousensemble de E qui n'est pas dans l'image de f; dans ce cas, on dit que se produit le phénomène de cavitation.
L'application f_a peut-elle être prolongée par continuité en O = (0, 0, 0) ?

II. Deuxième partie

L'application étudiée f de E dans lui-même, m = (x_1, x_2, x_3) ↦ M = (X_1, X_2, X_3), est dorénavant donnée par X_i = ψ_i(r)x_i pour 1 ≤ i ≤ 3, où r désigne ‖Om^(→−)‖ et où les fonctions ψ_i sont des éléments de F^+. Dans une telle situation, on dit que la déformation est triaxiale.
  1. a. Ecrire la matrice jacobienne J_0 de l'application f.
    b. Montrer que, lorsque α, β et γ sont des réels, on a, pour tout triplet (V_1^(→−), V_2^(→−), V_3^(→−)) d'éléments de ℝ^3, la relation:
α^2 det(V_1^′^(→−), V_2^′^(→−), V_3^′^(→−)) = det(V_1^(→−), αV_2^(→−) − βV_1^(→−), αV_3^(→−) − γV_1^(→−)).
Pour x_1 ≠ 0, en déduire l'égalité:
det(J_0) = 1/(x_1^2)|ψ_1^′(r)(x_1^2)/r + ψ_1(r), − x_2 ψ_1(r), − x_3 ψ_1(r); ψ_2^′(r)(x_1 x_2)/r, x_1 ψ_2(r), 0; ψ_3^′(r)(x_1 x_3)/r, 0, x_1 ψ_3(r)|
c. Calculer det(J_0) pour m tel que x_1 est non nul, puis pour tout élément m de E.
2. L'incompressibilité s'exprimant toujours par la relation det(J_0) = 1 en tout m de E, montrer que cette condition est réalisée si et seulement si ψ_1, ψ_2 et ψ_3 vérifient pour tout réel r > 0 les trois conditions suivantes:
ψ_1^′(r)ψ_3(r) − ψ_1(r)ψ_3^′(r) = 0; ψ_2^′(r)ψ_3(r) − ψ_2(r)ψ_3^′(r) = 0; ψ_1(r)ψ_2(r)ψ_3(r) + rψ_1(r)ψ_2(r)ψ_3^′(r) = 1
  1. On suppose ces trois conditions C_1, C_2 et C_3 réalisées.
    a. Montrer l'existence de deux réels λ et μ strictement positifs tels que ψ_1 = λψ_3 et ψ_2 = μψ_3.
    b. On note Z la fonction ψ_1 ψ_2 ψ_3, élément de F^+.
Calculer rZ^′(r) + 3Z(r) et en déduire Z.
4. Montrer que ψ_1, ψ_2 et ψ_3 sont des éléments de F^+réalisant les conditions C_1, C_2 et C_3 si, et seulement si, il existe un réel a ≥ 0 et trois réels α_1, α_2 et α_3 strictement positifs tels que les relations suivantes soient vérifiées:
α_1 α_2 α_3 = 1et, pour tout i, 1 ≤ i ≤ 3, ψ_i(r) = (3√(r^3 + a^3))/r
Vérifier que la transformation f_a étudiée dans la première partie est la forme prise par la déformation triaxiale dans le cas où α_1 = α_2 = α_3.

III. Troisième partie

Soit ψ l'élément de F^+défini par ψ(r) = (3√(r^3 + a^3))/r où a est un paramètre réel strictement positif. Soit c un second paramètre réel strictement positif. On choisit les fonctions ψ_i définissant l'application f sous la forme ψ_1 = c^(− 2)ψ et ψ_2 = ψ_3 = cψ.
  1. Soit Σ l'image de la sphère unité {m, ‖Om^(→−)‖ = 1} par l'application f.
    a. Donner une équation cartésienne de Σ et préciser sa nature géométrique.
    b. Montrer que les relations:
X_1 = b/(c^2)cosφ, X_2 = bcsinφcosθ, X_3 = bcsinφsinθ
avec θ ∈ [0, 2π], φ ∈ [0, π] et b = ψ(1), constituent une paramétrisation de Σ.
c. Calculer le vecteur normal unitaire n(M)^(→−) en M à Σ tel que n(M)^(→−) ⋅ Om^(→−) est strictement positif.
2. Soient t_1 et t_2 deux réels. On définit alors en tout point M de Σ les vecteurs suivants: g(M)^(→−) = (t_2 − 2t_1)/3(n(M)^(→−) ⋅ e_1^(→−))e_1^(→−) + (t_1 + t_2)/3((n(M)^(→−) ⋅ e_2^(→−))e_2^(→−) + (n(M)^(→−) ⋅ e_3^(→−))e_3^(→−)), V_1(M)^(→−) = (∂Om^(→−))/(∂c) et V_2(M)^(→−) = (∂Om^(→−))/(∂a).
a. Calculer V_1(M)^(→−) et V_2(M)^(→−).
b. Vérifier les égalités suivantes:
∬_Σ g(M)^(→−) ⋅ V_1(M)^(→−)dσ = (8πb^3)/(3c)t_1 et ∬_Σ g(M)^(→−) ⋅ V_2(M)^(→−)dσ = (4πa^2)/3t_2
  1. Soit l'application W de ℝ_+^∗ × ℝ_+^∗ dans ℝ définie par la relation:
W(c, a) = (4π)/3(2c^2 + c^(− 4))(1 + 2a^3)(1 + a^3)^(− 1/3)
a. Donner t_1 et t_2 en fonction de a pour que ∬_Σ g(M)^(→−) ⋅ V_1(M)^(→−)dσ = (∂W(a, c))/(∂c) et ∬_Σ g(M)^(→−) ⋅ V_2(M)^(→−)dσ = (∂W(a, c))/(∂a).
b. Montrer que chacune des valeurs précédentes des deux dérivées partielles de W a une limite lorsque a tend vers 0 et préciser ces deux limites.
4. Soit C la courbe plane, paramétrée par c ∈ ℝ_+^∗, définie par:
x(c) = 2(c^2 − c^(− 4)), y(c) = 5(2c^2 + c^(− 4))
a. Montrer qu'il existe un point de C d'ordonnée minimale et préciser ses coordonnées.
b. Tracer la courbe C en précisant ses éventuelles asymptotes.
c. La courbe C est-elle une conique ou est-elle contenue dans une conique?

IV. Quatrième partie

Soit W une fonction de classe C^2 de ℝ_+^∗ × ℝ_+^∗ dans ℝ : (I_1, I_2) ↦ W(I_1, I_2) et soient trois fonctions λ_1, λ_2 et λ_3 de F^+.
On pose I_1 = λ_1^2 + λ_2^2 + λ_3^2, I_2 = λ_1^2 λ_3^2 + λ_1^2 λ_2^2 + λ_2^2 λ_3^2 et on note W_1 la fonction composée telle que W_1(λ_1, λ_2, λ_3) = W(I_1, I_2).
On introduit alors, pour 1 ≤ i ≤ 3, les fonctions s_i de ℝ_+^∗ dans ℝ définies par les relations:
∀R > 0, s_i(R) = λ_i(R)(∂W_1)/(∂λ_i)(λ_1(R), λ_2(R), λ_3(R)) − h(R),
où h est un élément de F. Le nombre a étant un réel strictement positif, les conditions mécaniques sont complètement décrites par le système suivant:
s_1^′(R) + 2/R(s_1(R) − s_2(R)) = 0; s_2(R) = s_3(R); s_1(a) = 0
Enfin, on pose P(a) = s_1(b), ρ_a(r) = 3√(r^3 + a^3) et b = ρ_a(1).
  1. Prouver rapidement que les fonctions s_i sont éléments de F et vérifier l'égalité suivante:
    P(a) = ∫_a^b 2/R[λ_2(R)(∂W_1)/(∂λ_2)(λ_1(R), λ_2(R), λ_3(R)) − λ_1(R)(∂W_1)/(∂λ_1)(λ_1(R), λ_2(R), λ_3(R))]dR.
  2. On pose r = 3√(R^3 − a^3), λ_1 = ρ_a^′(r), λ_2 = λ_3 = (ρ_a(r))/r et v = R/r = (ρ_a(r))/r.
Les expressions de λ_1(R), λ_2(R), λ_3(R), I_1(R) et I_2(R) en fonction de v sont notées respectivement μ_1(v), μ_2(v), μ_3(v), J_1(v) et J_2(v). On désigne par Φ la fonction de F définie par Φ(v) = W(J_1(v), J_2(v)) = W_1(μ_1(v), μ_2(v), μ_3(v)).
a. Après avoir montré que μ_1(v), μ_2(v) et μ_3(v) sont des puissances entières positives ou négatives de v, vérifier la relation:
Φ^′(v) = 2/v[μ_2(v)(∂W_1)/(∂λ_2)(μ_1(v), μ_2(v), μ_3(v)) − μ_1(v)(∂W_1)/(∂λ_1)(μ_1(v), μ_2(v), μ_3(v))].
b. En déduire la relation:
P(a) = ∫_b^(+ ∞)(Φ^′(v))/(v^3 − 1)dv, avec b = 3√(1 + a^3)
c. Montrer alors que P(a) a une limite réelle P lorsque a tend vers 0 si et seulement si l'intégrale
I = ∫_1^(+ ∞)[1/(v^5)(∂W)/(∂I_1)(J_1(v), J_2(v)) + 1/(v^3)(∂W)/(∂I_2)(J_1(v), J_2(v))](1 + v^3)dv
est convergente. Vérifier la relation P = 4I.
3. Soit W(I_1, I_2) = (I_1 − 3)^i(I_2 − 3)^j où (i, j) ∈ ℕ^2 et (i, j) ≠ (0, 0). Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur le couple (i, j) pour que le nombre P soit défini et le calculer.

Fin de l'épreuve.

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