Banque PT Mathématiques 1B PT 2004Sujet et corrigé

On désigne par r un entier naturel supérieur ou égal à 2 et par ℕ_r l'ensemble des entiers naturels {1, 2, ⋯, r}.
On désigne par M_r(ℝ) l'ensemble des matrices carrées d'ordre r à coefficients réels.
On note I_r la matrice unité d'ordre r.
Une matrice M = (m_(ij)) ∈ M_r(ℝ) est dite à diagonale strictement dominante si, et seulement si

Une matrice A = (a_(ij)) ∈ M_r(ℝ) est dite stochastique lorsqu'elle vérifie les deux conditions suivantes:

Elle est dite stochastique stricte si, de plus, ses coefficients sont tous non nuls.

On note S_r l'ensemble des matrices stochastiques de M_r(ℝ) et S_r^⋆ l'ensemble des matrices stochastiques strictes.
Soit A = (a_(ij)) un élément de S_r, on pose:

On a donc a_(ij)^((1)) = a_(ij).
Si pour tout (i, j) ∈ ℕ_r^2, la suite de terme général a_(ij)^((n)) a une limite finie quand n tend vers l'infini, on dira que la suite de terme général A^n a une limite finie quand n tend vers l'infini. On notera:

(b) En déduire qu'il existe deux suites de réels (a_n) et (b_n) telles que l'on ait:

(c) Montrer que l'on a, pour tout entier strictement positif n :

(d) Déterminer le réel l tel que la suite de terme général a_n − l soit géométrique; en déduire l'expression de a_n en fonction de n. Exprimer de même b_n en fonction de n.
(e) Déterminer l'expression de la matrice A^n en fonction de n.
(f) Montrer que A^n admet une limite que l'on déterminera quand n tend vers l'infini et que A^∞ est un élément de S_2.
3. On pose B = (2/3, 1/3, 0; 3/7, 4/7, 0; 2/9, 3/9, 4/9).
(a) Déterminer les valeurs propres de la matrice B. On les notera λ_1 < λ_2 < λ_3.
(b) En déduire que la matrice B est semblable à une matrice diagonale D.
(c) En déduire l'expression de la matrice B^n en fonction de n.
(d) Montrer que B^n admet une limite que l'on déterminera quand n tend vers l'infini et que B^∞ est un élément de S_3.
4. On pose C = (1/2, 1/2, 0; 0, 1/2, 1/2; 0, 0, 1), I_3 = (1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1) et J = (0, 1, 0; 0, 0, 1; 0, 0, 1).
(a) Déterminer les valeurs propres de C.
(b) Calculer J^n pour pour tout entier n ≥ 2.
(c) Exprimer C comme combinaison linéaire de I_3 et J. En déduire l'expression de C^n en fonction de n.
(d) Montrer que C^n admet une limite que l'on déterminera quand n tend vers l'infini et que C^∞ est élément de S_3.

On considère X = (x_1; x_2; ⋅; ⋅; ⋅; x_r) ∈ M_(r, 1)(ℝ) un vecteur colonne tel que MX = 0.
On suppose que X est non nul; en notant i_0 un indice défini par la relation |x_(i_0)| = max_(1 ≤ i ≤ r)|x_i|, montrer que l'on aboutit à une contradiction. En déduire que M est inversible.

Ce résultat pourra être admis et utilisé par la suite.
4. Soit A = (a_(ij)) ∈ S_r^⋆.
(a) On pose B = A − I_r. On supprime la dernière ligne et la dernière colonne de B, la matrice carrée d'ordre r − 1 ainsi obtenue est notée C. Vérifier que C est une matrice à diagonale strictement dominante.
(b) En déduire que l'espace propre de A associé à la valeur propre 1 est de dimension 1.
(c) Montrer que les valeurs propres de A sont, soit égales à 1 , soit de module strictement inférieur à 1 .
5. Soit A = (a_(ij)) ∈ S_r. Montrer que les valeurs propres de A sont toutes de module inférieur ou égal à 1 . En déduire que |detA| ≤ 1.
6. Montrer par récurrence que, pour toute matrice M = (m_(ij)) ∈ M_r(ℝ), telle que:

on a |detM| < 1. En déduire que la valeur absolue du déterminant d'une matrice stochastique stricte est strictement inférieure à 1 .
7. Soit A = (a_(ij)) ∈ S_r^⋆. Pour tout j ∈ ℕ_r et tout entier strictement positif n, on pose:

(a) Justifier l'existence d'un réel ε ∈ ]0, 1/2[ tel que: ∀(i, j) ∈ ℕ_r^2 a_(ij) ≥ ε.
(b) Exprimer a_(ij)^((n + 1)) en fonction de a_(i1), a_(i2), ⋯, a_(in) et des coefficients de A^n.
(c) Montrer que pour tout couple (i, j) ∈ ℕ_r^2 et tout entier strictement positif n, on a:

(d) En déduire que, pour tout entier j ∈ ℕ_r et tout entier strictement positif n, on a:

(e) Montrer que, pour tout j ∈ ℕ_r, la suite de terme général γ_j^((n)) converge quand n tend vers l'infini et préciser sa limite.
(f) En déduire que A^n a une limite quand n tend vers l'infini.
(g) Comparer les lignes de A^∞.
8. On considère la matrice A = (1/5, 2/5, 2/5; 2/5, 1/5, 2/5; 2/5, 2/5, 1/5).

Déterminer les valeurs propres de A et vérifier qu'elles satisfont aux résultats trouvés précédemment.
Montrer que A^n admet une limite et déterminer A^∞.