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* Banque filière PT **

Epreuve de Mathématiques I-A

Durée 4 h

L'usage de calculatrices est interdit

Partie I
Etude d'un pendule amorti

Nous considérons un pendule plongé dans un fluide visqueux (l'air par exemple). Si α(t) désigne l'angle que fait le pendule par rapport à la verticale (orientée vers le bas), alors α(t) vérifie une équation différentielle d'ordre 2 du type :
α^(′′)(t) = − bsin(α(t)) − cα^′(t)
où b et c sont des constantes strictement positives.
  1. Si l'on pose Y(t) = ((α(t))/(α^′(t))), vérifier que Y est solution du système différentiel
Y^′(t) = G(Y(t))
où G est la fonction de ℝ^2 dans ℝ^2 définie pour tout y = ((y_1)/(y_2)) ∈ ℝ^2 par
G(y) = G(((y_1)/(y_2))) = ((y_2)/(− bsiny_1 − cy_2)).
  1. Résoudre l'équation G(y) = 0.
  2. Déterminer les solutions constantes de l'équation (1).
  3. Calculer la matrice jacobienne de G en un point y ∈ ℝ^2.
  4. Calculer les valeurs propres (réelles ou complexes) de cette matrice jacobienne aux points obtenus à la question 2.
  5. Quel lien peut-on établir (dans ce cas) entre le signe de la partie réelle des valeurs propres de la matrice jacobienne et la nature des états d'équilibre du système ?

Partie II

Etude d'un système linéaire

Dans toute cette partie, on considère une matrice carrée A de taille d à coefficients complexes et le système différentiel linéaire
Y^′(t) = AY(t)
où Y(t) est un vecteur colonne de ℂ^d.
  1. Soit λ un nombre complexe. Déterminer les fonctions y : ℝ ⟼ ℂ solutions de l'équation différentielle
y^′ = λy
  1. Soit λ et μ deux nombres complexes et P un polynôme à coefficients complexes de degré n. On considère l'équation différentielle
y^′ = λy + P(t)e^(μt)
(a) Montrer qu'il existe un polynôme Q tel que la fonction définie pour tout t réel par
y(t) = Q(t)e^(μt)
soit solution de l'équation ().
(b) Déterminer le degré de Q en fonction de λ − μ.
(c) En déduire que toute solution de l'équation différentielle () s'écrit sous la forme
y(t) = Ce^(λt) + Q(t)e^(μt)
où C est un nombre complexe et Q est un polynôme à coefficients complexes de degré au plus égal à n + 1.
3. Plus généralement, si λ, μ_1, …, μ_k sont des nombres complexes et P_1, …, P_k des polynômes à coefficients complexes, de degrés respectifs n_1, …, n_k, montrer que toute solution de l'équation différentielle
y^′ = λy + ∑_(i = 1)^k P_i(t)e^(μ_i t)
s'écrit sous la forme
y = Ce^(λt) + ∑_(i = 1)^k Q_i(t)e^(μ_i t)
où C est un nombre complexe et les Q_i sont des polynômes à coefficients complexes de degrés respectifs au plus égaux à n_i + 1.
4. On suppose que la matrice A est triangulaire supérieure, n'admettant que λ comme valeur propre. Montrer que toute solution de l'équation (2) peut s'écrire
Y(t) = e^(λt)(a_0 + ta_1 + ⋯ + t^(d − 1)a_(d − 1))
où les a_i sont des vecteurs de ℂ^d.
5. Dans le cas général, on note λ_1, …, λ_d les valeurs propres (complexes, non nécessairement distinctes) de A.
(a) On suppose que la matrice A est triangulaire supérieure. Montrer que toute solution complexe du système (2) peut s'écrire sous la forme
Y(t) = ∑_(i = 1)^d(e^(λ_i t)∑_(j = 0)^(d − 1)t^j a_j^((i)))
où les a_j^((i)) sont des vecteurs de ℂ^d.
(b) Montrer que, si A est une matrice quelconque, les solutions sont encore de la forme précédente.
6. On suppose que toutes les valeurs propres de A ont une partie réelle strictement négative.
(a) Déterminer les vecteurs Z de ℝ^d tels que AZ = 0.
(b) Calculer lim_(t → + ∞)Y(t) où Y est une solution de (2).

Partie III

Etude d'une équation différentielle non-linéaire : cas unidimensionnel

Dans toute cette partie, on considère une fonction g de ℝ sur ℝ de classe C^1 telle que g(0) = 0 et g^′(0) = − λ < 0. On étudie l'équation différentielle
y^′(t) = g(y(t))
On suppose que la fonction g est telle que, pour tous réels t_1 et y_1 fixés, il existe une unique fonction y solution de l'équation (3) sur ℝ et vérifiant de plus y(t_1) = y_1.
Dans toute la suite, on fixe un réel y_0 et y désigne l'unique solution de (3) sur ℝ vérifiant y(0) = y_0.
  1. Que peut-on dire de la solution y lorsque y_0 = 0 ?
  2. Montrer que si y_0 ≠ 0, alors la fonction y ne s'annule pas sur ℝ.
  3. On définit la fonction h de ℝ dans ℝ par
{h(x) = (g(x))/x + λ pour tout x ≠ 0; h(0) = 0
Montrer que la fonction h est continue sur ℝ.
4. Montrer qu'il existe un r_0 > 0 tel que, pour tout x ∈ ℝ,
|x| < r_0 ⟹ |h(x)| < λ/2.
  1. On suppose dans cette question que 0 < y_0 < r_0/2.
    (a) Montrer qu'il existe un T > 0 tel que, pour tout s ∈ [0, T],
0 < y(s) < r_0
(b) En déduire que, pour tout s dans [0, T], on a
(y^′(s))/(y(s)) < − λ/2
(c) Montrer que, pour tout t ∈ [0, T],
0 < y(t) < e^(− λ/2t)y_0
(d) En déduire que cette inégalité est encore vraie pour t ∈ [T, 2T].
6. Montrer finalement que l'on a
|y_0| < (r_0)/2 ⟹ ∀t ≥ 0, |y(t)| ≤ e^(− λ/2t)|y_0|.
  1. Que vaut lim_(t → + ∞)y(t) ?

Partie IV

Etude d'une équation différentielle non-linéaire : cas multi-dimensionnel

Dans toute cette partie, on considère une application G de ℝ^d à valeurs dans ℝ^d, de classe C^1 et telle que G(0) = 0. On note A la matrice jacobienne de G en 0 . On suppose que la matrice A est trigonalisable dans ℝ et que ses valeurs propres λ_1, …, λ_d (non nécessairement distinctes) sont toutes strictement négatives.
On étudie le système différentiel non-linéaire
Y^′(t) = G(Y(t))
On suppose que G est telle que, pour tout vecteur Y_0 de ℝ^d, il existe une unique fonction Y(t) de ℝ dans ℝ^d solution de (4) et vérifiant Y(0) = Y_0. Dans toute la suite, Y désigne cette fonction.
  1. On note ‖‖ la norme euclidienne de ℝ^d et <, > le produit scalaire usuel.
On pose E(t) = ‖Y(t)‖^2.
Montrer que E est de classe C^1 et calculer sa dérivée en fonction de Y.
2. On définit l'application H de ℝ^d dans ℝ^d par
∀Z ∈ ℝ^d, {H(Z) = 1/(‖Z‖)(G(Z) − AZ) si Z ≠ 0; H(0) = 0
et on admet que cette fonction est continue sur ℝ^d.
Montrer que, pour tout t ∈ ℝ,
E^′(t) ≤ 2⟨AY(t), Y(t)⟩ + 2‖Y(t)‖^2‖H(Y(t))‖
  1. Soit u l'endomorphisme canoniquement associé à A. Montrer qu'il existe une base B = (e_1, …, e_d) de ℝ^d dans laquelle la matrice de u est triangulaire supérieure.
  2. Pour tout α > 0, on pose B_α = (e_1, αe_2, …, α^(d − 1)e_d). Vérifier que B_α est une base de ℝ^d.
  3. Soit ε > 0. Montrer qu'il existe une base de ℝ^d dans laquelle la matrice de u a tous ses coefficients hors de la diagonale de valeur absolue strictement plus petite que ε.
  4. Soit P une matrice inversible. On pose Y_∗(t) = PY(t) et H_∗(Y_∗) = H(Y).
    (a) Montrer que Y_∗ est solution de Y_∗^′ = PG(P^(− 1)Y_∗).
    (b) En reprenant le raisonnement précédent appliqué à Y_∗, montrer que l'on peut choisir la matrice P telle que
d/(dt)‖Y_∗(t)‖^2 ≤ ‖Y_∗(t)‖^2(− λ + 2‖H_∗(Y_∗(t))‖)
où
λ = min_(1 ≤ i ≤ d)|λ_i|.
  1. En utilisant les résultats de la partie III, montrer qu'il existe r > 0 tel que, si ‖Y_0‖ < r, alors
lim_(t → + ∞)Y(t) = 0
Remarque : le raisonnement précédent peut se généraliser au cas d'une matrice A quelconque que l'on trigonalise dans ℂ. Une condition suffisante pour que 0 soit un point d'équilibre stable est alors que toutes les valeurs propres de A soient de partie réelle strictement négative.

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