Banque PT Mathématiques 1A PT 2002Sujet et corrigé

Soit la série entière ∑(z^n)/n dont le terme général est défini pour n ≥ 1 et dans laquelle z désigne la variable complexe.

a) Déterminer le rayon de convergence R de cette série.
b) Est-elle convergente pour z = 1 ? Pour z = − 1 ?

Pour x réel vérifiant |x| < R, on note S(x) = ∑_(n = 1)^∞(x^n)/n.
a) Calculer S^′(x).
b) En déduire S(x).

Etudier la convergence des séries numériques ∑(− 1/21/(3p + 1) − 1/21/(3p + 2) + 1/(3p + 3)) et ∑(1/(3p + 1) − 1/(3p + 2)), où p est entier positif ou nul.

La série ∑(z^n)/n converge-t-elle pour z = e^(2iπ/3) ? Indication: on pourra représenter z^(3p + 1), z^(3p + 2) ainsi que z^(3p + 3) dans le plan complexe.

a) Pour tout réel θ tel que e^(iθ) est différent de 1 , calculer la somme ∑_(k = p)^(k = q)e^(ikθ) pour p et q entiers strictement positifs vérifiant p < q.
b) Vérifier que cette expression est bornée lorsque e^(iθ) est différent de 1.
c) Soit u_n une suite de nombres réels tendant vers 0 et vérifiant de plus la propriété suivante: la série de terme général |u_(n + 1) − u_n| est convergente. Soit v_n une suite de nombres complexes pour laquelle il existe un réel M fini tel que, pour tous entiers strictement positifs p et q, avec p < q, on a |∑_(k = p)^(k = q)v_k| ≤ M. On admet la propriété suivante: la série de terme général u_n v_n converge.

Etudier la convergence de la série ∑(z^n)/n lorsque z est un nombre complexe différent de 1 et de module égal à 1 .

Soit P le sous-ensemble du plan complexe ℂ défini par Re(z) > 0.
Pour tout z de P, on désigne par Arg(z) l'unique argument de z qui appartient à l'intervalle ] − π/2, π/2[.

On note alors F la fonction définie sur P par la relation F(z) = ln(|z|) + iArg(z).

Pour tout z de P, calculer e^(F(z)).

Pour tout z de P écrit sous la forme z = x + iy, avec x réel strictement positif et y réel, on pose P(x, y) = Re(F(z)) et Q(x, y) = Im(F(z)).
a) Exprimer Q à l'aide de la fonction Arctan.
b) Calculer (∂P(x, y))/(∂x) − (∂Q(x, y))/(∂y) et (∂P(x, y))/(∂y) + (∂Q(x, y))/(∂x).
c) Pour toute fonction φ de classe C^2 d'un ouvert de R × R dans R, on définit le laplacien Δφ de φ par la relation Δφ(x, y) = (∂^2 φ(x, y))/(∂x^2) + (∂^2 φ(x, y))/(∂y^2).

Calculer ΔP et ΔQ.
d) Soit γ une courbe fermée sans point double, orientée, de classe C^1 et contenue dans P. En se ramenant à des intégrales doubles, calculer les intégrales ∫_γ P(x, y)dx − Q(x, y)dy et ∫_γ Q(x, y)dx + P(x, y)dy.

a) A-t-on la relation 1 − z ∈ P dès que z est un nombre complexe différent de 1 et de module inférieur ou égal à 1 ?
b) On admet que pour tout z du plan complexe ℂ différent de 1 et de module inférieur ou égal à 1 , on a la relation : ∑_(n = 1)^∞(z^n)/n = − F(1 − z). En déduire la valeur de ∑_(n = 1)^∞(sin(nθ))/n en fonction de θ pour tout θ de ]0, 2π[.

Soit θ un réel donné appartenant à ]0, π[.
Soit f la fonction de la variable réelle périodique de période 2π, paire, définie sur [0, π] par les relations: f(x) = 1 pour x ∈ [0, θ[, f(θ) = 1/2, f(x) = 0 pour x ∈ ]θ, π].
a) Représenter graphiquement f sur [ − π, 2π].
b) Déterminer la série de Fourier de f.
c) Etudier la convergence de cette série de Fourier.
d) En déduire directement la valeur de la somme de la série ∑_(n = 1)^∞(sin(nθ))/n pour θ ∈ ]0, π[, puis pour θ ∈ ]π, 2π[.

Soit g la fonction réelle de la variable réelle, 2π-périodique, définie par g(0) = 0 et par g(x) = (π − x)/2 pour tout x dans ]0, 2π[.

a) Représenter graphiquement g sur [ − 4π, 4π].
b) Déterminer la série de Fourier de g.

a) Etudier la convergence de cette série.
b) En déduire la valeur de ∑_(p = 0)^∞((− 1)^p)/(2p + 1) et de ∑_(n = 1)^∞1/(n^2).

a) En utilisant par exemple le résultat obtenu en 1.4.a), exprimer en fonction de n et de θ la somme finie ∑_(k = 1)^(k = n)coskθ.
b) Pour x réel, on pose S_n(x) = ∑_(k = 1)^(k = n)(sin(kx))/k. Etablir que, pour tout x de ]0, π[, on a la relation: S_n(x) = − x/2 + ∫_0^x(sin((n + 1/2)t))/(2sin(t/2))dt.
c) La fonction t ↦ 1/(sint) − 1/t peut-elle être prolongée par continuité en 0 ?

Soit h_n une suite de nombres réels strictement positifs qui tend vers 0 lorsque n tend vers + ∞.

Calculer lim_(n → ∞)∫_0^(h_n)(1/(sint) − 1/t)dt, puis lim_(n → ∞)∫_0^(h_n)((sin((n + 1/2)t))/(2sin(t/2)) − (sin((n + 1/2)t))/t)dt.
d) On désigne par x_n le plus petit réel strictement positif qui réalise un maximum relatif de S_n(x).

Montrer simultanément que S_n(x_n) tend vers une limite lorsque n tend vers l'infini et que cette limite L peut s'écrire sous la forme ∫_0^α(sinu)/udu pour un réel α que l'on déterminera.
e) On propose une valeur approchée de l'intégrale L sous la forme ∑_(k = 0)^(k = 4)((− 1)^k π^(2k + 1))/((2k + 1)!(2k + 1)). Commet-on une erreur inférieure en valeur absolue à 10^(− 3) ?